Математический анализ. Регрессия
y=a уравнение регрессии.
Таблица 1
|x |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |10 |
|y |1.35 |1.09 |6.46 |3.15 |5.80 |7.20 |8.07 |8.12 |8.97 |10.66|
[pic]
Оценка значимости коэффициентов регрессии.
Выдвигается и проверяется гипотеза о том что истинное значение
коэффициента регрессии=0.
Для проверки гипотезы используется критерий Стьюдента.
[pic][pic] к-т является значимым и нулевую гипотезу отвергаем.
График 1
[pic]
[pic]- уравнение регрессии
Таблица 2
|x |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |10 |
|y |1.35 |1.09 |6.46 |3.15 |5.80 |7.20 |8.07 |8.12 |8.97 |10.66|
[pic]
Запишем матрицу X
[pic]
[pic]
Система нормальных уравнений.
[pic]
Оценка значимости коэффициентов регрессии.
Для проверки нулевой гипотезы используется критерий Стьюдента..
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic][pic]
Коэффициент ai является значимости, т.к. не попал в интервал.
Проверка адекватности модели по критерию Фишера.
[pic]
[pic]
[pic][pic]
[pic]
[pic]
Критерий Фишера.
[pic]
[pic] отсюда линия регрессии адекватна отраксает исходную информацию,
гипотеза о равенстве мат. Ожиданий отвергается.
Проверка адекватности модели по коэффициенту детерминации или множественная
корреляция.
[pic]
[pic] регрессионная модель адекватна
Коэффициент множественной корреляции:
[pic]
[pic]
Таблица 3
|x |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |10 |
|y |1.35 |1.09 |6.46 |3.15 |5.80 |7.2 |8.07 |8.12 |8.97 |10.66|
Приведем квадратное уравнение к линейной форме:
[pic];[pic]
[pic]
Запишем матрицу X.
[pic]
Составим матрицу Фишера.
[pic]
[pic]
[pic]Система нормальных уравнений.
[pic]
Решим ее методом Гаусса.
[pic]
Уравнение регрессии имеет вид:
[pic]
Оценка значимости коэффициентов регрессии.
Для проверки нулевой гипотезы используем критерий Стьюдента.
[pic] [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic][pic]
[pic][pic]
[pic]
[pic]
Коэффициенты [pic] значимые коэффициенты.
Проверка адекватности модели по критерию Фишера.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] гипотеза о равенстве математического ожидания отвергается.
Проверка адекватности модели по коэффициенту детерминации или множественной
корреляции.
Коэффициент детерминации :
[pic]
[pic]- регрессионная модель адекватна.
Коэффициент множественной корреляции [pic]
Таблица 4
|x|1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |10 |
|y|0,75|1,8|2,9|4,1|5,|6,|7,|8,5|9,|10,|
| | |7 |9 |1 |23|35|47|9 |71|83 |
График 2
[pic]
Таблица 5
|x |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |10 |
|y |16.5|20.8|25.8|31.6|38.3|45.8|54|63.0|72.|83.53|
| |7 |1 |5 |9 | | | |5 |9 | |
График 3
[pic]
Использование регрессионной модели
[pic]для прогнозирования изменения показателя
[pic]
Оценка точности прогноза.
[pic]
Построим доверительный интервал для заданного уровня надежности.
[pic]
[pic]
С вероятностью 0,05 этот интервал покрывает истинное значение
прогноза [pic]
График 4
[pic]
[pic]
Оценка точности периода.
[pic]
Построим доверительный интервал.
[pic]
График 5
[pic]