Hpor

|Билет№1              |Билет №2             |                     |
|1)Функция y=F(x)     |1)Точка Х0 наз-ся    |Билет №3             |
|называется           |точкой максимума     |1)арксинусом числа а |
|периодической, если  |функции f, если для  |называется число, для|
|существует такое     |всех х из некоторой  |которого выполнены   |
|число Т, не равное   |окрестности точки х0 |следующие два        |
|нулю, что для любых  |выполнено неравенство|условия: 1)-p/2 <=   |
|значений аргумента из|f(x)(f(x0)           |arcsin a <= p/2; 2)  |
|области определения  |Окрестностью точки х0|sin(arcsin a)=a. Из  |
|функции выполняются  |наз-ся любой         |втоого условия       |
|равенства            |интервал, сод-щий    |следует, что |a|<=1  |
|f(x-T)=f(x)=f(x+T).  |эту точку. Например, |Пример1. (рис 26)    |
|Число Т называется   |функция y=-x*x-3     |arcsinSQR3 / 2 = p/3,|
|периодом функции.    |имеет точку максимума|так как: 1) –p/2 <=  |
|Например, y=sinx –   |х0=0.                |p/3 <=p/2; 2)sin p/3=|
|периодическая функция|Точка х0 наз-ся      |SQR3 / 2 Пример2.    |
|(синусоиду нарисуешь |точкой минимума      |Arcsin SQR5/2 не     |
|сам (а)) Периодом    |функции f, если для  |имеет смысла, так как|
|функции являются     |всех х из некоторой  |SQR5 / 2 >1, a arcsin|
|любые числа вида     |окрестности х0       |a определён при –1 <=|
|T=2PR, где R –целое, |выполнено неравенство|a <= 1 Определение   |
|кроме 0. Наименьшим  |f(x0) (f(x)          |Арксинусом числа а   |
|положительным        |Например, функция    |называется такое     |
|периодом является    |y=x+2 имеет точку    |число из отрезка     |
|число T=2P. Для      |минимума х0=0.       |[-Пи/2;Пи/2], синус  |
|построения графика   |                     |которого равен а.    |
|периодической функции|                     |                     |
|достаточно построить |2)1)Если (a((1 то    |2)Если функция       |
|часть графика на     |уравнение sinx=a     |F-первообразная      |
|одном из промежутков |корней не имеет, так |функции f на         |
|длинной Т, а затем   |как (sinx((1 для     |промежутке I, то     |
|выполнить            |любого х.            |функция y=F(x)+C     |
|параллельный перенос |2)Пусть (a((1 а) На  |(c-const) также      |
|этой части графика   |промежутке –пи/2;пи/2|является             |
|вдоль оси абсцисс на |функция y=sinx       |первообразной функции|
|+-Т, +-2Т, +-3Т,…    |возрастает,          |f на промежутке I.   |
|                     |следовательно по     |Любая первообразная  |
|2)Степенью числа а,  |теореме о корне,     |функции f на         |
|большего нуля, с     |уравнение sinx =a    |промежудке I может   |
|рациональным         |имеет один корень    |быть записана в виде |
|показателем r=m/n    |x=arcsin a.          |F(x)+C.              |
|(m-целое             |Б) На промежутке     |Доказательство. 1)   |
|число;n-натуральное, |пи/2;3пи/2 функция   |Воспользуемся        |
|больше 1) называется |y=sin x убывает,     |определением         |
|число nSQRa^m, т.е.  |значит по теореме о  |первообразной:       |
|a^m/n = nSQRa^m.     |корне ур-ие sin x=a  |(F(x)+C)’=F’(x)+C’=f(|
|Степень числа 0      |имеет одно решение   |x), следовательно,   |
|определена только для|x=пи-arcsin a.       |y=F(x)+C –           |
|положительных        |В) учитывая          |первообразная функции|
|показателей; 0^r=0   |периодичность функции|f на промежутке I. 2)|
|для любого r>0.      |y= sin x (период     |Пусть Ф и F-         |
|Свойства степеней с  |функции равен 2пи n) |первообразные функции|
|рациональным         |решение ур-ия можно  |f на промежутке I.   |
|показателем Для любых|записать так:        |Покажем, что разность|
|рациональных чисел r |х=arcsin a +2пи n    |Ф-F равна постоянной.|
|иs и любых           |x=пи- arcsin a +2пи n|Имеем  (Ф(x) – F(x))’|
|положительных a и b  |                     |= Ф’(x) –            |
|справедливы следующие|решение данного ур-ия|F'(x)=f(x)-f(x)=0,   |
|свойства. 1)         |можно записать в виде|следовательно, по    |
|Произведение степеней|следующей формулы    |признаку постоянства |
|с одинаковыми        |x=(-1)^n  arcsin a + |функции на интервале |
|основаниями равно    |пи n                 |Ф(x)-F(x)=C. Значит  |
|степени с тем же     |при четных n(n=2k) мы|любую первообразную  |
|основанием и         |получим все решения, |можно записать в виде|
|показателем, равным  |записанные первой    |F(x)+C. Графики любых|
|сумме показателей    |формулой , а при     |двух первообразных   |
|множителей: a^r * a^s|нечетных n(n=2k+1)-  |для функции y=f(x)   |
|= a^r+s.             |все решения          |получаются друг из   |
|2) Частное степеней с|записанные второй    |друга параллельным   |
|одинаковыми          |формулой.            |переносом вдоль оси  |
|основаниями равно    |                     |Ox (рис. 18)         |
|степени с тем же     |                     |                     |
|основанием и         |                     |                     |
|показателем, равным  |                     |                     |
|разности показателей |                     |                     |
|делимого и делителя: |                     |                     |
|a^r : a^s = a^r-s.   |                     |                     |
|3) При возведении    |                     |                     |
|степени в степень    |                     |                     |
|основание оставляют  |                     |                     |
|прежним, а показатели|                     |                     |
|перемножают: (a^r)^s |                     |                     |
|= a^rs   4) Степень  |                     |                     |
|произведения равна   |                     |                     |
|произведению         |                     |                     |
|степеней: (ab)^r =   |                     |                     |
|a^r * b^r.   5)      |                     |                     |
|Степень частного     |                     |                     |
|равна частному       |                     |                     |
|степеней (a/b)^r =   |                     |                     |
|a^r / b^r.   6) Пусть|                     |                     |
|r рациональное число |                     |                     |
|и число a больше     |                     |                     |
|нуля, но меньше числа|                     |                     |
|b, 0<a<b, тогда: a^r |                     |                     |
|< b^r , если r-      |                     |                     |
|положительное число; |                     |                     |
|r^r > b^r, если      |                     |                     |
|r-отрицательное      |                     |                     |
|число.7) Для любых   |                     |                     |
|рациональных чисел r |                     |                     |
|и s из неравенства   |                     |                     |
|r<s следует, что: a^r|                     |                     |
|<a^s при a>1 ; a^r > |                     |                     |
|a^s при 0<a<1.       |                     |                     |
|Докажем свойство 2   |                     |                     |
|Пусть r=m/n и s=p/q, |                     |                     |
|где n и q –          |                     |                     |
|натуральные числа, а |                     |                     |
|m и p – целые числа. |                     |                     |
|По определению       |                     |                     |
|степени с            |                     |                     |
|рациональным         |                     |                     |
|показателем имеем:   |                     |                     |
|a^m/n : a^p/q =      |                     |                     |
|nSQRa^m : qSQRa^p.   |                     |                     |
|Приведём корни к     |                     |                     |
|одному показателю.   |                     |                     |
|Для этого            |                     |                     |
|воспользуемся        |                     |                     |
|свойством корней n-й |                     |                     |
|степени: nSQRa =     |                     |                     |
|nrSQRa^r, r>0. Имеем:|                     |                     |
|nSQRa^m : qSQRa^p =  |                     |                     |
|nqSQRa^mq : nqSQRa^pn|                     |                     |
|= nqSQRa^mq /        |                     |                     |
|nqSQRa^pn Используя  |                     |                     |
|свойство частного    |                     |                     |
|корней, получим:     |                     |                     |
|nqSQRa^mq / nqSQRa^pn|                     |                     |
|= nqSQRa^mq / a^pn = |                     |                     |
|nqSQRa^mq-pn.        |                     |                     |
|Применим определение |                     |                     |
|степени с            |                     |                     |
|рациональным         |                     |                     |
|показателем:         |                     |                     |
|nqSQRa^mq-pn =       |                     |                     |
|a^mq-pn/nq =         |                     |                     |
|a^mq/nq-pn/nq =      |                     |                     |
|a^m/n-p/q = a^r-s.   |                     |                     |
|Билет №4             |Билет№ 5             |Билет №6             |
|1)Арккосинусом числа |1)На интервале       |1)Пусть на некотором |
|а называется такое   |(-Пи/2;Пи/2) функция |промежутке задана    |
|число, для которого  |тангенс возрастает и |функция y=f(x); x0 – |
|выполнены следующие  |принимает все        |точка этого          |
|два условия: 1)      |значения из R.       |промежутка; ?x –     |
|0<=arccosa<=p;       |Поэтому для любого   |приращения аргумента |
|2)cos(arccos a)=a. Из|числа а на интервале |x; x0 + ?X  также    |
|условия 2 следует,   |(-Пи/2;Пи/2)         |принадлежит этому    |
|что |a|<=1 Пример 1  |существует           |промежутку; ?y –     |
|(рис 28)             |единственный корень b|приращение функции.  |
|arccos1/2=p/3, так   |уравнения tgx=a. Это |Предел отношения     |
|как: 1)0<= p/3 <= p; |число b называют     |(если он существует) |
|2) cos p/3 = Ѕ.      |арктангенсом числа а |приращения функции к |
|Пример 2. Arccos p не|и обозначают arctga. |приращению аргумента |
|имеет смысла , так   |Определение          |при стремлении       |
|как p ~=3,14 > 1;    |Арктангенсом числа а |приращения аргумента |
|arccos a  определён  |называется такое     |к нулю называется    |
|при |a|Б=1           |число из интервала   |производной функции в|
|2)Показательной      |(-Пи/2;Пи/2) тангенс |точке. Пусть         |
|функцией называется  |которого равен а.    |материальная точка   |
|функция вида y=a^x,  |Пример arctg1=Пи/4,  |движется по          |
|где а- заданное      |так как tgПи/4=1 и   |координатной прямой  |
|число, а >0, a не    |Пи/4((-Пи/2;Пи/2);   |по закону x=x(t),    |
|равно 1. Свойства    |arctg(-SQR3)=-Пи/3,  |т.е. координата этой |
|показательной функции|так как              |точки x- известная   |
|1) Областью          |tg(-Пи/4)=-SQR3 и    |функция времени t.   |
|определения          |–Пи/3((-Пи/2;Пи/2).  |Механический смысл   |
|показательной функции|2)Логарифмической    |производной состоит в|
|являются все         |функцией называется  |том, что производная |
|действительные числа.|функция вида y = loga|от координаты по     |
|Это следует из того, |x, где а -заданное   |времени есть         |
|что для любого x     |число, a>0, a не рано|скорость: v(t) =     |
|принадлежащего R     |1. Свойства          |x’(t).               |
|определено значение  |логарифмической      |2)1) Если |a|>1, то  |
|степени a^x (при     |функции 1) Областью  |уравнение cos x = a  |
|a>0). 2) Множеством  |определения          |решений не имеет, так|
|значений             |логарифмической      |как |cos x|<=1 для   |
|показательной функции|функции являются все |любого x. 2)         |
|являются все         |положительные        |Рассмотрим случай    |
|положительные        |действительные числа.||a|<=1(рис 35) а) На |
|действительные числа:|Это следует из       |примежудке [0;Пи]    |
|E(y)=(0;+бескон.) 3) |определения логарифма|функция y=cosx       |
|а) Показательная     |числа b по основанию |убывает, значит,     |
|функция y+a^x        |a; loga b имеет      |уравнение cosx=a     |
|возрастает на всей   |смысл, если b>0 2)   |имеет один корень    |
|области определения, |Множеством значений  |x=arccos a.          |
|если a>1.  б)        |логарифмической      |Учитывается, что     |
|Показательная функция|функции являются все |функция y=cos x –    |
|Y=a^x убывает на всей|действительные числа.|периодическая с      |
|области определения, |Пусть y0 –           |периодом 2Пиn,       |
|если 0<a<1.  Докажем,|произвольное         |запишем все решения  |
|что если a>1, то     |действительное число.|уравнения cosx=a на  |
|большему значению    |Покажем, что найдётся|промежутке [2Пиn;    |
|аргумента (x2>x1)    |такое положительное  |Пи+2Пиn], n          |
|соответствует большее|значение аргумента   |принадлежит Z, в виде|
|значение функции     |x0, что выполняется  |x = arccos a+ 2Пиn,  |
|(a^x2 > a^x1). Из    |равенство y0 =       |где n принадлежит Z. |
|свойств степени      |logax0. По           |Б)  На промежутке    |
|известно, если r>s и |определению логарифма|[-Пи; 0] функция y   |
|a>1, то a^r >a^s.    |числа имеем: x0 =    |=cosx возрастает,    |
|Пусть х2 > x1 и a >  |a^y0, a^y0 > 0. Мы   |следовательно,       |
|1, тогда a^x2 >a^x1  |показали, что нашлось|уравнение cosx=a     |
|(по свойству         |значение x0 > 0, при |имеет один корень, а |
|степени). А это      |котором значение     |именно,x=-arccos a.  |
|означает, что функция|логарифмической      |Учитывая             |
|y=a^x1 при a>1       |функции равно у0 (у0 |периодичность функции|
|возрастает на всей   |– произвольное       |y= cos. Делаем вывод,|
|области определения. |действительное       |что решением         |
|Докажем, что если 0 <|число). 3)           |уравнения cos x = a  |
|a<1, то большему     |Логарифмическая      |на промежудке        |
|значению аргумента   |функция обращается в |[-Пи+2Пи; 2Пиn], где |
|(x2>x1) соответствует|нуль при х=1. Решим  |n принадлежит Z,     |
|меньшее значение     |уравнение logax=0. По|являются числа вида  |
|функции (a^x2 <      |определению логарифма|x=-arccos a + 2 Пиn, |
|a^x1). Из свойств    |получаем: a^0 = x,   |где n принадлежит Z. |
|степени известно,    |т.е. x = 1. 4) а)    |Таким образом, все   |
|если r>s и 0<a<1, то |логарифмическая      |ершения уравнения    |
|a^r<a^s. Пусть x2>x1 |функция y=loga x     |могут быть записаны  |
|и 0<a<1, тогда a^x2 <|возрастает на всей   |так: x=+-arccos a +  |
|a^x1 (по свойству    |области определения, |2Пиn, где n          |
|степени). А это      |если a>1.Докажем, что|принадлежит Z.       |
|означает, что функция|большему значению    |                     |
|y=a^x при 0<a<1      |аргумента (х2 > х1)  |                     |
|убывает на всей      |соответствует большее|                     |
|области определения. |значение функции     |                     |
|4) Нет таких значений|(loga x2 > loga x1), |                     |
|аргумента, при       |если a>1. Пусть x2 > |                     |
|которых значения     |x1 > 0; тогда        |                     |
|показательной функции|используя основное   |                     |
|равны нулю, т.е. у   |логарифмическое      |                     |
|показательной функции|тождество, запишем   |                     |
|нет нулей.           |это неравенство в    |                     |
|5)Показательная      |виде a^logax2 >      |                     |
|функция непрерывна на|a^logax1 . (1) В     |                     |
|всей области         |неравенстве (1)      |                     |
|определения.  6)     |сравниваются два     |                     |
|Показательная функция|значения             |                     |
|дифференцируема в    |показательной        |                     |
|каждой точки области |функции. Поскольку   |                     |
|определения,         |при a>1 показательная|                     |
|производная          |функция возрастает,  |                     |
|вычисляется по       |большее значение     |                     |
|формуле (a^x)’ = a^x |функции может быть   |                     |
|ln a. (график на     |только при большем   |                     |
|рисунке 29)          |значении аргумента,  |                     |
|                     |т.е. logax2 > logax1.|                     |
|                     |б)Логарифмическая    |                     |
|                     |функция y=logax      |                     |
|                     |убывает на всей      |                     |
|                     |области определения, |                     |
|                     |если 0<a<1. 5)       |                     |
|                     |Логарифмическая      |                     |
|                     |функция y=logax: а)  |                     |
|                     |при a>1 принимает    |                     |
|                     |положительные        |                     |
|                     |значения, если x>1;  |                     |
|                     |отрицательные        |                     |
|                     |значения, если 0<x<1 |                     |
|                     |б) при  0<a<1        |                     |
|                     |принимает            |                     |
|                     |положительные        |                     |
|                     |значения, если 0<x<1,|                     |
|                     |и отрицательные      |                     |
|                     |значения, если x>1.  |                     |
|                     |Пусть a>1, тогда     |                     |
|                     |функция y=logax      |                     |
|                     |возрастает на всей   |                     |
|                     |области определения  |                     |
|                     |(рис. 31); причём    |                     |
|                     |loga1=0. Из этого    |                     |
|                     |следует, что: для x>1|                     |
|                     |logax > loga1, т.е.  |                     |
|                     |logax>0; для 0<x<1   |                     |
|                     |logax < loga1, т.е.  |                     |
|                     |logax <0. Пусть      |                     |
|                     |0<a<1; тогда функция |                     |
|                     |y=logax убывает на   |                     |
|                     |всей области         |                     |
|                     |определения (рис.32);|                     |
|                     |причём loga1=0. Из   |                     |
|                     |этого следует, что:  |                     |
|                     |для x>1  logax <     |                     |
|                     |loga1, т.е. logax <  |                     |
|                     |0; для 0<x<1  logax >|                     |
|                     |loga1, т.е. logax >  |                     |
|                     |0. 6) Логарифмическая|                     |
|                     |функция непрерывна на|                     |
|                     |всей области         |                     |
|                     |определения.         |                     |
|Билет № 7            |Билет №8             |Билет №9             |
|1)Пусть на некотором |1) Пусть ф-ция f(x)  |1. Все рациональные и|
|промежутке задана    |задана на некотором  |дробно-рациональные  |
|функция y=f(x);      |промежутке, а –точка |ф-ции непрерывны на  |
|x0-точка этого       |этого промежутка.    |всей области         |
|промежутка;          |Если для ф-ции       |определения. Этот    |
|?x-приращение        |выполняется          |факт следует из того |
|аргумента х; точка   |приближенное         |что рациональные и   |
|х0+ ?x принадлежит   |равенство f(x) ?f(a) |дробно-рациональные  |
|этому промежутку;    |                     |ф-ции дефференцируемы|
|?y-приращение        |с любой , наперед    |во всех точках своих |
|функции.  Предел     |заданной точностью,  |областей опр-ия.     |
|отношения (если он   |для всех х , близки х|Например: ф-ция      |
|существует)          |к а , то говорят ,   |f(x)=x^3-7X^2+24x    |
|приращения функции к |что ф-ция непрерывна |непрерывна на        |
|приращению аргумента |в точке а. Иными     |множестве            |
|при стремлении       |словами ф-ция f      |действительных чисел;|
|приращения аргумента |непрерывна в точке а |а ф-ция              |
|к нулю называется    |, если f(x) >f(a) при|g(x)=(x^3+8)/(x-2)   |
|производной функции в|х >а.                |непрерывна на        |
|точке.  Пусть задана |Ф-ция непрерывная в  |промежутке (-(:2) и  |
|дифференцируемая     |каждой точке         |на промежутке (2;+ ()|
|функция y=f(x)       |промежутка наз-ся    |                     |
|(рис.36).            |непрерывной на       |2. Логарифмом числа b|
|Геометрический смысл |промежутке.          |наз-ся показатель    |
|производной состоит в|Гр. непрерывной на   |степени в к-рую нужно|
|том, что значение    |промежутке ф-ции     |возвести основание а |
|производной функции в|представляет собой   |чтобы получить число |
|точке x0 равно       |непрерывную линию.   |b.                   |
|угловому коэффициенту|Иными словами гр.    |Из опр-ия имеем:  a^ |
|касательной,         |можно нарисовать не  |logab =b (осн-ое     |
|проведённой к графику|отрывая карандаша от |лог-ое тождесто)     |
|функции в точке с    |бумаги.              |Св-ва  логарифмов:   |
|абсциссой x0:        |Например ф-ция       |При  любом а>0(а(1), |
|f’(x0)=R, где        |f(x)=3^x непрерывна в|и любых пол-ных х и у|
|R-угловой коэффициент|точке                |выполняются следующие|
|касательной.         |х0=2.Действаительно  |св-ва:               |
|2)1) На промежутке   |3^x >3^2, при х>2.   |loga1=0              |
|(-Пи.2 ; Пи.2)       |Ф-ция f(x)=3^x       |logaа=1              |
|функция y=tgx        |непрерывна на        |loga(ху)= logaХ+     |
|возрастает, значит,  |множестве всех       |logaУ                |
|на этом промежутке,  |действительных чисел |Док-во: Воспользуемся|
|по теореме о корне,  |, а ее график можно  |осн-ным лог-им       |
|уравнение tgx=a имеет|нарисовать не отрывая|тождеством           |
|один корень, а       |карандаша от бумаги. |a ^ logab =b и св-ом |
|именно, x=arctg a    |2) Арифметическим    |показат-ной ф-ции    |
|(рис 37).  2)        |корнем n-ой степени  |а^ х+у =а^x * а^y    |
|Учитывая, что период |из числа а наз-ся    |имеем                |
|тангенса равен Пиn,  |неотрицательное число|а^ loga(xy)=xy= a^   |
|все решения          |n-ая степень к-рого  |logax *a^ logay =a   |
|определяются формулой|равна а.             |^logax +logay        |
|x=arctg a + Пиn,     |Св-ва корней: Для    |loga(Х/У)= logaХ-    |
|nпринадлежит Z.      |любых натуральных n, |logaУ                |
|                     |целого k и любых     |logaХ^Р= рlogaХ      |
|                     |неотрицательных чисел|Формула перехода:    |
|                     |a и b выполняются    |logaХ= logbX/ logbA  |
|                     |следующие св-ва:     |                     |
|                     |N sqr ab= n sqr a * n|                     |
|                     |sqr b                |                     |
|                     |n sqr (a/b)= (n sqr  |                     |
|                     |a)/( n sqr b) b ?0   |                     |
|                     |n sqr (k sqr a)= kn  |                     |
|                     |sqr (a), k> 0        |                     |
|                     |n sqr (a) = kn sqr   |                     |
|                     |(a^k) ,k>0           |                     |
|                     |n sqr (a^k)=( n sqr  |                     |
|                     |a)^k (ели k?0,то а?0)|                     |
|                     |                     |                     |
|                     |Для любых            |                     |
|                     |неотрицательных чисел|                     |
|                     |а и b таких,  что а <|                     |
|                     |b выполняется        |                     |
|                     |неравенство:         |                     |
|                     |n sqr a< n sqr b,    |                     |
|                     |если 0?a<b           |                     |
|                     |Док-во св-ва №5: По  |                     |
|                     |опр-нию корня n-ой   |                     |
|                     |степени (n sqr       |                     |
|                     |a^k)^n=a^k; (n sqr   |                     |
|                     |a)^k? 0, так как n   |                     |
|                     |sqr a? 0. Найдем n-ю |                     |
|                     |степень выражения (n |                     |
|                     |sqr a)^k. По св-ву   |                     |
|                     |возведения степени в |                     |
|                     |степень ((n sqr      |                     |
|                     |a)^k)^n=(n sqr       |                     |
|                     |a)^nk=(( n sqr       |                     |
|                     |a)^n)^k;по           |                     |
|                     |определению корня    |                     |
|                     |n-ой степени ((n sqr |                     |
|                     |a)^n)^k=a^k.         |                     |
|                     |Следовательно n sqr  |                     |
|                     |a^k=( n sqr a)^k.    |                     |
|Билет №10.           |Билет №13            |Билет №14            |
|1. Ф-ция F наз-ся    |1) Для того чтобы    |1) Пусть задана ф-ция|
|первообразной ф-ции f|найти                |y=f(x) ее график     |
|на промежутке I, если|наибольшее(наименьшее|изображен на рис 49. |
|для всех значений    |) значение ф-ции     |Точка х1 является    |
|аргумента из этого   |y=f(x) имеющее на    |точкой максимума , х2|
|промежутка           |отрезке [a;b]        |является точкой      |
|F((x)=f(x). Например |конечное число       |минимума, т.е. точки |
|ф-ция F(x)=4x^2+3x-1 |критических точек,   |х1 и х2- точки       |
|явл-ся первообразной |нужно:1. Найти       |экстремума. Значения |
|ф-ции f(x)=12x^3 на  |критические точки,   |ф-ции в точках       |
|множестве всех       |принадлежащие        |экстремума наз-ся    |
|действительных чисел.|отрезку[a;b] ;       |экстремумами ф-ции.  |
|Действительно        |2.найти значения     |Например, значения   |
|F((x)=12X^2+3 , т.е. |ф-ции в критических  |ф-ции y=cos x в      |
|F((x)=f(x).          |точках принадлежащих |точках x= 2 пи k,где |
|2. Если каждому      |отрезку [a;b] ;3.    |k ? Z, явл-ся        |
|действительному числу|Найти значение ф-ции |экстремумами         |
|поставлен в          |на концах отрезка;4. |(максимумами)ф-ции,т.|
|соответствие его     |Из полученных чисел  |е. Ymax=1            |
|тангенс , то говорят |(значения ф-ции в    |2)            1.Cos  |
|, что задана ф-ция   |критических точках и |(a-b)=cos a*cos b    |
|тангенс. Обозначается|на концах промежутка |+sin a*sin b;        |
|это так: y=tg x.     |) выбрать наиболее   |2.cos (a+b)=cos a*cos|
|Св-ва:1) Областью    |наибольшее           |b- sin a*sin b;      |
|опр-ния ф-ции явл-ся |(наименьшее) .Пример:|3. sin(a-b)=sin a*sin|
|все действительные   |Найти наибольшее и   |b- sin b*cos a       |
|числа, кроме чисел   |наименьшее значение  |4. sin (a+b)=sin     |
|вида                 |ф-ции y=x^3 –3x на   |a*cos b+sin b*cos a  |
|X=пи/2 +пи k, k(Z.   |отрезке    [-1,5;3] .|Докажем ф-лу (1):    |
|Это следует из       |1)D(y)=R; 2) найдем  |1) проведем радиуо   |
|опред-ия тангенса (tg|критические точки    |ОА, равный R, вокруг |
|x=sin x/cos x). Нужно|y’ =3x^2 –3; А)y’ = 0|точки О на угол a и b|
|искл-ть числа, при   |если 3x^2 -3=0; 3(x^2|(рис50). Получим     |
|к-рых знаменатель cos|–1)=0; x=0 или x=1.  |радиус ОВ и радиус   |
|x=0 т.е. х= пи/2+пи  |Б) точек в к-рых     |ОС.    2)Пусть       |
|k, k(Z.              |производная не       |В(х1;у1) С(х2;у2).   |
|2) Множеством        |существует нет. 3)   |3) Введем векторы    |
|значений ф-ции явл-ся|y(-1)=-1+3=2;        |ОВ(х1;у1) , ОС(х2;у2)|
|все действительные   |y(1)=1-3=2;          |                     |
|числа:Е(у)=(-(;+().  |y-(-1.5)=(1.5)^3-3*  |4)По опр-ию          |
|3) Ф-ция явл-ся      |(-1.5)=(-1.5)^3+2*1.5|скалярного           |
|нечетной ф-цией, т.е.|^2=1.5^2(-1.5+2)=2.25|произведения         |
|для любого х(D(y)    |*.5=1.125            |ОВ*ОС=х1*х2+у1*у2 (*)|
|выполняется нер-во   |y(3)=27-9=18;        |5) по опр-ию синуса и|
|tg(-x)=-tg x .       |-2<1.125<2<18        |косинуса  х1=R*cos a,|
|покажем это,  tg     |y(1)<y(-1.5)<y(-1)<y(|y1=R*sin a, x2=R* cos|
|(-x)=sin (-x)/cos    |3).                  |b, y2=R*sin b        |
|(-x)= -sin x/cos x=  |Min  [-1,5;3]        |6) заменяя в         |
|-tg x                |y(x)=y(1)=-2         |равенстве(*)         |
|4) Ф-ция явл-ся      |Max [-1,5;3]         |х1,х2,у1,у2, получим |
|периодической с      |y(x)=y(3)=18         |ОВ*ОС=R^2*cos a*cos  |
|периодом пи k ,где   |2)   1.sin a+ sin b =|b+R^2*sin a*sin b    |
|k-целое кроме        |2 sin (a+b)/2        |(**).       7) По    |
|0.Наименьшим         |*cos(a-b)/2,         |теореме о скалярном  |
|положительным        |2. sin a- sin b=2    |произведении векторов|
|периодом тангенса    |sin(a-b)/2           |ОВ*ОС=|OB|*|OC|*cos? |
|явл-ся число пи.     |*cos(a+b)/2,         |BOC=R^2 cos?BOC,     |
|5) Ф-ция тангенс     |3. cos a+ cos b=2 cos|?BOC= a-b(см. рис.   |
|принимает значения 0 |(a+b)/2*cos (a-b)/2  |50) или ?BOC= 2      |
|при х=пи k, k(Z.     |4. cos a- cos b=-2   |пи-(a-b) (см. рис.   |
|Решением ур-ия tg x=0|sin (a+b)/2*sin      |51)      cos(2       |
|явл-ся числа х=пи k, |(a-b)/2              |пи-(a-b))=cos(a-b)   |
|k(Z                  |1)Пусть a=x+y и b=x-y|следовательно        |
|6) Ф-ция tg принимает|из этих равенств     |ОВ*ОС=R^2*cos (a-b)  |
|положительные        |находим:             |(***)          8) Из |
|значения при пи      |x=(a+b)/2 и y=(a-b)/2|неравенств (**) и    |
|k<x<пи/2+ пи k, k(Z. |                     |(***) получим:       |
|Ф-ция tg принимает   |2) выведем ф-лы для  |R^2*cos(a-b)=R^2* cos|
|отрицательные        |суммы и разности     |a*cos b+R^2*sin a*sin|
|значения при         |синусов.             |b. Разделив левую и  |
|-пи/2+пи k<x<пи k,   |Докажем формулу 1:   |правую части на R^2?0|
|k(Z . Промежутки     |Воспользовавшись     |получим формулу (1)  |
|знакопостоянства     |формулами синуса     |косинуса разности Cos|
|следуют из опр-ия tg |суммы и синуса       |(a-b)=cos a*cos b    |
|x=sin x/cos x.       |разности имеем sin   |+sin a*sin b;        |
|7) Ф-ция tg          |a+sin b = =sin(x+y)+ |С помощью этой       |
|возрастает на всей   |sin(x-y)= sin x cos  |формулы легко вывести|
|области опр-ия т.е.  |y+ sin y cos x+ sin  |формулу (2) косинуса |
|на промежутках       |x*     cos y-sin     |суммы и (4) синуса   |
|(-пи/2+пи k; пи/2 +пи|y*cos x= 2sin x*cos  |суммы:               |
|k) k(Z               |y= 2                 |Cos                  |
|                     |sin(a+b)/2*cos(a-b)/2|(a+b)=cos(a-(-b))=cos|
|                     |. Таким образом sin  |a*cos(-b)+sin a*sin  |
|                     |a+ sin               |(-b)=  cos a*cos     |
|                     |b=2sin(a+b)/2*cos(a-b|b-sin a*sin b значит |
|                     |)/2                  |cos(a+b)=cos a*cos b-|
|                     |Докажем формулу 2:   |sin a*sin b. Докажем |
|                     |Sin a-sin b= sin     |формулу (4): sin     |
|                     |(x+y)- sin(x-y)=sin x|(a+b)=cos(пи/2-(a+b))|
|                     |cos y+ sin y*cos x   |=cos((пи/2-a)-b)=cos(|
|                     |–sin x*cos y+sin     |пи/2-a)cos           |
|                     |y*cos x= 2 sin y*cos |b+sin(пи/2-a)sin     |
|                     |x=2 sin(a-b)/ 2 *    |b=sin a*cos b+cos    |
|                     |cos(a+b)/2.  Таким   |a*sin b Значит sin   |
|                     |образом sin a- sin   |(a+b)=sin a*cos b+sin|
|                     |b=2 sin(a-b)/2       |b*cos a              |
|                     |*cos(a+b)/2,         |Докажем формулу (3)  |
|                     |3) выведем ф-лы для  |Применяя последнюю   |
|                     |суммы и разности     |формулу имеем        |
|                     |косинусов.           |sin(a-b)=sin(a+(-b))=|
|                     |Докажем формулу 4:   |sin a*cos            |
|                     |Cos a- cos           |(-b)+sin(-b)*cos     |
|                     |b=cos(x+y)-cos(x-y)=c|a=sin a*cos b-sin    |
|                     |os x* cos y-sin x*   |b*cos a. Значит      |
|                     |sin y-cos x*cos y-sin|sin(a-b)=sin a*cos   |
|                     |x*sin y=-2sin x*sin  |b-sin b*cos a. При   |
|                     |y=-2sin(a+b)/2*sin(a-|док-ве формул (1)-(4)|
|                     |b)/2 Таким образом   |были использованы    |
|                     |cos a- cos b=-2 sin  |следующие факты:1)   |
|                     |(a+b)/2*sin (a-b)/2  |формулы приведения   |
|                     |                     |2)ф-ция y=sin        |
|                     |                     |x-нечетная, ф-ция    |
|                     |                     |y=cos x-четная. Из   |
|                     |                     |формул сложения      |
|                     |                     |пологая b=пи n/2, где|
|                     |                     |n ?N, можно вывести  |
|                     |                     |формулы привидения   |
|                     |                     |для преобразований   |
|                     |                     |выражений вида       |
|                     |                     |cos(пи*n/2 ±a),      |
|                     |                     |sin(пи*n/2 ±a).      |
|                     |                     |Например cos(пи*n/2  |
|                     |                     |-a)= cos пи/2*cos    |
|                     |                     |a+sin пи/2*sin       |
|                     |                     |a=0+sin a=sin a.     |
|                     |                     |Аналогично выводятся |
|                     |                     |следующие формулы:   |
|                     |                     |Sin (пи-а)=sin a     |
|                     |                     |Sin (пи+а)=-sin a    |
|                     |                     |Sin (3 пи/2-а)=-cos a|
|                     |                     |и т.п. Из формул     |
|                     |                     |сложения следуют     |
|                     |                     |формулы двойного     |
|                     |                     |аргумента:           |
|                     |                     |Sin 2a=2sin a*cos a  |
|                     |                     |Cos 2a=cos^2 a-sin^2 |
|                     |                     |a                    |



|Билет №11            |Билет №12            |Билет №15            |
|1)Пусть на отрезке   |1)Пусть функция      |1.Если производная   |
|[a;b] задана         |y=f(x) непрерывна на |функции равна 0 на   |
|непрерывная и        |отрезке [a;b];       |некотором промежутке,|
|неотрицательная      |F-первообразная      |то эта функция       |
|функция y=f(x);      |функции. В этом      |постоянна на этом    |
|S-площадь            |случае интеграл (a;b)|промежутке.          |
|соответствующей      |f(x)dx = F(b) – F(a).|Если g((x)=0 на      |
|криволинейной        |Пример Вычислить :   |некотором промежутке |
|трапеции (рис42). Для|Интеграл (0;Пи)cos(2x|то касательная к     |
|вычисления площади S |– Пи/4) dx = Ѕsin(2x |графику функции      |
|разобьём отрезок     |– Пи/4)|(0;Пи)=      |y=g(x), например     |
|[a;b] на n равных    |Ѕsin(2Пи - Пи/4) –   |g(x)=6 в каждой точке|
|отрезков, длинна     |Ѕsin(-Пи/4)=Ѕsin(-Пи/|данного промежутка   |
|каждого отрезка      |4) +                 |параллельна оси ОХ.  |
|[Xj;Xj+1] равна b-a /|Ѕsin(Пи/4)=-SQR2/4 + |                     |
|n; на каждом из      |SQR2/4 = 0.          |                     |
|отрезков построим    |2)Если каждому       |2.Если f- непрерывная|
|прямоугольник, высота|действительному числу|и неотрицательная    |
|которого равна       |поставить в          |функция на           |
|значению функции     |соответствие его     |отрезке(а;b(, то     |
|f(Xj); площадь такого|косинус, то говорят, |площадь              |
|прямоугольника равна |что задана функция   |соответствующей      |
|f(Xj)* ?X=f(Xj) * b-a|косинус.  Свойства   |криволинейной        |
|/ n. При увеличении  |функции косинус      |трапеции можно выч-ть|
|числа промежутков, на|1)D(y)=R  Каждому    |по формуле           |
|которые  разбивается |действительному числу|S=F(b)-F(a)          |
|отрезок [a;b],       |х соответствует      |Док-во:              |
|ступенчатая фигура,  |единственная точка   |Пусть y=S(x) –площадь|
|состоящяя из         |единичной окружности |криволинейной        |
|прямоугольников,     |Рх, получаемая       |трапеции, имеющей    |
|будет «мало          |поворотом точки Р0   |основание (a;x( где  |
|отличатся» от        |(1;0) на угол х      |x((а;b(, заметим что |
|криволинейной        |радиан. Точка Рх     |S(a)= 0 S(b)=S       |
|трапеции, и если     |имеет абсциссу,      |Покажем что          |
|Sn-сумма площадей    |равную cos x.        |y=S(x)-первообразная |
|всех прямоугольников,|Следовательно, для   |ф-ция y=f(x)         |
|то Sn~=S.  В курсе   |любого х определено  |т.е. S((x)=f(x) что  |
|математического      |значение функции     |бы найти производную |
|анализа показывается,|y=cosx.  2)Множеством|ф-ции y=S(x),        |
|что для любой        |значений функции     |воспользуемся опр-ем |
|непрерывной на       |косинус является     |производной:         |
|отрезке [a;b] функции|промежуток [-1;1],   |а) зададим преращение|
|y=f(x) существует    |т.е. E(y)=[-1;1]. Это|?x (пусть ?x (0)     |
|число, к которому    |следует из           |б) найдем приращение |
|стремится сумма      |определения косинуса:|ф-ции                |
|площадей             |абцисса любой точки  |?S=S(x+?x)-S(x)      |
|прямоугольников при  |единичной окружности |в) составим          |
|неограниченном       |удовлетворяет условию|соотношение          |
|увеличении n(n >     |–1<=Xpx <=1, т.е.    |?S/?x=S(x+?x)-S(x)/  |
|?)). Это число       |–1<= cosx<=1.        |?x                   |
|называют интегралом, |3)Функция косинус    |г) выясним чему равен|
|т.е. Sn >  integral  |является чётной, т.е.|предел отношения при |
|(a;b) f(x) dx при n> |для любого x ? R     |?x(0Разность         |
|?                    |выполняется равенство|S(x+?x)-S(x) равна   |
|2)Если каждому       |cos(-x)=cosx. Пусть  |площади криволинейной|
|действительному числу|точка Рх получина при|трапеции с основанием|
|поставлен в          |повороте точки Ро на |(x; x+?x(            |
|соответствие его     |х радиан, а точка    |Если ?x(0 то эта     |
|синус, то говорят,   |Р-хполучина при      |площадь              |
|что задана функция   |повороте точки Р0 на |приблизительно равна |
|синус (обозначение   |–х радиан(рис46).    |площади              |
|y=sin x). Свойства   |Треугольник ОрхР-х   |прямоугольника f(x)* |
|функции синус  1)    |является             |?x   т.е.            |
|Область определения  |равнобедренным; ON – |S(x+?x)-S(x) (f(x) * |
|функции синус        |биссектриса угла     |?x                   |
|является множество   |РхР-х, значит,       |Имеем                |
|всех действительных  |является и высокой,  |S(x+?x)-S(x)/ ?x     |
|чисел, т.е. D(y)=R.  |проведённой к стороне|(f(x)                |
|Каждому              |РхР-х. Из этого      |При ?x(0. Этим       |
|действительному числу|следует, что точки Рх|показано что         |
|х соответствует      |и Р-х имеют одну и ту|S((x)=f(x)           |
|единственная точка   |же абсциссу ON, т.е. |3)Равенство S((x)    |
|единичной окружности |cos(-x)=cosx.        |=f(x) означает что S-|
|Px, получаемая       |4)Функция косинус    |первообразная        |
|поворотом точки      |является             |функцииf на заданном |
|P0(1;0) на угол,     |периодической с      |промежутке.          |
|равный х радиан.     |периодом 2ПиR, где   |3)По основному св-ву |
|Точка Рх имеет       |R-целое, кроме 0.    |первообразной имеем  |
|ординату, равную     |Наименьшим           |F(x)=S(x)+C, где F-  |
|sinx. Следовательно, |положительным        |какая-либо           |
|для любого х         |периодом косинуса    |первообразная для f. |
|определено значение  |являеися число 2Пи.  |При x=a получим ,что |
|функции синус.  2)   |Каждому              |                     |
|Множеством значений  |действительному числу|F(a)=S(a)+C т.е.     |
|функции синус        |вида x+2ПиR, где     |C=F(a).              |
|является промежуток  |R?Z,соответствует    |При x=b имеем        |
|[-1;1], т.е.         |единственная точка   |F(b)=S(b)+F(a)       |
|E(y)=[-1;1]. Это     |единичной окружности |Следовательно        |
|следует из           |Рх+2ПиR, получаемая  |S=S(b)=F(b)-F(a)     |
|определения синуса:  |поворотом точки Р0   |                     |
|ордината любой точки |(1;0) на угол        |                     |
|единичной окружности |(x+2ПиR) радиан.     |                     |
|удовлетворяет условию|Точка Рх+2ПиR имеет  |                     |
|–1 <= Ypx<=1, т.е.   |абсциссу, равную cosx|                     |
|–1<=sin x<=1         |или cos(x+2ПиR), где |                     |
|3)Функция синус      |R?Z. Таким образом,  |                     |
|является нечётной,   |cosx=cos(x+2ПиR). При|                     |
|т.е. для любого х    |R=1 имеем            |                     |
|принадлежащего R     |cosx=cos(x+2Пи),     |                     |
|выполняется равенство|следовательно, число |                     |
|sin(-x)=-sinx. Пусть |2Пи является периодом|                     |
|точка Рх получена при|функции косинус.     |                     |
|повороте точки Р0 на |Покажем, что 2Пи –   |                     |
|х радиан, а точка Р-х|наименьший           |                     |
|получена при повороте|положительный период.|                     |
|точки Р0 на –х радиан|Пусть Т-положительный|                     |
|(рис 43). Треугольник|период косинуса;     |                     |
|ОрхР-х является      |тогда cos(x+T) = cosx|                     |
|равнобедренным;      |при любом значении х.|                     |
|ON-биссектриса угла  |Это равенство должно |                     |
|РхОР-х, значит, ON   |быть верно и при х=0,|                     |
|является медианой и  |т.е. cosT = cos0=0,  |                     |
|высотой, проведённой |следовательно,       |                     |
|к стороне РхР-х.     |cosT=0. Но cosT=0,   |                     |
|Следовательно, PxN = |если T=2ПиR, где R?Z.|                     |
|P-xN, т.е. ординаты  |Наименьшее           |                     |
|точек Рх и Р-х       |положительное число  |                     |
|одинаковы по модулю и|вида 2ПиR есть 2Пи.  |                     |
|противоположны по    |5)Функция косинус    |                     |
|знаку. Это означает, |принимает значение   |                     |
|что sin(-x)=-sinx.   |нуль при х=Пи/2 +    |                     |
|4) Функция синус     |ПиR, где R?Z.        |                     |
|является             |Решением уравнения   |                     |
|периодической с      |cosx=0 являются числа|                     |
|периодом 2ПиR, где R-|х+Пи/2+ПиR, где R?Z. |                     |
|целое. Кроме 0.      |6)Функция косинус    |                     |
|Наименьшим           |принимает            |                     |
|положительным        |положительные        |                     |
|периодом синуса      |значения при –Пи/2 + |                     |
|является число 2Пи.  |2ПиR<x<Пи/2 + 2ПиR,  |                     |
|Каждому              |где R?Z. Функция     |                     |
|действительному числу|косинус принимает    |                     |
|вида x+2ПиR, где R   |отрицательные        |                     |
|принадлежит Z,       |значения при Пи/2 +  |                     |
|соответствует        |2ПиR<x<3Пи/2 + 2ПиR, |                     |
|единственная точка   |где R?Z. Промежутки  |                     |
|единичной окружности |знакопостоянства     |                     |
|Рх + 2ПиR, получаемая|(рис47) следуют из   |                     |
|поворотом точки      |определения косинуса.|                     |
|Р0(1;0) на угол      |7)Функция косинус    |                     |
|x+2ПиR имеет         |возрастает на        |                     |
|ординату, равную sinx|промежутках [-Пи +   |                     |
|или sin(x+2ПиR).     |2ПиR; 2ПиR], где R?Z,|                     |
|Таким образом,       |и убывает на         |                     |
|sin(x+2ПиR)=sinx.    |промежутках [2ПиR;   |                     |
|Этим показано, что   |Пи+2ПиR], где R?Z.   |                     |
|числа вида 2ПиR, где |Чтобы доказать       |                     |
|R- целое, кроме 0,   |утверждение о        |                     |
|являются периодом    |промежутках          |                     |
|функции. При R=1     |возрастания функции  |                     |
|имеем                |косинус, заметим, что|                     |
|sin(x+2Пи)=sinx,     |cosx=sin(Пи/2+х).    |                     |
|следовательно, число |Функция y+sin(Пи/2 + |                     |
|2Пи также является   |х) возрастает, если  |                     |
|периодом функции     |–Пи/2 + 2ПиR<=Пи/2 + |                     |
|синус. Покажем, что  |x<=Пи/2 + 2ПиR, где  |                     |
|2Пи-наименьшее       |R?Z; т.е. если –Пи + |                     |
|положительное число, |2ПиR, где R?Z; т.е.  |                     |
|являющееся периодом  |если                 |                     |
|функции синус. Пусть |–Пи+2ПиR<=x<=2ПиR,   |                     |
|Т – положительный    |где R?Z. Поскольку   |                     |
|период функции синус;|sin(Пи/2 + х)=cosx,  |                     |
|тогда sin(x+T)=sinx  |функция y=cosx       |                     |
|при любом х. Это     |возрастает, если     |                     |
|равенство верно и при|–Пи+2ПиRR<=x<=2ПиR,  |                     |
|x= Пи.2, т.е.        |где R?Z. Аналогично  |                     |
|sin(пи/2 + T)=sin    |обосновывается       |                     |
|Пи/2 = 1. Но         |утверждение о        |                     |
|sinx=1,если x= Пи/2 +|промежутках убывания |                     |
|2Пиn, где n          |функции. 8)Функция   |                     |
|принадлежит Z.       |косинус имеет        |                     |
|Наименьшее           |максимумы, равные  1,|                     |
|положительное число  |в точках 2ПиR, где   |                     |
|вида 2Пиn есть 2Пи.  |R?Z. Функция косинус |                     |
|5) Функция синус     |имеет минимумы,      |                     |
|принимает значение   |равные –1, в точках  |                     |
|нуль при x=ПиR, где R|Пи+2ПиR, где R?Z.    |                     |
|принадлежит Z.       |Покажем, что функция |                     |
|Решением уравнения   |y=cosx имеет         |                     |
|sinx=0 являются числа|максимумы в точках   |                     |
|x=ПиR, где R         |2ПиR, где R?Z.       |                     |
|принадлежит Z.  6)   |Замечая, что         |                     |
|Функция синус        |cosx=sin(Пи/2 + х),  |                     |
|принимает            |найдём точки         |                     |
|положительные        |максимума функции    |                     |
|значения при         |y=sin(Пи/2+x). Её    |                     |
|2ПиR<x<Пи+2ПиR, где R|точки максимума Пи/2 |                     |
|принадлежит Z.       |+ х=Пи/2+2ПиR, где   |                     |
|Функция синус        |R?Z, т.е. x=2ПиR, где|                     |
|принимает            |R?Z. Максимум функции|                     |
|отрицательные        |косинус равен 1.     |                     |
|значения при         |Аналогично проводятся|                     |
|Пи+2ПиR<x<2Пи+2ПиR,  |рассуждения о точках |                     |
|где R принадлежит Z. |минимума. 9)Функция  |                     |
|Промежутки           |косинус непрерывна на|                     |
|знакопостоянства     |всей области         |                     |
|(рис44) следует из   |определения.10)      |                     |
|определения синуса.  |Функция косинус      |                     |
|7) Функция синус     |дифференцируема в    |                     |
|возрастает на        |каждой точке области |                     |
|промежутках [-Пи/2 + |определения;         |                     |
|2ПиR; Пи/2 + 2ПиR],  |производная функции  |                     |
|где R принадлежит Z, |косинус вычисляется  |                     |
|и убывает на         |по формуле           |                     |
|промежутках [Пи/2 +  |(cosx)’=-sinx.       |                     |
|2ПиR; 3Пи/2 + ПиR],  |                     |                     |
|где R принадлежит Z  |                     |                     |
|Докажем, что функция |                     |                     |
|синус возрастает на  |                     |                     |
|промежутке [-Пи/2;   |                     |                     |
|Пи/2]. Пусть         |                     |                     |
|х1принадлежит  [-Пи  |                     |                     |
|/2; Пи /2] и х2>x1.  |                     |                     |
|Сравним два значения |                     |                     |
|функции: sinx2 –     |                     |                     |
|sinx1 = 2cos x1+x2/2 |                     |                     |
|* sin x2-x1/2; 0<    |                     |                     |
|x2-x1/2 <= Пи/2,     |                     |                     |
|-Пи/2 < x1+x2/2<     |                     |                     |
|Пи/2, поэтому,       |                     |                     |
|учитывая промежутки  |                     |                     |
|знакопостоянства     |                     |                     |
|синуса и косинуса,   |                     |                     |
|имеем sin x2-x1/2 >  |                     |                     |
|0, cos x1+x2/2>0.    |                     |                     |
|Таким образом,       |                     |                     |
|sinx2-sinx1>0,       |                     |                     |
|значит, большему     |                     |                     |
|значению аргумента   |                     |                     |
|соответствует большее|                     |                     |
|значение функции,    |                     |                     |
|т.е. функция синус   |                     |                     |
|возрастает на        |                     |                     |
|промежутке [-Пи/2;   |                     |                     |
|Пи/2]. В силу        |                     |                     |
|периодичности синуса |                     |                     |
|можно утверждать, что|                     |                     |
|синус возрастает на  |                     |                     |
|промежутках [-Пи/2 + |                     |                     |
|2ПиR; Пи/2 + 2ПиR],  |                     |                     |
|где R принадлежит Z. |                     |                     |
|8) Функция синус     |                     |                     |
|имеет максимумы ,    |                     |                     |
|равные 1, в точках   |                     |                     |
|Пи/2 + 2ПиR, где где |                     |                     |
|R принадлежит Z.     |                     |                     |
|Функция Синус имеет  |                     |                     |
|минимумы, равные –1, |                     |                     |
|в точках 3Пи/2 +     |                     |                     |
|2ПиR, где R          |                     |                     |
|принадлежит Z.       |                     |                     |
|Покажем, что точка   |                     |                     |
|х0=Пи/2 является     |                     |                     |
|точкой максимума.    |                     |                     |
|Функция синус        |                     |                     |
|возрастает на        |                     |                     |
|промежутке [-Пи/2;   |                     |                     |
|Пи/2], т.е.          |                     |                     |
|sinx<sinПи/2 для     |                     |                     |
|любого х             |                     |                     |
|принадлежащего [-Пи/2|                     |                     |
|; пи/2]. Функция     |                     |                     |
|синус убывает на     |                     |                     |
|промежутке [Пи/2;    |                     |                     |
|3Пи/2], т.е. sin x < |                     |                     |
|sin Пи/2 для любого х|                     |                     |
|принадлежащего [Пи/2;|                     |                     |
|3Пи/2]. Ледовательно,|                     |                     |
|х0+Пи/2 является     |                     |                     |
|точкой максимума (по |                     |                     |
|определению), а      |                     |                     |
|значение sinx=1      |                     |                     |
|является максимумом. |                     |                     |
|В силу периодичности |                     |                     |
|функции синус можно  |                     |                     |
|утверждать, что в    |                     |                     |
|точках Пи/2 + 2ПиR,  |                     |                     |
|где R принадлежит Z, |                     |                     |
|функция имеет        |                     |                     |
|максимум, равный 1.  |                     |                     |
|9) Функции арксинус  |                     |                     |
|дифференцируема в    |                     |                     |
|каждой точке области |                     |                     |
|определения;         |                     |                     |
|производная          |                     |                     |
|вычисляется по       |                     |                     |
|формуле (sin         |                     |                     |
|x)’=cosx. (рис 45)   |                     |                     |
|                     |                     |Билет №16            |
|                     |                     |1)Пусть задана       |
|                     |                     |функция y=f(x),      |
|                     |                     |дифференцируемая в   |
|                     |                     |каждой точке         |
|                     |                     |промежутка I, точки a|
|                     |                     |и b принадлежат этому|
|                     |                     |промежутку. На       |
|                     |                     |интервале (a;b)      |
|                     |                     |найдётся такая точка |
|                     |                     |с, для которой       |
|                     |                     |выполняется равенство|
|                     |                     |f’(x)= f(b)-f(a)/b-a.|
|                     |                     |Геометрически этот   |
|                     |                     |факт можно           |
|                     |                     |истолковать следующим|
|                     |                     |образом. Пусть       |
|                     |                     |функция y=f(x)       |
|                     |                     |дифференцируема на   |
|                     |                     |некотором промежутке.|
|                     |                     |Точки a и b          |
|                     |                     |принадлежат этому    |
|                     |                     |промежутку; через    |
|                     |                     |точки A(a;f(a)) и    |
|                     |                     |B(b;f(b)) проведена  |
|                     |                     |секущая. Тогда на    |
|                     |                     |интервале (a;b)      |
|                     |                     |найдётся такая точка |
|                     |                     |с, что угловой       |
|                     |                     |коэффициент          |
|                     |                     |касательной,         |
|                     |                     |проведённой через    |
|                     |                     |точку (с; f(c)),     |
|                     |                     |будет равен угловому |
|                     |                     |коэффициенту секущей |
|                     |                     |АВ (рис 55).         |
|                     |                     |2)Функция заданная   |
|                     |                     |формулой f(x)=x^a,   |
|                     |                     |называется степенной.|
|                     |                     |Свойства степенной   |
|                     |                     |функции при а>1      |
|                     |                     |1)D(f)=[0;+(], если а|
|                     |                     |не является          |
|                     |                     |натуральным числом.  |
|                     |                     |Это следует из       |
|                     |                     |определения степени с|
|                     |                     |рациональным         |
|                     |                     |показателем. Если а  |
|                     |                     |натуральное число, то|
|                     |                     |D(f)=(-(;+() по      |
|                     |                     |определению степени с|
|                     |                     |натуральным          |
|                     |                     |показателем.         |
|                     |                     |2)E(f)=[0;+() для    |
|                     |                     |всех а>1, кроме а=   |
|                     |                     |2R+1. Где R(N. Это   |
|                     |                     |следует из           |
|                     |                     |определения степени с|
|                     |                     |рациональным         |
|                     |                     |показателем.         |
|                     |                     |E(f)=(-(;+() для     |
|                     |                     |нечётных а,т.е.      |
|                     |                     |а=2R+1, где R(N.     |
|                     |                     |3)Если а-чётное      |
|                     |                     |натуральное число, то|
|                     |                     |данная функция       |
|                     |                     |является чётной. Т.к.|
|                     |                     |f(-x)=(-x)^2R =      |
|                     |                     |((-x)^2)^R= (x^2)^R =|
|                     |                     |x^2R = f(x). Если    |
|                     |                     |а-нечётное           |
|                     |                     |натуральное число. то|
|                     |                     |данная функция       |
|                     |                     |является нечётной,   |
|                     |                     |так как              |
|                     |                     |f(-x)=(-x)^2R+1 +    |
|                     |                     |(-x)^2R (-x)= x^2R * |
|                     |                     |(-x)=-x^2R * x+      |
|                     |                     |-x^2R+1 + -f(x).     |
|                     |                     |4)При х=0 функция    |
|                     |                     |f(x)=0, так как 0^a =|
|                     |                     |0 при а>0. 5)При x>0 |
|                     |                     |функция f(x)>0.  Это |
|                     |                     |следует из           |
|                     |                     |определения степени с|
|                     |                     |рациональным         |
|                     |                     |показателем. При     |
|                     |                     |нечётных а(а=2R+1,   |
|                     |                     |R(N), если х<0,      |
|                     |                     |функция принимает    |
|                     |                     |отрицательные        |
|                     |                     |значения. Так как    |
|                     |                     |x^2R+1+x^2R, x^2R>0, |
|                     |                     |но x<0,              |
|                     |                     |следовательно,       |
|                     |                     |произведение x^2R    |
|                     |                     |x<0, т.е. f(x)<0 при |
|                     |                     |x<0. 6) Функция      |
|                     |                     |является возрастающей|
|                     |                     |на промежутке [0;+() |
|                     |                     |для любого a>1. Из   |
|                     |                     |свойства степени с   |
|                     |                     |рациональным         |
|                     |                     |показателем          |
|                     |                     |(r-рациональное число|
|                     |                     |и 0<a<b, тогда       |
|                     |                     |a^r<b^r при r>0)     |
|                     |                     |следует, что         |
|                     |                     |x1^a<x2^a. Таким     |
|                     |                     |образом, меньшему    |
|                     |                     |значению аргумента   |
|                     |                     |соответствует меньшее|
|                     |                     |значение функции,    |
|                     |                     |т.е. функция y=f(x)  |
|                     |                     |возрастает на        |
|                     |                     |промежутке [0;().    |
|                     |                     |Докажем, что если ф- |
|                     |                     |нечётное число, то   |
|                     |                     |функция возрастает и |
|                     |                     |на промежутке (-(;0] |
|                     |                     |(рис56б). Пусть      |
|                     |                     |x1<x2<0, тогда x1^a< |
|                     |                     |x2^a по определению  |
|                     |                     |степени с целым      |
|                     |                     |отрицательным        |
|                     |                     |показателем. Т.е.    |
|                     |                     |данная функция       |
|                     |                     |возрастает по        |
|                     |                     |определению          |
|                     |                     |возрастающей на      |
|                     |                     |промежутке функции.  |
|                     |                     |Аналогично можно     |
|                     |                     |доказать, что функция|
|                     |                     |y=f(x) на промежутке |
|                     |                     |(-(;0] убывает, если |
|                     |                     |а – чётное целое     |
|                     |                     |(рис56а).            |
|                     |Билет №17            |                     |
|                     |Пусть задана сложная |                     |
|                     |ф-ция g(x)=f(kx+b).  |                     |
|                     |Если ф-ция f имеет   |                     |
|                     |производную в точке  |                     |
|                     |kx0+b, то производную|                     |
|                     |ф-ции g можно найти  |                     |
|                     |по формуле           |                     |
|                     |g((x0)=kf((kx0+b).   |                     |
|                     |Например найдем      |                     |
|                     |производную ф-ции    |                     |
|                     |g(x)=(7x-9)^19       |                     |
|                     |g((x)=7*19(7x-9)^18=1|                     |
|                     |33(7x-9)^18          |                     |
|                     |2. Правило 1. Если F-|                     |
|                     |первообразная ф-ции  |                     |
|                     |f, а  G-             |                     |
|                     |первообразная ф-ции  |                     |
|                     |g, то F+G является   |                     |
|                     |первообразная ф-ции  |                     |
|                     |f+g.                 |                     |
|                     |Док-во: Воспользуемся|                     |
|                     |опр-ием первообразной|                     |
|                     |, т.е. найдем        |                     |
|                     |производную ф-ции    |                     |
|                     |F+G.                 |                     |
|                     |(F+G)(=F(+G(=f+g     |                     |
|                     |Правило 2. Если F-   |                     |
|                     |первообразная ф-ции  |                     |
|                     |f, а k –постоянная , |                     |
|                     |то kF- первообразная |                     |
|                     |ф-ции kf.            |                     |
|                     |Док-во: Воспользуемся|                     |
|                     |опр-ием первообразной|                     |
|                     |, т.е. найдем        |                     |
|                     |производную ф-ции    |                     |
|                     |kF.                  |                     |
|                     |(kF)(=kF(=kf         |                     |
|                     |Правило 3. Если      |                     |
|                     |y=F(x)- первообразная|                     |
|                     |ф-ции                |                     |
|                     |y=f(x),а k и b-      |                     |
|                     |постоянные, причем   |                     |
|                     |k(0 то ф-ция         |                     |
|                     |y=1/k*f(kx+b) явл-ся |                     |
|                     |первообразной ф-ции  |                     |
|                     |y=f(kx+b)            |                     |
|                     |Док-во: Воспользуемся|                     |
|                     |опр-ием первообразной|                     |
|                     |, т.е. найдем        |                     |
|                     |производную ф-ции    |                     |
|                     |y=1/k*F(kx+b)        |                     |
|                     |(1/k*F(kx+b))(=1/k*F(|                     |
|                     |(kx+b)*k=F((kx+b)=f(k|                     |
|                     |x+b)                 |                     |
|Билет № 18.          |Билет №19            |Билет №20            |
|1.Пусть материальная |1.Функция y=F(x)     |1)Изобразим  в       |
|точка движения по    |называется           |прямоугольной системе|
|координатной прямой  |периодической, если  |координат графики    |
|по закону x=x(t),    |существует такое     |следующих            |
|т.е. координата точки|число Т, не равное   |показательных        |
|– известная ф-ия     |нулю, что для любых  |ф-ий:y=(3/2), y=2,   |
|времени. За          |значений аргумента из|y=(5/2), y=3         |
|промежуток времени ?t|области определения  |Все графики проходят |
|перемещение точки    |функции выполняются  |через точку M(0;1).  |
|равно ?x, а средняя  |равенства            |Проведём касательные |
|скорость vср=?x/?t.  |f(x-T)=f(x)=f(x+T).  |к графикам в этой    |
|Если движение таково,|Число Т называется   |точке. Измерим углы  |
|что при ?t(0 значение|периодом функции.    |наклона касательных к|
|средней скорости     |Например, y=sinx –   |оси абсцисс. У       |
|стремится к          |периодическая функция|касательных к        |
|некоторому           |(синусоиду нарисуешь |графикам ф-ии        |
|определённому числу, |сам (а)) Периодом    |y=(3/2), y=2, y(5/2) |
|то это число называют|функции являются     |углы с положительным |
|мгновенной скоростью |любые числа вида     |направлением оси Ох  |
|(?x/?y ( vмгн, при   |T=2PR, где R –целое, |меньше 45(. У        |
|?t(0). Но по         |кроме 0. Наименьшим  |касательной к графику|
|определению          |положительным        |ф-ии y=3 этот угол   |
|производной ?x/?y (  |периодом является    |больше 45(. Наличие у|
|x’ при ?t(0.         |число T=2P. Для      |показательной ф-ии   |
|Мгновенная скорость  |построения графика   |y=e (e=2.71828…)     |
|определена для любой |периодической функции|касательной,         |
|дифференцируемой     |достаточно построить |проведёной в точке   |
|ф-ии, описывающей    |часть графика на     |M(0;1) и образующей с|
|перемещение точки по |одном из промежутков |положительным        |
|прямой. Чтобы найти  |длинной Т, а затем   |направлением оси     |
|скорость движения v, |выполнить            |абсцисс угол в 45,   |
|нужно определить     |параллельный перенос |означает, что        |
|производную от       |этой части графика   |производная в точке  |
|координаты по        |вдоль оси абсцисс на |х0 =0 равно 1.       |
|времени, т.е.        |+-Т, +-2Т, +-3Т,…    |Натуральным          |
|v(t)=x’(t). Пример.  |                     |логарифмом называется|
|Координата точки,    |                     |логарифм по основанию|
|движущейся по прямой,|2. Если ф-ия u и v   |е. Натуральный       |
|задана формулой      |дифференцируемы в    |логарифм обозначается|
|x(t)=2t^2-3t+1 (x(t) |некоторой точке, то  |знаком ln, т.е. log  |
|– перемещение в      |их сумма             |x=ln x.              |
|метрах, t- время в   |дифференцируема в    |2. Если производная  |
|секундах). Найти     |этой же точке и      |ф-ии положительна в  |
|скорость точки в     |производная суммы    |каждой точке         |
|момент времени t=2c. |равна сумме          |интервала, то ф-ия   |
|Имеем:               |производных:         |возрастает на этом   |
|v(t)=x’(t)=4t-3;     |(u+v)’=u’+v’.        |интервале.           |
|v(2)=4*2-3=5 (м/с).  |Доказательство.      |Доказательство: Ф-ия |
|2. Таблица           |Найдём производную   |y= f(x) называется   |
|первообразных        |суммы по определению |возрастает, если     |
|элементарных ф-ий.   |производной.         |большему значению    |
|Билет № 18.          |Пусть задана точка   |аргумента            |
|1.Пусть материальная |x0, ?x-приращение    |соответствует большее|
|точка движения по    |аргумента.           |значение ф-ии.       |
|координатной прямой  |2) Вычислим          |Известно, что        |
|по закону x=x(t),    |приращение ф-ии:     |значения             |
|т.е. координата точки|?(u+v)=u(x0+?x)+(x0+?|дифференцируемой на  |
|– известная ф-ия     |x)–(u(x0)+v(x0))=u(x0|интеграле ф-ии,      |
|времени. За          |+?x)-u(x0)+v(x0+?x )-|значения производной |
|промежуток времени ?t|v(x0)= ? u+? v.      |связываются формулой |
|перемещение точки    |3)Найдём отношение   |Лагранжа: если ф-ия  |
|равно ?x, а средняя  |приращения ф-ии к    |y=f(x)               |
|скорость vср=?x/?t.  |приращению аргумента:|дифференцируема на   |
|Если движение таково,|                     |некотором промежутке,|
|что при ?t(0 значение|?(u+v)/?x=(?u+?v)//?x|точки x1 и x2        |
|средней скорости     |=?u //?x +?v/?x.     |принадлежат          |
|стремится к          |4) Выясним, к чему   |промежутку  (x1< x2),|
|некоторому           |стремится разносное  |то на интеграле      |
|определённому числу, |отношение при ?x(0   |(х1;х2) найдется     |
|то это число называют|?u/?x+?v?x (u’+v’ при|такая точка с, для   |
|мгновенной скоростью |?x(0                 |которой выполняется  |
|(?x/?y ( vмгн, при   |                     |равенство            |
|?t(0). Но по         |                     |f’(c)=(f(x2)-f(x1))/(|
|определению          |                     |x2-x1).              |
|производной ?x/?y (  |                     |Пусть производная    |
|x’ при ?t(0.         |                     |ф-ии принимает       |
|Мгновенная скорость  |                     |положительные        |
|определена для любой |                     |значения на интеграле|
|дифференцируемой     |                     |I, т.е.              |
|ф-ии, описывающей    |                     |f’(x)>0.Возьмем два  |
|перемещение точки по |                     |знацения аргумента x1|
|прямой. Чтобы найти  |                     |и x2,принадлежащие   |
|скорость движения v, |                     |этому интегралу,     |
|нужно определить     |                     |причём х1<х2. Сравним|
|производную от       |                     |значения этой ф-ии в |
|координаты по        |                     |точках х1 и х2. По   |
|времени, т.е.        |                     |формуле Лагранжда    |
|v(t)=x’(t). Пример.  |                     |найдётся такое       |
|Координата точки,    |                     |значения с ( (х1:х2),|
|движущейся по прямой,|                     |для которой          |
|задана формулой      |                     |выполняется равенство|
|x(t)=2t^2-3t+1 (x(t) |                     |                     |
|– перемещение в      |                     |F’(c)=(f(x2)-f(x1))/(|
|метрах, t- время в   |                     |x2-x1).              |
|секундах). Найти     |                     |Из этого условия     |
|скорость точки в     |                     |следует, что         |
|момент времени t=2c. |                     |f(x2)-f(x1)=f’(c)*(x2|
|Имеем:               |                     |-x1).                |
|v(t)=x’(t)=4t-3;     |                     |Заметим, что f(c)>0  |
|v(2)=4*2-3=5 (м/с).  |                     |(по условию), значит,|
|2. Таблица           |                     |f’(c)*(x2-x1)>0, т.е.|
|первообразных        |                     |разность значению    |
|элементарных ф-ий.   |                     |аргумента            |
|                     |                     |соответствует большее|
|                     |                     |значение ф-ии, т.е.  |
|                     |                     |ф-ия                 |
|                     |                     |y=f(x) является      |
|                     |                     |возрастающей.        |
|                     |                     |Аналогично           |
|                     |                     |показывается         |
|                     |                     |достаточное условия  |
|                     |                     |ф-ии.                |
|Ф-ия |y=x^n|y=si|y=|
|     |, n(1|n x |co|
|     |     |    |s |
|     |     |    |x |
|Общий|(x^(n|-cos|Si|
|вид  |+1))/|x+C |n |
|перво|(n+1)|    |x+|
|образ|+C   |    |C |
|ных  |     |    |  |
|Ф-ия |y=e^x|y=a^|Y=|
|     |     |x   |1/|
|     |     |    |x |
|Общий|e^x+C|(a)/|ln|
|вид  |     |ln  |x |
|перво|     |a+C |+C|
|образ|     |    |  |
|ных  |     |    |  |