Способы решения систем линейных уравнений
Способы решения систем линейных уравнений – очень интересная и важная тема.
Системы уравнений и методы их решения рассматриваются в школьном курсе
математики, но недостаточно широко. А для того, чтобы перейти к
исследованию данной темы, также нужно было познакомиться с темой матриц и
определителей. Этот же материал вообще в школьной программе не изучается.
Поэтому первая глава моего реферата посвящена теме матриц и определителей.
В ней я рассматривала различные действия над матрицами, свойства
определителей, метод Гаусса вычисления ранга матрицы, а так же некоторые
другие теоретические вопросы. Во второй главе непосредственно
рассматриваются системы линейных уравнений и некоторые методы их решения:
правило Крамера, метод Гаусса, а так же теорема Кронекера – Капелли. И в
той и в другой главах приведены примеры, которые составляют практическую
часть моего реферата.
Цель моей работы заключается в том, чтобы изучить различные способы решения
систем линейных уравнений для применения их на практике. Для достижения
любой цели необходимо выполнить какие-то определенные задачи. Мне нужно
выполнить следующие задачи: исследовать литературу по темам матриц,
определителей и систем линейных уравнений; изучить современное состояние
данного вопроса; отобрать и классифицировать исследуемый материал; а также
провести практическую часть работы. Давайте рассмотрим некоторые примеры
важнейших моментов этой работы.
Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:
a11x1 + a12x2 + …+ a1n xn = b1 ;
a21x1 + a22x2 + …+ a2n xn = b2 ;
……………………………………
an1x1 + an2x2 + …+ annxn = bn ;
a). Если (((, то система (1) имеет единственное решение,
которое может быть найдено по формулам Крамера: x1=[pic], где
определитель n-го порядка (i ( i=1,2,...,n) получается из определителя
системы путем замены i-го столбца свободными членами b1 , b2 ,..., bn.
б). Если (((, то система (1) либо имеет бесконечное множество решений ,
либо несовместна ,т.е. решений нет. Например:
решить систему уравнений
[pic].
Вычислим определитель системы:
[pic]
Так как определитель не равен нулю, система уравнений может быть решена по
формулам Крамера. Найдем определители ?x , ?y:
[pic] [pic]
[pic] [pic].
Практическое значение правила Крамера для решения системы n линейных
уравнений с п неизвестными невелико, так как при его применении приходится
вычислять п +1 определителей n-го порядка: (, (x1, (x2, …,(xn. Более
удобным является так называемый метод Гаусса. Он применим и в более общем
случае системы линейных уравнений, т. е. когда число уравнений не совпадает
с числом неизвестных.
Итак, пусть дана система, содержащая m линейных уравнений с п неизвестными:
а11х1 + а12х2 + …+ а1nхn = b1;
а21х1 + а22х2 + …+ а2nхn = b2;
. ……………………………………
аm1х1 + аm2х2 + …+ аmnхn = bm
Метод Гаусса решения системы (19) заключается в последовательном исключении
переменных. Например:
Решить методом Гаусса систему уравнений
x1 – 2x2 + x3 + x4 = –1;
3x1 + 2x2 – 3x3 – 4x4 = 2;
2x1 – x2 + 2x3 – 3x4 = 9;
x1 + 3x2 – 3x3 – x4 = –1.
Р е ш е н и е. Составим матрицу В и преобразуем ее. Для удобства вычислений
отделим вертикальной чертой столбец, состоящий из свободных членов:
1 –2 1 1 –1
B = 3 2 –3 –4 2 .
2 –1 2 –3 9
1 3 –3 –1 –1
Умножим первую строку матрицы В последовательно на 3, 2 и 1 и вычтем
соответственно из второй, третьей и четвертой строк. Получим матрицу,
эквивалентную исходной:
1 –2 1 1 –1
0 8 –6 –7 5
0 3 0 –5 11
0 5 –4 –2 0
Третью строку матрицы умножим на 3 и вычтем ее из второй строки. Затем
новую вторую строку умножим на 3 и на 5 и вычтем из третьей и четвертой
строк. Получим матрицу, эквивалентную исходной:
1 –2 1 1 –1
0 –1 –6 8 –28
0 0 –1 0 –3
0 0 0 19 –19
Из коэффициентов последней матрицы составим систему, равносильную исходной:
x1 – 2x2 + x3 + x4 = –1;
- X2 – 6x3 + 8x4 = –28;
– x3 = –3;
19x4 = –19.
Решим полученную систему методом подстановки, двигаясь последовательно от
последнего уравнения к первому. Из четвертого уравнения x4 = –1, из
третьего х3 = 3. Подставив значения х3 и x4 во второе уравнение, найдем x2
= 2. Подставив значения x2, x3, x4 в первое уравнение, найдем x1 = 1.
Теорема совместности Кронекера – Капелли звучит следующим образом: Для
того, чтобы система неоднородных линейных уравнений была совместной,
необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы был равен
рангу её основной матрицы. Рассмотрим следующий пример:
Рассмотрим систему
5x1 – x2 + 2x3 + x4 = 7;
2x1 + x2 – 4x3 – 2x4 = 1;
x1 – 3x2 + 6x3 – 5x4 = 0.
Ранг основной матрицы этой системы равен 2, так как сцществует отличный от
нуля минор второго порядка этой матрицы, например
5 –1 = 7,
2 1
а все миноры третьего порядка равны нулю.
Ранг расширенной матрицы этой системы равен 3, так как существует отличный
от нуля минор третьего порядка этой матрицы, например
5 –1 7
2 1 1 = –35.
1 –3 0
Согласно критерию Кронекера – Капелли система несовместна, т.е. не имеет
решений.
В процессе работы я узнала много нового: какие действия можно выполнять над
матрицами, какой путь решения систем линейных уравнений наиболее простой и
быстрый, а так же многие другие теоретические вопросы и провела
практические исследования, приводя примеры в тексте.
Тема решения систем линейных уравнений предлагается на вступительных
экзаменах в различные математические вузы, на выпускных экзаменах, поэтому
умение их решать очень важно.
Реферат может использоваться как учащимися, так и преподавателями в
процессе факультативных занятий, как пособие для самостоятельного изучения
по теме „Способы решения систем линейных уравнений ”, а также в качестве
дополнительного материала.