Лекции по матану (III семестр) переходящие в шпоры
№1
1 Двойной интеграл
Рассмотрим в плоскости Оху замкнутую область D, ограниченную линией Г,
являющейся замкнутой непрерывной кривой. z = l(P) = f(x,y), P= (x,y) ( D –
произвольные ф-ции определенные и ограниченные на D. Диаметром области D
наз. наибольшее расстояние между граничными точками. Область D разбивается
на n частых областей D1…Dn конечным числом произв. кривых. Если S – площадь
D, то (Si – площадь каждой частной области. Наибольший из диаметров
областей обозн (. В каждой частной области Di возьмем произв. точку Pi ((i
, Di) ( Di, наз. промежуточной. Если диаметр разбиения D ( ( 0 , то число
n областей Di ( (. Вычислим зн-ие ф-ции в промежуточных точках и составим
сумму:I = [pic]f((i, Di)(Si (1), наз. интегральной суммой ф-ции. Ф-ция
f(x,y) наз. интегрируемой в области D если существует конечный предел
интегральной суммы.
Двойным интегралом ф-ии f(x,y) по области D наз. предел интегральной суммы
при ( ( 0. Обозн:
[pic]или[pic]
2 Понятие числового
ряда и его суммы
Пусть задана бесконечная последовательность чисел u1, u2, u3…
Выражение u1+ u2+ u3…+ un (1) называется числовым рядом, а числа его
составляющие- членами ряда.
Сумма конечно числа n первых членов ряда называется n-ной частичной суммой
ряда: Sn = u1+..+un
Если сущ. конечный предел: [pic], то его называют суммой ряда и говорят,
что ряд сходится, если такого предела не существует, то говорят что ряд
расходится и суммы не имеет.
№ 2
1 Условие существования
двойного интеграла
Необходимое, но недостаточное:
Ф-ция f(x,y) интегрируема на замкнутой области D, ограничена на D.
1 достаточный признак существования: если ф-ция f(x,y) непрерывна на
замкнутой, огр. области D, то она интегрируема на D.
2 достаточный признак существования: если ф-ция f(x,y) ограничена в
замкнутой области D с какой-то границей и непрерывна в ней за исключением
отдельных точек и гладки=х прямых в конечном числе где она может иметь
разрыв, то она интегрируема на D.
2 Геометрический и
арифметический ряды
Ряд состоящий из членов бесконечной геометрической прогрессии наз.
геометрическим: [pic] или
а+ а(q +…+a(qn-1
a ( 0 первый член q – знаменатель. Сумма ряда: [pic]
следовательно конечный предел последовательности частных сумм ряда зависит
от величины q
Возможны случаи:
1 |q|<1 [pic]
[pic]т. е. ряд схд-ся и его сумма [pic]2 |q|>1 [pic] и предел суммы так же
равен бесконечности
т. е. ряд расходится.
3 при q = 1 получается ряд: а+а+…+а… Sn = n(a [pic] ряд расходится
4 при q(1 ряд имеет вид: а-а+а … (-1)n-1a Sn=0 при n четном, Sn=a при n
нечетном предела частных суммы не существует. ряд расходится.
Рассмотрим ряд из бесконечных членов арифметической прогрессии:[pic] u –
первый член, d – разность. Сумма ряда [pic]
[pic]при любых u1 и d одновременно ( 0 и ряд всегда расходится.
№3
1 Основные св-ва 2ного интеграла
1. Двойной интеграл по области D = площади этой области.
2. Если область G содержится в Д, а ф-ция ограничена и интегрируема в Д, то
она интегрируема и в G.
3. Аддитивное св-во. Если область Д при помощи кривой г разбивают на 2
области Д1 и Д2, не имеющих общих внутренних точек, то: [pic]
4. константы выносятся за знак интеграла, а сумму в ф-ции можно представить
в виде суммы интегралов:
[pic]
5. Если ф-ции f и g интегрируемы в Д, то их произведение также интегрируемо
в Д. Если g(x,y) ( 0 то и f/g интегрируема в Д.
6. Если f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в Д и всюду в этой области f(x,y) <=
g(x,y), то:
[pic]
В частности: g(x,y) >=0 то и
[pic]
7. Оценка абсолютной величины интеграла: если f(x,y) интегрируема в Д, то и
|f(x,y)| интегрир. в Д причем
[pic]
обратное утверждение неверно, итз интегрируемости |f| не следует
интегрируемость f.
8. Теорема о среднем значении.
Если ф-ция f(x,y) интегр. в Д., то в этой области найдется такая точка ((,
() ( Д, что:
[pic](2), где S – площадь фигуры Д. Значение f((, () опред по ф-ле (2)
наз. средним значением ф-ции f по области Д.
2 С-ва сходящихся рядов
Пусть даны два ряда: u1+u2+…un =[pic](1) и v1+v2+…vn = [pic](2)
Произведением ряда (1) на число ( ( R наз ряд: (u1+(u2+…(un =[pic](3)
Суммой рядов (1) и (2) наз ряд:
(u1+v1)+(u2+v2)+…(un+vn) = [pic] (для разности там только - появица)
Т1 Об общем множителе
Если ряд (1) сходится и его сумма = S, то для любого числа ( ряд [pic]=(
([pic] тоже сходится и его сумма S’ = S(( Если ряд (1) расходится и ( ( 0,
то и ряд [pic] тоже расходится. Т. е. общий множитель не влияет на
расходимости ряда.
Т2 Если ряды (1) и (2) сходятся, а их суммы = соотв S и S’, то и ряд: [pic]
тоже сходится и если ( его сумма, то ( = S+S’. Т. е. сходящиеся ряды можно
почленно складывать и вычитать. Если ряд (1) сходится, а ряд (2)
расходится, то их сумма(или разность) тоже расходится. А вот если оба ряда
расходятся. то ихняя сумма (или разность)может как расходится (если un=vn)
так и сходиться (если un=(vn)
Для ряда (1) ряд [pic]называется n – ным остатком ряда. Если нный остаток
ряда сходится, то его сумму будем обозначать: rn = [pic]
Т3 Если ряд сходится, то и любой его остаток сходится, если какой либо
остаток ряда сходится, то сходится и сам ряд. Причем полная сумма =
частичная сумма ряда Sn + rn
Изменение, а также отбрасывание или добавление конечного числа членов не
влияет на сходимость (расходимость) ряда.
№4
1 Сведение
2ного интеграла к повторному
Пусть у1(х), у2(х) непрерывны на отрезке [a, b], у1(х)<= у2(х) на всем
отрезке.
D={x,y}: a<=x<=b; y1(x)<=y<=y2(x)
Отрезок [a,b] – проекция Д на ось ох. Для такой области людбая прямая,
параллельная оу и проходящая через внутреннюю точку области Д пересекает
границу области не более чем в 2 точках. Такая область наз. правильной в
направлении оси оу.
Если фция f(x,y) задана на Д и при каждом х ( [a,b] непрерывна на у , на
отрезке, [y1(x),y2(x)], то фц-ия F(x) = [pic], наз. интегралом, зависящим
от параметра I, а интеграл : [pic], наз повторным интегралом от ф-ции
f(x,y) на области Д. Итак, повторный интеграл вычисляется путем
последовательного вычисления обычных определенных интегралов сначала по
одной., а затем по другой переменной.
2 Необходимый
признак сходимости рядов
Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю:[pic]
Док-во: [pic]
Sn=u1+u2+…+un
Sn-1\u1+u2+…+un-1
un=Sn-Sn-1, поэтому:
[pic]
Сей признак является только необходимым, но не является достаточным., т. е.
если предел общегоь члена и равен нулю совершенно необязательно чтобы ряд
при этом сходился. Следовательно, вот сие условие при его невыполнении
является зато достаточным условием расходимости ряда.
№5
1 Замена переменных в двойном интеграле.
Общий случай криволинейных координат
Пусть существует ф-ция f(x,y) интегр на области Д, можно прямолинейные
координаты x, y с помощью формул преобразования перейти к криволинейным: x
= x(u,v), y=y(u,v), где эти ф-ции непрерывные вместе с частными
производными первого порядка, устанавливают взаимно однозначное и в обе
стороны непрерывное соответствие между точками плоской области Д и области
Д’ и определитель преобразования, наз. Якобианом не обращается в
0:[pic]если это выполняется можно пользоваться ф-лой:
[pic]
2 Интегральный признак
сходимости ряда. Ряд Дирихле
Т1 Пущай дан рядт [pic](1), члены которого неотрицательны, и не возрастают:
u1>=u2>=u3…>=un
Если существует ф-ция f(x) неотрицательная, непрерывная и не возрастающая
на [1,+(] такая, что f(n) = Un, ( n ( N, то для сходимости ряда (1)
необходимо унд достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл:[pic], а
для расходимости достаточно и необходимо чтобы сей интеграл наоборот
расходился (ВАУ!).
Применим сей признак для исследования ряда Дирихле: Вот он: [pic], ( ( R
Сей ряд называют обобщенным гармоническим рядом, при ( >0 общий член оного
un=1/n( (0 и убывает поэтому можно воспользоваться интегральным признаком,
функцией здеся будет ф-ция f(x)=1/x( (x>=1)сия ф-ция удовлетворяет
условиям теоремы 1 поэтому сходимость (расходимости) ряда Дирихле
равнозначна сходимости расходимости интеграла: [pic]
Возможны три случая:
1 ( >1, [pic]
Интеграл а потому и ряд сходится.
2 0<(<1,
[pic]
Интеграл и ряд расходится
3 (=1,
[pic]
Интеграл и ряд расходится
№ 6
1 Двойной интеграл
в полярных координатах
Переход к полярным координатам частный случай замены переменных.
Луч, проходящий из произв точки О имеет на плоскости полярные координаты
A(r, () где r = |ОA| расстояние от О до А полярный радиус. ( = угол между
векторами ОА и ОР – полярный угол отсчитываемой от полярной оси против
часовой стрелки. всегда 0<=r<=+(, 0<=( <=2( .
Зависимость между прямоугольными и полярными координатами: x = r(cos( , y =
r(sin( .
Якобиан преобразования будет равен:
[pic]И формула при переходе примет вид:
[pic]
2 Признаки сравнения
Т(Признаки сравнения)
Пущай [pic] и [pic] ряды с неотрицательными членами и для любого n
выполняется нер-во:
un<=vn (1)тогда
1 Если ряд vn сходится, то сходится и ряд un
2 если ряд un расходится, то расходится и ряд vn. Т. е. говоря простыми
русскими словами для простых русских людей (ну для дураков вроде тебя): Из
сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими, а из
расходимости ряда с меньшими членами следует расходимости ряда с большими и
не наоборот!!!
Причем можно требовать, чтобы неравенство (1) выполнялось не для всех
номеров n, а начиная с некоторого n0, т. е. для некоторых номеров меньших
n0 неравенство (1) может и не выполняться. При применении сего признака
сравнения удобно в качестве ряда сравнения брать ряд Дирихле или
геометрический ряд, с которыми и так уже все ясно.
Т3 Засекреченная
Если сущ вышеописанные неотр. ряды, то если сущ предел:
[pic] (0<k<+() тада оба эти ряда сходятся.
№7
1 Вычисление
площади плоской области
с помощью 2ного интеграла
Если Д правильная в направлении оу a<=x<=b, y1(x)<=y<=y2(x), то
[pic]
Если Д огр линиями в полярных координатах, то
[pic]
2 Признаки Даламбера и Коши
Т(Признак Далембера)
Пущай для ряда un с положит членами существует предел:
[pic], то
1 Если k<1, то ряд сходится
2 Если k>1 ряд расходится
Т(Признак Коши)
Пусть для того же самого ряда (т. е. положительного) существует
предел:[pic], тогда
1 Если k<1, то ряд сходится
2 Если k>1 ряд расходится
А вот если эти все пределы по Коши и дедушке Даламберу равны 1, то о
сходимости или расходимости ряда ничего сказать низзя. Вот низзя и все тут.
Вот.
№8
1 Вычисление объема
с помощью 2ного интеграла
Рассматривая в пространстве тело Р, огр снизу плоскостью оху, сверху z =
f(x,y), кот проектируется в Д, сбоку границей области Д, называемое
криволинейным цилиндром. Объем этого тела вычисляют по формуле:[pic]
если f(x,y)<=0 в Д тор тело находится под плоскостью оху. Его объем равен
объему цилиндрического тела. огр сверху ф-цией:
z = |f(x,y)|>=0.
тогда [pic]
если в Д ф-ция меняет знак, то область разбивается на 2. Область Д1,
f(x,y)>=0; Д2, f(x,y)<=0, тогда:
[pic]
2 Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Ряд называется знакочередующимся если каждая пара соседних членов имеет
разные знаки (один ?, другой ?), если считать каждый член сего ряда
положительным то его можно записать в виде: [pic]
Т (Признак Лейбница)
Если для знакочередующегося ряды выполняются условия:
1) u1>=u2>=u3…>=un>=un+1…
2) [pic]
то ряд сходится, а его сумма и остаток rn удовлетворяют неравенствам:
0<=S<=un и |rn|<=un+1
Ряд удовлетворяющий условиям теоремы наз. рядом Лейбница.
Если условие чередования знаков выполняется не с первого члена, а с какого-
нибудь исчо, то при существовании равного 0 предела ряд будет также
сходится.
№9
1 Вычисление
площади поверхности
с помощью двойного интеграла.
Пусть дана кривая поверхность Р, заданная ур-ями z = f(x,y) и имеющая
границу Г, проецирующуюся на плоскость оху в область Д. Если в этой области
ф-ция f((x,y) непрерывна и имеет непрерывные частные производные: тогда
площадь поверхности Р вычисляется:
[pic]
для ф-ций вида x = ( (y,z) или y = ((x,z) там будут тока букыв в частных
производных менятца ну и dxdy.
2 Знакопеременные ряды.
Абсолютная и условная
сходимость рядов.
Ряд называют знакопеременным, если его членами являются действительные
числа, а знаки его членов могут меняться как кому в голову взбредет. Пусть
дан ряд:
u1+u2…+un=[pic](1), где un – может быть как положительным, так и
отрицательным. Рассмотрим ряд состоящий из абсолютных значений этого ряда:
|u1|+|u2|…+|un|=[pic](2),
Если сходится ряд (2), то ряд (1) называют абсолютно сходящимся, а вот если
ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится. то ряд (1) наз сходящимся условно.
Т. Признак абсолютной сходимости:
Если знакочередующийся ряд сходится условно. то он и просто так сходится,
при этом:
[pic]<=[pic]
Доквы:
т. к. 0<=|un|+un<=2|un|, то по признаку сравнения сходится ряд |un|+un,
тогда сходится ряд: (|un|+un)-|un|=un. Далее, т. к. по св-ву абсолютной
величины |Sn|=|u1+u2+…+un|<=|un| ( n ( N, то переходя к пределу получим:
[pic]<=[pic][pic]
Т2 Если ряд (1) абсолютно сходится, то и любой ряд составленный из тех же
членов, но в любом другом порядке тоже абсолютно сходится и его сумма равна
сумме ряда un – Sn. А вот с условно сходящимися рядами все гораздо
запущенней.
Т(Римана)
Если знакопеременный ряд с действительными членами сходится условно, то
каким бы ни было дейст. число S можно так переставить члены ряда, что его
сумма станет равна S, т. е. сумма неабсолютно сходящегося ряда зависит от
порядка слагаемых
№10
1 Вычисление массы,
координат центра масс,
моментов инерции плоской
материальной пластины с
помощью 2ного интеграла.
Масса плоской пластины вычисляется по ф-ле:
[pic], где ((х, у) – поверхностная плотность.
Координаты центра масс выч по ф-ле:
[pic]
[pic]
если пластина однородная, т. е. ((х, у) – const, то ф-лы упрощаются:
[pic][pic]
Статические моменты плоскостей фигуры Д относит осей оу и ох
[pic][pic]
Момент инерции плоской пластины относительно осей ох, оу, начала координат:
[pic][pic][pic]
J0=Jx+Jy
если пластина однородная, то ро вышвыривается на фиг и считается равной 1.
2 Сходимость функциональных последовательностей и рядов
Функциональной последовательностью заданной на множестве Е, наз.
последовательность ф-ций {fn(x)} (1)определенных на Е и принимающих
числовые действительные значения.
Пусть задана поледовательность числовых ф-ций {un(x)} Формальнг написанную
сумму: [pic](2) называют функциональным рядом на множестве Е, а ф-цию un(x)
– его членами. Аналогично случаю числовых рядов сумма: Sn(x) =
u1(x)+u2(x)+…+un(x) называется частичной суммой ряда n порядка, а ряд:
un+1? un+2… - его n-ным остатком. при каждом фиксированном х = х0 ( Е
получим из (1) числовую последовательность {fn(x0)}, а из (2) – числовой
ряд[pic], которые могут сходится или расходится. если кто-нибудь из оных
сходится, то сходится и функциональная посл (1) в т х0, и сия точка наз.
точкой сходимости.
Если посл(1) сход на м-ж Е, то ф-ция f, определенная при ( x ( E f(x) =
[pic] назывется пределом посл (1), если ряд(2) сходится на м-ж Е, то ф-ция
S(x) определенная при ( x ( Е равенством
S(x)= [pic]
называется суммой ряда (2).
Остаток ряда сходится только когда на этом же м-ж сходится сам ряд., если
обозначить сумму остатка ряда через rn(ч), то S(x) = Sn(x)+rn(x)
[pic] Если ряд (2) сходится абсолютно, то он наз абсолютно сходящимся на м-
ж Е. Множество всех точек сходимости функционального ряда наз областью
сходимости. Для определения области сходимости можно использовать признак
Даламбера и Коши. С ихнею помашшю ф-ц ряд исследуется на абсолютную
сходимость Например, если существует
[pic] и
[pic], то ряд (2) абсолютно сходится при k(x)<1 и расходится при k(x)>1.
№11
1 Тройные интегралы
Пусть на некоторой ограниченной замкнутой области V трехмерного
пространства задана ограниченная ф-ция f (x,y,z). Разобьем область V на n
произвольных частичных областей, не имеющих общих внутренних точек, с
объемами (V1… (Vn В каждой частичной области возбмем произв. точку М с
кооорд Mi((i,(i,(i) составим сумму: [pic]f((i,(i,(i)((Vi, кот наз
интегральной суммой для ф-ции f(x,y,z). Обозначим за ( максимальный диаметр
частичной области. Если интегральная сумма при ( ( 0 имеет конечный предел,
то сей предел и называется тройным интегралом от ф-ции f(x,y,z) по области
V И обозначается:
[pic]
2 Равномерная
сходимость функциональных
последовательностей и рядов.
Признак Вейерштрасса.
Ф-циональную последовательность {fn)x)} x ( E наз. равномерно сходящейся ф-
цией f на м-ж Е, если для ( ( >0, сущ номер N, такой, что для ( т х ( E и (
n >N выполняется (-во: |fn(x)-f(x)|<(. Если м-ж {fn)x)} равномерно сходится
на м-ж Е, то она и просто сходится в ф-ции f на сем м-ж. тогда пишут: fn (
f.
[pic]наз. равномерно сходящимся рядом, если на м-ж Е равномерно сходится
последовательность его частичной суммы. , т. ен. равномерная сходимость
ряда означает:Sn(x) ( f(x) Не всякий сходящийся ряд является равномерно
сходящимся, но всякий равномерно сходящийся – есть сходящийся (не, вот это
наверное лет 500 выдумывали.)
Т. (Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда)
Если числовой ряд: [pic](7),
где ( >=0 сходится и для ( x ( E и ( n = 1,2… если выполняется нер-во
|un(x)|<=(n(8), ряд [pic](9) наз абсолютно и равномерно сходящимся на м-ж
Е.
Док-вы:
Абсолютная сходимость в каждой т. х следует из неравенства (8) и сходимости
ряда (7). Пусть S(x) – сумма ряда (9), а Sn(x) – его частичная сумма.
Зафиксируем произвольное ( >0 В силу сходимости ряда (7) сущ. номера N, ( n
>N и вып. нерво [pic]
Следовательно: |S(x)-Sn(x)| = [pic]
Это означает, что Sn(x) ( S(x) что означает равномерную сходимость ряда..
№12
1 Замена переменных
в тройном интеграле.
Если ограниченная замкнутая область пространства V = f(x,y,z) взаимно
однозначно отображается на область V’ пространства = (u,v,w) Если
непрерывно дифференцируемы функции: x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w) и
существует якобиан
[pic]
то справедлива формула:
[pic]
При переходе к цилиндрическим координатам, с вязанными с x,y,z формулами:
x=rcos(, y=rsin(, z=z (0<=r<=+(, 0<=( <= 2(, -(<=z<=+()
Якобиан преобразования:
[pic]
И поэтому в цилиндрических координатах переход осуществляется так:
[pic]
При переходе к сферическим координатам: r? ( (, связанными с z,y,z
формулами x=rsin((cos(,
y=r sin(sin(, z=rcos(.
(0<=r<=+(, 0<=( <= 2(,
0<=( <=2()
Якобиан преобразования:
[pic]
Т. е. |J|=r2(sin(.
Итак, в сферических координатах сие будет:
[pic]
2 Свойства равномерно
сходящихся рядов
Т1 Если ф-ция un(x), где х ( Е непрерывна в т. х0 ( E и ряд [pic](1)
равномерно сходится на Е, то его сумма S(x) = [pic]также непрерывна в т.
х0.
Т2 (Об поюленном интегрировании ряда)
Пусть сущ. ф-ция un(x) ( R и непрерывная на отр. [a,b] и ряд [pic](3)
равномерно сходится на этом отрезке, тогда какова бы ни была т. х0 ( [a, b]
[pic](4) тоже равномерно сходится на [a,b]. В частности: при x0 = a, х = b:
[pic]т. е. ряд (3) можно почленно интегрировать.
Т3 (о почленном дифференцировании ряда)
Пусть сущ. ф-ция un(x) ( R и непрерывная на отр. [a,b] и ряд её производных
[pic](6) равномерно сходящийся на отр [a,b] тогда, если ряд [pic] сходится
хотя бы в одной точке x0 ( [a,b] то он сходится равномерно на всем отрезке
[a,b], его сумма S(x) = [pic] является непрерывно дифференцируемой ф-цией и
S’(x)= [pic](9)
В силу ф-л ы (8) последнее равенство можно записать:
([pic])’ = [pic]
So ряд (7) можно почленно дифференцировать
№13
1 Приложения
тройных интегралов
Объем тела[pic]
Масса тела: [pic], где ((М) = ((x,y,z) - плотность.
Моменты инерции тела относительно осей координат:
[pic]
Момент инерции относительно начала координат:
[pic]
Координаты центра масс:
[pic]
[pic]
[pic] m – масса.
Интегралы, стоящие в числителях выражают статические моменты тела: Myz,
Mxz, Mxy относит коорд плоскостей oyz, oxz, oxy. Если тело однородное: ((М)
= const, то из формул она убирается и оне упрощаются как в 2ных интегралах.
2 Степенные ряды. Теорема Абеля
Степенным рядом наз функциональный ряд вида: a0+a1x+a2x2+… + anxn =
[pic](1) x ( R членами которого являются степенные ф-ции. Числа an ( R, наз
коэффициентами ряда(1). Степенным рядом наз также ряд:
a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2… + an(x-x0)n = [pic](2)
Степенной ряд (1) сходится абсолютно по крайней мере в т. х = 0, а ряд (2)
в т х = х0, т .е в этих случаях все лены кроме 1 равны 0. Ряд (2) сводится
к ряду (1) по ф-ле у = х-х0.
Т Абеля
1Если степенной ряд (1) сходится в т. х0 ( 0, то он сходится абсолютно при
любом х, для которого |x|<|x0|.
2Если степеннгой ряд (1) расходится в т. х0, то он расходится в любой т. х,
для которой |x|>|x0|
№14
1 Определение криволинейных
интегралов 1 и 2 рода
Криволинейный интеграл по длине дуги (1 рода)
Пусть ф-ция f(x,y) определена и непрерывна в точках дуги АВ гладкой кривой
К. Произвольно разобъем дугу на n элементарных дуг точками t0..tn пусть (lk
длина k частной дуги. Возьмем на каждой элементарной дуге произвольную
точку N((k,(k) и умножив сию точку на соотв. длину дуги составим три
интегральную суммы:
(1 =[pic] f((k,(k)((lk
(2 =[pic] Р((k,(k)((хk
(3 =[pic] Q((k,(k)((yk,
где (хk = xk-xk-1, (yk = yk-yk-1
Криволинейным интегралом 1 рода по длине дуги будет называться предел
интегральной суммы (1 при условии, что max((lk) ( 0
[pic]
Если предел интегральной суммы (2 или (3 при ( ( 0, то этот предел наз.
криволинейным интегралом 2 рода, функции P(x,y) или Q(x,y) по кривой l = AB
и обозначается:
[pic] или [pic]
сумму: [pic]+[pic] принято называть общим криволинейным интегралом 2 рода
и обозначать символом:
[pic] в этом случае ф-ции f(x,y), P(x,y), Q(x,y) – называются
интегрируемыми вдоль кривой l = AB. Сама кривая l наз контуром или путем
интегрирования А – начальной, В – конечной точками интегрирования, dl –
дифференциал длины дуги, поэтому криволинейный интеграл 1 рода наз.
криволинейным интегралом по дуге кривой, а второго рода – по функции..
Из определения криволинейных интегралов следует, что интегралы 1 рода не
зависят от того в каком направлении от А и В или от В и А пробегается
кривая l. Криволинейный интеграл 1 рода по АВ:
[pic], для криволинейных интегралов 2 рода изменение направления пробегания
кривой ведет к изменению знака:
[pic]
В случае, когда l – замкнутая кривая т. е. т. В совпадает с т. А, то из
двух возможных направлений обхода замкнутого контура l называют
положительным то направление, при котором область лежащая внутри контура
остается слева по отношению к ??? совершающей обход, т. е. направление
движения против часовой стрелки. Противоположное направление обхода наз –
отрицательным. Криволинейный интеграл АВ по замкнутому контуру l
пробегаемому в положит направлении будем обозначать символом:
[pic]
Для пространственной кривой аналогично вводятся 1 интеграл 1 рода:
[pic] и три интеграла 2 рода:
[pic]
сумму трех последних интегралов наз. общим криволинейным интегралом 2 рода.
2 Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда.
Рассмотрим степенной ряд:
[pic](1) Число (конечное или бесконечное) R>=0 наз радиусом сходимости ряда
(1) если для любого х такого, что |x|<R ряд (1) сходится, а для ( х таких.
что |x|>R ряд расходится Интервал на числовой оси состоящий из т. х для
которых |x|<R, т. е. (-R, +R) наз. интервалом сходимости.
Т1 Для всякого степенного ряда (1) существует радиус сходимости R 0<=R<=+(
при этом, если |x|<R, то в этой т. х ряд сходится абсолютно
Если вместо х взять у = х-х0, то получится: интервал сходимости: |x-x0<R|
будет: (x0-R, x0+R)При этом если |x-x0|<R? то ряд сходится в т. x абсолютно
иначе расходится. На концах интервала, т. е. при x = -R, x=+R для ряда (1)
или x = x0-R, x=x0+R для ряда (3) вопрос о сходимости решается
индивидуально. У некоторых рядов интервал сходимости может охватывать всю
числовую прямую при R = +( или вырождаться в одну точку при R = 0.
Т2 Если для степенного ряда (1) существует предел (конечный или
бесконечный): [pic], то радиус сходимости будет равен этому пределу.
Док-вы: Рассмотрим ряд из абсолютных величин [pic]и по Даламберу исследуем
его на сходимость:
[pic](5)
1)Рассмотрим случай, когда [pic] конечен и отличен от 0. Обозначив его
через R запишем (5) в виде [pic]При числовом значении х степенной ряд
становится числовым рядом, поэтому по Даламберу ряд (1) сходится если
|x|/R<1, т. е. |x|<R, тогда по признаку абсолютной сходимости ряд (1)
сходится абсолютно при |x|<R иначе ряд расходится.
2)Пусть[pic] = ( тогда из(5) следует, что [pic]для любого х ( R Итак ряд
(1) сходится при любом х причем абсолютно.
3) Пусть[pic] =0 тогда из (5) следует, что [pic] и ряд расходится для
любого х. Он сходится только при х = 0 В этом сл-е R = 0.
Т3 Если существует предел конечный или бесконечный [pic], то [pic](10)
№15
1 условия
существования и вычисления
криволинейных интегралов.
Кривая L наз. гладкой, если ф-ции ((t), ((t) из определяющих её
параметрических уравнений:
[pic](1)
имеет на отрезке [a,b] непрерывные производные: (’(t), (’(t).Точки кривой L
наз особыми точками, если они соответствуют значению параметра t ( [a,b]
для которых ((’(t))2+((’(t))2 = 0 т. е. обе производные обращаются в 0. Те
точки для которых сие условие не выполняется наз. обычными (ВАУ!).
Если кривая L=AB задана ф-лами (1), является гладкой и нет имеет обычных
точек, а ф-ции f(x,y), P(x,y), Q(x,y) непрерывны вдоль этой кривой, то
криволинейные интегралы всех видов существуют (можно даже ихние формулы
нарисовать для наглядности) и могут быть вычислены по следующим формулам
сводящим эти интегралы к обычным:
[pic]
[pic]
[pic]
Отседова жа вытекаает штаа:
[pic]
В частности, если кривая АВ задана уравнением y = y(x), a<=x<=b , где у(х)
непрерывно дифференцируемая ф-ция, то принимая х за параметр t получим:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
ну и сумма там тожжа упростица.
ну и наоборот тожжа так будит, если х = х(у)
Если АВ задана в криволинейных координатах ( <= ( <= ( где ф-ция r(()
непрерывно дифференцируема на отрезке [(, (] то имеет место частный случай,