Решение некоторых уравнений и неравенств с параметром
Графическое решение уравнений, неравенств, систем с
параметром.
(алгебра и начала анализа)
Исполнитель: Зырянов Р.Б.
Руководитель: Попова Н.Б.
Екатеринбург 1998
Оглавление
I. Введение
II. Уравнения с параметрами.
(1. Определения.
(2. Алгоритм решения.
(3. Примеры.
III. Неравенства с параметрами.
(1. Определения.
(2. Алгоритм решения.
(3. Примеры.
IV. Список литературы.
V. Приложения.
Введение
Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей
часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают
в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые
часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению.
В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса
математики рассматривается только на немногочисленных факультативных
занятиях.
Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы,
выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На
мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения
уравнений и неравенств с параметрами.
В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений,
неравенств и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в
процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении
а ВУЗ.
(1. Основные определения
Рассмотрим уравнение
((a, b, c, …, (, x)=((a, b, c, …, (, x), (1)
где a, b, c, …, (, x -переменные величины.
Любая система значений переменных
а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, x = x0,
при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные
значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, (,
x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех
допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х,
т.е. а(А, b(B, …, x(X. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и
зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …, ( и подставить
их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с
одним неизвестным.
Переменные a, b, c, …, (, которые при решении уравнения считаются
постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется
уравнением, содержащим параметры.
Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d,
…, (, l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z.
Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях
параметров существуют решения и каковы они.
Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются
равносильными, если:
а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;
б) каждое решение первого уравнения является решением второго и
наоборот.
(2. Алгоритм решения.
Находим область определения уравнения.
Выражаем a как функцию от х.
В системе координат хОа строим график функции а=((х) для тех значений х,
которые входят в область определения данного уравнения.
Находим точки пересечения прямой а=с, где с((-(;+() с графиком функции
а=((х).Если прямая а=с пересекает график а=((х), то определяем абсциссы
точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=((х)
относительно х.
Записываем ответ.
(3. Примеры
I. Решить уравнение
[pic] (1)
Решение.
Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить
уравнение относительно а :
[pic] или [pic]
График функции – две “склеенных” гиперболы. Количество решений
исходного уравнения определяется количеством точек пересечения построенной
линии и прямой у=а.
Если а ( (-(;-1]((1;+()([pic] , то прямая у=а пересекает график
уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой точки найдем при решении
уравнения [pic] относительно х.
Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение [pic].
Если а ( [pic], то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух
точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений [pic] и [pic],
получаем
[pic][pic] и [pic].
Если а ( [pic] , то прямая у=а не пересекает график уравнения (1),
следовательно решений нет.
Ответ:
Если а ( (-(;-1]((1;+()([pic], то [pic];
Если а ( [pic], то [pic][pic] , [pic];
Если а ( [pic] , то решений нет.
II. Найти все значения параметра а, при которых уравнение [pic] имеет три
различных корня.
Решение.
Переписав уравнение в виде [pic] и рассмотрев пару функций
[pic] , можно заметить, что искомые значения
параметра а и только они будут соответствовать тем положениям графика
функции [pic], при которых он имеет точно три точки пересечения с
графиком функции [pic].
В системе координат хОу построим график функции [pic]). Для этого можно
представить её в виде [pic] и, рассмотрев четыре возникающих случая,
запишем эту функцию в виде
[pic]
Поскольку график функции [pic] – это прямая, имеющая угол наклона к
оси Ох, равный [pic] , и пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 ,
а), заключаем, что три указанные точки пересечения можно получить лишь в
случае, когда эта прямая касается графика функции [pic]. Поэтому находим
производную [pic]
Ответ: [pic].
III. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система
уравнений
[pic]
имеет решения.
Решение.
Из первого уравнения системы получим [pic] при [pic] Следовательно, это
уравнение задаёт семейство “полупарабол” - правые ветви параболы [pic]
“скользят” вершинами по оси абсцисс.
Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим её
на множители
[pic]
Множеством точек плоскости [pic], удовлетворяющих второму уравнению,
являются две прямые
[pic] и [pic]
Выясним, при каких значениях параметра а кривая из семейства
“полупарабол” имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых.
Если вершины полупарабол находятся правее точки А, но левее точки В
(точка В соответствует вершине той “полупараболы”, которая касается
прямой [pic]), то рассматриваемые графики не имеют общих точек. Если
вершина “полупараболы” совпадает с точкой А, то [pic].
Случай касания “полупараболы” с прямой [pic] определим из условия
существования единственного решения системы
[pic]
В этом случае уравнение
[pic]
имеет один корень, откуда находим :
[pic]
Следовательно, исходная система не имеет решений при [pic], а при
[pic] или [pic] имеет хотя бы одно решение.
Ответ: а ( (-(;-3] (([pic];+().
IV. Решить уравнение
[pic]
Решение.
Использовав равенство [pic], заданное уравнение перепишем в виде
[pic]
Это уравнение равносильно системе
[pic]
Уравнение [pic] перепишем в виде
[pic]. (*)
Последнее уравнение проще всего решить, используя геометрические
соображения. Построим графики функций [pic] и [pic] Из графика следует,
что при [pic] графики не пересекаются и, следовательно, уравнение не имеет
решений.
Если [pic], то при [pic] графики функций совпадают и, следовательно,
все значения [pic] являются решениями уравнения (*).
При [pic] графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой [pic].
Таким образом, при [pic] уравнение (*) имеет единственное решение - [pic].
Исследуем теперь, при каких значениях а найденные решения уравнения
(*) будут удовлетворять условиям
[pic]
Пусть [pic], тогда [pic]. Система примет вид
[pic]
Её решением будет промежуток х( (1;5). Учитывая, что [pic] , можно
заключить, что при [pic] исходному уравнению удовлетворяют все значения х
из промежутка [3; 5).
Рассмотрим случай, когда [pic] . Система неравенств примет вид
[pic]
Решив эту систему, найдем а( (-1;7). Но [pic], поэтому при а( (3;7)
исходное уравнение имеет единственное решение [pic].
Ответ:
если а( (-(;3), то решений нет;
если а=3, то х( [3;5);
если a( (3;7), то [pic];
если a( [7;((), то решений нет.
V. Решить уравнение
[pic] , где а - параметр. (5)
Решение.
1. При любом а : [pic]
2. Если [pic], то [pic];
если [pic], то [pic].
3. Строим график функции [pic] , выделяем ту его часть , которая
соответствует [pic]. Затем отметим ту часть графика функции [pic] ,
которая соответствует [pic].
4. По графику определяем, при каких значениях а уравнение (5) имеет
решение и при каких – не имеет решения.
Ответ:
если [pic], то [pic] [pic]
если [pic], то [pic];
если [pic], то решений нет;
если [pic], то [pic], [pic].
VI. Каким условиям должны удовлетворять те значения параметров [pic] и
[pic], при которых системы
[pic] (1)
и
[pic] (2)
имеют одинаковое число решений ?
Решение.
С учетом того, что [pic] имеет смысл только при [pic], получаем после
преобразований систему
[pic] (3)
равносильную системе (1).
Система (2) равносильна системе
[pic] (4)
Первое уравнение системы (4) задает в плоскости хОу семейство прямых,
второе уравнение задает семейство концентрических окружностей с центром в
точке А(1;1) и радиусом [pic]
Поскольку [pic], а [pic], то [pic], и, следовательно, система (4) имеет
не менее четырех решений. При [pic] окружность касается прямой [pic] и
система (4) имеет пять решений.
Таким образом, если [pic], то система (4) имеет четыре решения, если
[pic], то таких решений будет больше, чем четыре.
Если же иметь в виду не радиусы окружностей, а сам параметр а, то
система (4) имеет четыре решения в случае, когда [pic], и больше четырех
решений, если [pic].
Обратимся теперь к рассмотрению системы (3). Первое уравнение этой
системы задаёт в плоскости хОу семейство гипербол, расположенных в первом и
втором квадрантах. Второе уравнение системы (3) задает в плоскости хОу
семейство прямых.
При фиксированных положительных а и b система (3) может иметь два,
три, или четыре решения. Число же решений зависит от того, будет ли прямая,
заданная уравнением [pic] , иметь общие точки с гиперболой [pic] при [pic]
(прямая [pic] всегда имеет одну точку пересечения с графиком функции
[pic]).
Для решения этого рассмотрим уравнение
[pic],
которое удобнее переписать в виде
[pic]
Теперь решение задачи сводится к рассмотрению дискриминанта D
последнего уравнения:
если [pic], т.е. если [pic], то система (3) имеет два решения;
если [pic], то система (3) имеет три решения;
если [pic], то система (3) имеет четыре решения.
Таким образом, одинаковое число решений у систем (1) и (2) – это
четыре. И это имеет место, когда [pic].
Ответ: [pic]
II. Неравенства с параметрами.
(1. Основные определения
Неравенство
((a, b, c, …, (, x)>((a, b, c, …, (, x), (1)
где a, b, c, …, ( – параметры, а x – действительная переменная
величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим
параметры.
Любая система значений параметров а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0,
при некоторой функции
((a, b, c, …, (, x) и
((a, b, c, …, (, x
имеют смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых
значений параметров.
[pic]называется допустимым значением х, если
((a, b, c, …, (, x) и
((a, b, c, …, (, x
принимают действительные значения при любой допустимой системе значений
параметров.
Множество всех допустимых значений х называется областью определения
неравенства (1).
Действительное число х0 называется частным решением неравенства (1),
если неравенство
((a, b, c, …, (, x0)>((a, b, c, …, (, x0)
верно при любой системе допустимых значений параметров.
Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим
решением этого неравенства.
Решить неравенство (1) – значит указать, при каких значениях параметров
существует общее решение и каково оно.
Два неравенства
((a, b, c, …, (, x)>((a, b, c, …, (, x) и (1)
((a, b, c, …, (, x)>((a, b, c, …, (, x) (2)
называются равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при одном
и том же множестве систем допустимых значений параметров.
(2. Алгоритм решения.
1. Находим область определения данного неравенства.
2. Сводим неравенство к уравнению.
3. Выражаем а как функцию от х.
4. В системе координат хОа строим графики функций а =( (х) для тех значений
х, которые входят в область определения данного неравенства.
5. Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.
6. Исследуем влияние параметра на результат.
1. найдём абсциссы точек пересечения графиков.
2. зададим прямую а=соnst и будем сдвигать её от -( до+(
7. Записываем ответ.
Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с
использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы решения, с
использованием стандартной системы координат хОy.
(3. Примеры
I. Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство
[pic]
Решение.
В области определения параметра а, определённого системой неравенств
[pic]
данное неравенство равносильно системе неравенств
[pic]
Если [pic], то решения исходного неравенства заполняют отрезок [pic].
Ответ: [pic], [pic].
II. При каких значениях параметра а имеет решение система
[pic]
Решение.
Найдем корни трехчлена левой части неравенства –
[pic] (*)
Прямые, заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость аОх
на четыре области, в каждой из которых квадратный трехчлен
[pic]
сохраняет постоянный знак. Уравнение (2) задает окружность радиуса 2 с
центром в начале координат. Тогда решением исходной системы будет
пересечение заштрихован
ной области с окружностью, где [pic], а значения [pic] и [pic] находятся из
системы
[pic]
а значения [pic] и [pic] находятся из системы
[pic]
Решая эти системы, получаем, что
[pic]
Ответ: [pic]
III. Решить неравенство [pic] на [pic] в зависимости от значений
параметра а.
Решение.
Находим область допустимых значений – [pic]
Построим график функции в системе координат хОу.
1. при [pic] неравенство решений не имеет.
2. при [pic] для [pic] решение х удовлетворяет соотношению [pic], где
[pic]
Ответ: Решения неравенства существуют при [pic]
[pic], где [pic] , причем при [pic] решения [pic]; при [pic] решения
[pic] .
IV. Решить неравенство
[pic]
Решение.
Находим ОДЗ или линии разрыва (асимптоты)
[pic] [pic]
[pic]
Найдем уравнения функций, графики которых нужно построить в ПСК; для чего
перейдем к равенству :
[pic]
Разложим числитель на множители.
[pic]
т. к. [pic] то
[pic]
Разделим обе части равенства на [pic] при [pic]. Но [pic] является
решением : левая часть уравнения равна правой части и равна нулю при [pic].
[pic]
[pic]
[pic]
3. Строим в ПСК хОа графики функций
[pic]
и нумеруем образовавшиеся области (оси роли не играют). Получилось девять
областей.
4. Ищем, какая из областей подходит для данного неравенства, для чего
берем точку из области и подставляем в неравенство.
Для наглядности составим таблицу.
|( |точка |неравенство: [pic] |вывод |
|1 |[pic] |[pic] |- |
|2 |[pic] |[pic] |+ |
|3 |[pic] |[pic] |- |
|4 |[pic] |[pic] |+ |
|5 |[pic] |[pic] |- |
|6 |[pic] |[pic] |+ |
|7 |[pic] |[pic] |- |
|8 |[pic] |[pic] |+ |
|9 |[pic] |[pic] |- |
5. Найдем точки пересечения графиков
[pic]
6. Зададим прямую а=сonst и будем сдвигать её от -( до +(.
Ответ.
при [pic] [pic]
при [pic] [pic]
при [pic] [pic]
при [pic] решений нет
при [pic] [pic]
Литература
1. Далингер В. А. “Геометрия помогает алгебре”. Издательство “Школа -
Пресс”. Москва 1996 г.
1. Далингер В. А. “Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных
экзаменах по математике”. Издательство Омского педуниверситета. Омск
1995 г.
1. Окунев А. А. “Графическое решение уравнений с параметрами”.
Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1986 г.
1. Письменский Д. Т. “Математика для старшеклассников”. Издательство
“Айрис”. Москва 1996 г.
1. Ястрибинецкий Г. А. “Уравнений и неравенства, содержащие параметры”.
Издательство “Просвещение”. Москва 1972 г.
1. Г. Корн и Т.Корн “Справочник по математике”. Издательство “Наука”
физико–математическая литература. Москва 1977 г.
1. Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. “Задачи с параметрами” . Издательство
“Асар”. Минск 1996 г.