Шпора
|Билет №1 | |Вопрос №3 | |Вопрос №5 |
|Пусть в обл. P плоскости | |Пусть в плоскости XOY | |Формула Грина. |
|XOY задана некоторая | |задана плоскость Д, | |[pic] |
|фун-ия z=f(x;y). Разобъём| |ограничен-ная следующими | |Теорема: Пусть задана |
|обл. P на n частичных | |кривыми: y=(1(x) a ( x ( a | |область Д огран. след. |
|обл. Рi , где i=1…n, | |– снизу; | |кривыми: |
|возмём произвольную точку| |y=(2(x) a ( x ( b – сверху;| |y=(1(x) a ( x ( b |
|обл. ((I;(I) ( Рi , ( - | |x = a – слева; x = b – | |y=(2(x) a ( x ( b |
|наиболь-ший диаметр | |справа; | |x=a , x=b, где ф-ции |
|чатичных обл. | |Тогда имеет место следующая| |(1 и (2 непрер. на (a,b).|
|Построим частичную сумму | |теорема. | |Пусть в этой области |
|– сумму Римена. | |Теорема: Если функция | |задаётся функция P(x,y) –|
|[pic] | |f(x;y) задана в области Д | |непрер. и имеющая непрер.|
|Определение: | |такова, что существует | |частную производную: |
|[pic] | |двойной интеграл | |[pic], тогда имеет место |
|Если существует конечный | |[pic] | |след. равенство: |
|предел и не зависит от | |для любого фиксированного | |[pic] |
|способа делений области | |x( [a ; b] существует одно-| | |
|на части и от выбора т. | |мерный интеграл | |Доказательство: |
|((I;(I) в каждой из | |[pic] | |Рассмотрим двойной |
|частичных областей, то | |то тогда существует | |интеграл, стоящий справа |
|такой предел принято | |повторный интеграл | |в формуле(1). Т.к. под |
|называть двойным | |[pic] | |интегралом стоит непрер. |
|интегралом по обл. Р и | |Доказательство: | |функция, то такой двойной|
|пишут: | |[pic] | |интеграл существует, |
|[pic] | |Обозначим c=inf (1(x) a ( | |также существует |
|В случае, если фун-ия f >| |x ( b; d=max (1(x) a ( x (| |одномерный интеграл[pic] |
|0 мы приходим к | |b и рассмотрим | |и его можно вычислить |
|геометрическому смыслу | |прямоугольник | |через повторный: |
|двойного интеграла: | |R=[a,b;c,d](Д. P=R\Д (раз-| |[pic] |
|днойной интеграл – это | |ность множеств). Построим | |Теорема: Пусть задана |
|объём некоторого | |вспомогательную функцию | |область Д огран.: |
|цилиндрического тела, | |[pic] | |[pic] |
|сверху ограниченного | |Рассмотрим | |y=(1(x) с ( x ( d |
|пов-тью z = (x;y), | |[pic] | |y=(2(x) c ( x ( d |
|которая проектируется на | |Получаем следующее | |x=c , x=d. И пусть в |
|плоскость XOY в обл. Р, а| |равенство: | |этой области задаётся |
|образующие параллельны | |[pic] | |функция Q(x,y) – непрер. |
|OZ. Площадь обл. Р: | |Замечание: Пусть теперь | |и имеющая непрер. частную|
|[pic] | |область Д ограничена | |производную: [pic], тогда|
|Двойной интеграл от | |следующими линиями: | |имеет место след. |
|f(x;y) имеет многие | |[pic] | |равенство: |
|св-ва, аналогичные св-ам | |x=(1(y) c ( y ( d – слева; | |[pic] |
|одномерного интеграла. | |x=(2(y) c ( y ( d – справа;| | |
|Св-ва двойного интеграла:| | | |Cкладываем формулы (1) и |
| | |x = c – сверху; x = d – | |(2) и получаем следующую |
|1.Необходимым условием | |снизу. И пусть | |формулу Грина для области|
|сущ. Двойного интеграла | |[pic] | |Д: |
|явл. ограниченность ф-ции| |Тогда аналогично | |[pic] |
|f в обл. Р, т.е если сущ.| |предыдущему можно показать,| |D P(x,y), Q(x,y) |
|интеграл, то f(x;y) – | |что существует повторный | |[pic], [pic] |
|ограниченная. | |интеграл и | |[pic] |
|2.Всякая непрырывная | |[pic] | |Вычисление площадей через|
|ф-ция, заданная в обл. Р,| |Если же функция f(x;y) | |крив интеграл |
|интегри-руема. | |такова, что существует | | |
|3.Если ф-ция f(x;y) в | |двойной интеграл, | |[pic] |
|обл. Р имеет разрывы на | |существует оба повторных, | |Применим ф. Грина, т.е. |
|конечном числе | |то одновременно имеют место| |выразим его через |
|непрырывных кривых, | |формулы (1) и (2) и можно | |криволинейный интеграл по|
|принадлежащих этой обл., | |пользоваться любой из них. | |границе области. |
|то f интегрирума по обл. | | | |1. Q = x P = 0[pic] |
|Р. | | | |2. Q = 0 P = -y[pic] |
|4.Сумма Дарбу: | | | |Суммируем 1 и 2 :[pic] |
|[pic] [pic] | | | | |
|Теорема: Для того, чтобы | | | |Пример: Вычислить площадь|
|двойной интеграл от | | | |эллипса |
|ограниченной обл. Р | | | |[pic]. |
|существовал, необходимо и| | | |Сделаем замену |
|достаточно, чтобы | | | |переменных[pic] |
|выполнялось равенство: | | | |0 ( t ( 2( |
|[pic] | | | |[pic] |
|5.Аддетивность двойного | | | | |
|интеграла, т.е., если | | | | |
|задана обл.Р некоторой | | | | |
|непрырывной кривой | | | | |
|разбита на две обл-ти | | | | |
|Р1иР2 не имеющих общих | | | | |
|точек, то, если двойной | | | | |
|интеграл по обл. Р | | | | |
|существует, то существуют| | | | |
|интегралы относительно по| | | | |
|двум областям. | | | | |
|[pic] | | | | |
|6.Линейность: | | | | |
|[pic] | | | | |
|7.Если f(x;y) ( g(x;y) | | | | |
|для ((x;y)(P и ф-ции f и | | | | |
|g интегрируемы, то | | | | |
|соответственно | | | | |
|справедливо неравенство: | | | | |
|[pic] | | | | |
|9.Если f(x;y) | | | | |
|удовлетворяет нер-вам m | | | | |
|( f(x;y) ( M, то | | | | |
|справедливо следующее | | | | |
|неравенство: | | | | |
|[pic] | | | | |
|10.Для двойного интеграла| | | | |
|имеет место теорема о | | | | |
|среднем: если z = f(x;y) | | | | |
|– ф-ция, заданая в обл. Р| | | | |
|и такая, что во всех | | | | |
|точках этой области | | | | |
|выполняется нер-во m ( | | | | |
|f(x;y) ( M, где | | | | |
|[pic] | | | | |
|то существует число ( | | | | |
|такое, что справедливо | | | | |
|равенство: | | | | |
|[pic] | | | | |
|В случае непрырывности | | | | |
|ф-ции: | | | | |
|[pic] | | | | |
|Вопрос №6 | |Вопрос №4 | |Вопрос №2 |
|Неприрывную кривую назыв.| |Пусть заданы 2 плоскости с | |Теорема: Пусть z = f(x,y)|
|простой кривой | |введенными в прямоугольник | |– ограниченная функция, |
|(жордановой), если она не| |декартовыми системами | |заданная на |
|имеет точек | |координат | |прямоугольнике R = |
|самопересечения. | |[pic] | |[a,b;c,d], и существует |
| | |XOY и UOV. Пусть в | |двойной интеграл по этому|
|Областью называется | |плоскисти XOY задана | |прямоугольнику [pic] |
|всякое открытое связаное | |область DV ограниченная | |Если для ( X [a,b] |
|мн-во, т.е. такое мн-во | |кривой Г, а в плоскости | |существует одномерный |
|всякая точка кот. явл. | |UOV задана область G | |интеграл |
|внутренней и любые две | |ограниченная кривой L | |[pic] |
|точки этого мн-ва можно | |Пусть функция | |то ( повторный интеграл |
|соединить непрерывной | |[pic]отображает область G в| |[pic] |
|кривой все точки кот. | |области D, где т.(u,v)( G, | |Доказательство: |
|принадлежат данному | |а т.(x,y)(D. | |[pic] |
|мн-ву. | |Будем предпологать , что | |Разобьем отрезки ab и cd |
| | |функции x и y такие, что | |отрезками a=x0<x1<…<xn=b,|
|Область называется | |каждой точке области G | |c=y0<y1<…<yn=d. |
|односвязной областью, | |соответствует точка области| |Рассмотрим теперь |
|если внутренность всякой | |D и причем это соответствие| |частичный прямоугольник |
|замкнутой кривой содержит| |такое, что различным точкам| |Rik=[xi,xi+1;yi,yi+1] |
|только точки данного | |области D соответствуют | |mik=inf f(x,y) Mik=sup |
|мн-ва. | |различные области точки G. | |f(x,y) |
|Теорема 1. Пусть Д | |Причем всякая точка области| |Rik |
|ограниченная односвязная | |D имеет единственный | |Rik |
|область пл-ти x и y, | |прообраз (u,v) в области G.| |На промежутке [xi;xi+1] |
|тогда для того чтобы | | | |возьмём точку (. Будем |
|криволинейный интеграл | |Тогда существует обратная | |рас- сматривать точки, |
|[pic] | |функции [pic] | |лежащие на прямой x = (. |
|был равен нулю по любой | |которая взаимноодназначно | |Получаем следующее |
|замкнутой кривой Г(Д, | |отображает область D в | |неравенство mik( f((;y)( |
|(где P(x,y) и Q(x,y) | |области G. Т.к. заданием | |Mik yk( y( yk+1 |
|непрерыв. И имеет | |двух точек U,V одназначно | |Проинтегрируем его по |
|непрерыв. Частные | |определяют т.(x,y) в | |отрезку [yk; yk+1] |
|производ. [pic] и [pic])| |области D, то числа U и V | |[pic] |
|необходимо и достаточно | |принято называть | |Замечание: если же |
|чтобы вып. Такое | |координатами точек в облати| |существует двойной |
|равенство | |D, но уже криволинейными. | |интеграл и существует |
|[pic]=[pic] (2) | |Будем предпологать, что | |одномерный интеграл |
|f(x,y)(Д. | |функции x(U,V) и y(U,V) | |[pic] |
|Док-во: Пусть во всей | |имеют непрерывные частные | |то существует повторный |
|области Д вып. Равенство | |производные по своим | |[pic] |
|(2) и Г произвольная | |переменным x’y и y’x, x’v и| |Если же функция f(x;y) |
|простая замкнутая кривая | |y’v, тогда определитель | |такова, что существует |
|принадлеж. области Д. | |функции имеет вид: | |двойной интеграл по |
|Обознач. Через обл. Д1 | | | |области R, существуют оба|
|кот. огранич. Эта кривая | |Принято называть якобианом | |од- номерных J(y) и |
|Г. Применим к этой | |для функций x(U,V) и | |?(x), то одновременно |
|области формулу Грина: | |y(U,V). | |имеют место формулы (1) и|
|[pic] | |Можно показать,что площадь | |(2) |
|[pic] | |области D задана в | |[pic] |
|Предположим, что интеграл| |плоскости XOY может быть | |Например: если f(x;y) |
|равен нулю, а равенство | |выражена в криволинейных | |непрерывна в области R, |
|(2) не вып. По крайней | |координатах следующим | |то, как известно двойной |
|мере в одной точке (x0 | |образом: | |интеграл, и оба |
|,y0) ( Д | |[pic]- прямолинейном | |одномерных существуют, а |
|[pic] | |интеграле. | |значит, справедлива |
|[pic][pic] | |[pic] | |формула (3) и для |
|[pic] | |в криволинейных | |вычисления двойного |
|F(x0,y0)(0 , т.к. частные| |координатах. | |интеграла можно |
|произв. Непрерывны в обл.| |Замена переменных. | |пользоваться одной из |
|Д, то ф-ция F(x,y) | |Теорема: Пусть Z=f(x) – | |формул (1) или (2), а |
|непрывна в этой обл. , а | |непрерывная функция заданая| |именно выбирая ту или |
|из этого вытекает , т.к. | |в области D и область D | |иную, которая даёт более |
|F(x0,y0)(0, то существует| |является образом области G | |простое решение. |
|окрестность этой точки | |через посредства функций | | |
|такая, что F(x,y)(0 для | |[pic], где функции x(U,V) и| | |
|всех точек лежащих в | |y(U,V) непрерывные и имеют | | |
|нутри окр. (( кот. явл. | |непрер. Частные | | |
|Границей нашей | |производные, тогда | | |
|окружности. | |справедлива след. Формула | | |
|Множество точек леж. В | |замены переменных в двойном| | |
|этой окр. обознач. Д1 и | |интеграле: | | |
|применим к области Д1 | |[pic] | | |
|ф-лу Грина: | |Док-во: Разорвем обл.G | | |
|[pic] | |непер. Кривыми на конечное | | |
|это показывает, что не | |число частичных областей. | | |
|сущ. ни одной точки, где | |Тогда согласно формулам | | |
|бы (2) не выполнялось. | |отображающим область G в | | |
| | |обл. D. Эти кривые обл. G | | |
| | |отображ. В некоторые кривые| | |
| | |обл. D, т.е. обл. D будет | | |
| | |разбита на конечное число | | |
| | |(такое же как и обл. G) | | |
| | |частичных подобластей. | | |
| | |[pic] | | |
| | |Di – подобласти, i=1,2,…,n.| | |
| | | | | |
| | |В каждой обл. Di выберем | | |
| | |т.(x,y)(Di и составим | | |
| | |интегральную сумму Римана | | |
| | |для двойного интеграла от | | |
| | |функции f обл. D. | | |
| | |[pic] | | |
| | |Площадь обл. Di выразим в | | |
| | |криволинейных координатах | | |
| | |[pic] | | |
| | |xi=x(Ui,Vi) | | |
| | |yi=y(Ui,Vi) | | |
| | |[pic] | | |
| | |И того, что интеграл от | | |
| | |функции f(x,y)dxdy сущ., то| | |
| | |( lim (n(f) и этот lim не | | |
| | |зависит от выбора точек в | | |
| | |обл. Di, но тогда в | | |
| | |качестве f(xi,yi) может | | |
| | |быть взята точка [pic] | | |
| | |[pic] | | |
| | | | | |
| | |[pic] | | |
| | |Мы получаем интегральную | | |
| | |сумму Римана для интегр., | | |
| | |что стоит справа формулы | | |
| | |(1), поэтому переходя к lim| | |
| | |в следующем равенстве: | | |
| | |[pic] | | |
| | |получим ф-лу (1), т.к. | | |
| | |суммы стремятся к | | |
| | |соответствующему интегралу.| | |
|7.Независемость | |9.Параметрические ур-я | | |
|криволинейного интегр. от| |поа-ти, касательная | |Билет 12 |
|пути интегрирования. | |плос-ть, нормаль, | |Задача о вычислении |
|Теор.1 и 2. | |направляющие косинусы | |массы пространств-го |
|Теорема 1. Пусть D – | |нормали. | |тела. |
|ограниченная | |Пусть поверхность задана | |Пусть в трехмерном |
|одно-связанная область | |параметрическими | |пространстве задано тело |
|плоскости XOY тогда что | |уравнениями :x=x(U,V) ; | |D, причем в точках |
|бы криволинейный | |y=y(U,V); z=z(U,V) и | |этого тела определены |
|интеграл [pic]- [pic] был| |функции x,y,z непрерывны и | |некоторые массы и |
|равен 0 по любой | |имеют непрерывные частные | |известна плотность |
|замкнутой простой кривой | |произвольные. Рассмотрим | |распределения массы, кот.|
|[pic], где P(x,y) и | |матрицу | |явл-ся ф-цией трех |
|Q(x,y) - непрерывны и | | | |переменных U=((x,y,z). |
|имеют непрерывные частные| |На поверхности берём точки | |Разобьем это прост-ное |
|производные [pic], | |U0(x0,y0,z0) которая | |тело некоторыми гладкими |
|необходимо и достаточно | |является образом (U0,V0) | |пов-ми на конечное число |
|что бы во всех точках | |[pic]. Можно показать, что | |областей D1, D2,…,Dn. В |
|области D было [pic] (2).| |в этом случае уравнение | |каждой области Di |
| | |касательной к плоскости | |произвол. выберем некот. |
|Док-во | |поверхности имеет вид | |точку (((((()( Di. |
|достаточность: Пусть во | |А[pic](x-x0)+B[pic](y-y0)+C| |Плотность массы в этой |
|всех точках обл. D | |[pic](z-z0)=0 .Уравнение | |точке – это (((i((i((i(. |
|выполнено рав-во (2) и | |нормали поверхности [pic]. | |Будем считать, что ф-ция |
|пусть Г произвольная | |Далее введём направляющую. | |( явл-ся непрерывной, а |
|простая замкнутая кривая,| |Пусть поверхность задана | |разбиение достат. мелким |
|принадлежащая области. | |параметрическими | |так, что значения ф-ции |
|Обозначим через D область| |уравнениями и | |внутри области Di не |
|кот-ю ограничивает эта | |(- угол образованный | |слишком отличаються от |
|кривая Г. Применим теперь| |нормалью с направлением | |значений ф-ции ( в |
|к этой области ф-лу | |осью X | |выбранной точке. Т.е. |
|Грина. | |(- угол образованный | |будем считать, что в |
|[pic] | |нормалью с направлением | |области Di плотность |
|Необходимость: | |осью Y | |массы одна и та же и |
|Криволинейный интеграл в | |(- угол образованный | |равна числу (((i((i((i(. |
|любой замкнутой простой | |нормалью с направлением | |Тогда очевидно масса, |
|кривой существует область| |осью Z, | |заключенная в обл. Di , |
|D=0. Покажем, что во всех| |cos ( cos ( cos ( - | |будет равняться |
|точках области D | |называют направляющими | |(((i((i((i(((((V. Тогда |
|выполняется рав-во (2). | |косинусами нормали. Для | |приближенное значение |
|(это доказуется методом | |направляющих косинусов | |массы для всей области |
|от противного). Пусть | |нормали имеет место | |равна (((((i((i((i(((Vi |
|интеграл = нулю, а | |формула: | |Пусть ( - наибольший из |
|рав-во (2) не | |[pic], [pic], [pic]. В | |диаметров Di – тых |
|выполняется, по крайней | |знаменатели стоит двойной | |областей, а тогда масса ,|
|мере, в одной точке | |знак ( и всякий раз | |заключенная в области |
|[pic], т.е. [pic]. Пусть,| |выбирают один из знаков в | |равна m=lim((((((( |
|[pic] так что разность | |зависимости от направления | |(((i((i((i(((((Vi |
|[pic]. Пусть [pic] тогда | |нормали. В случае явного | |Пусть теперь задано |
|[pic]. Т.к. частные | |задания поверхности | |пространств. тело D. В |
|производные [pic] и [pic]| |направляющие вычисляются | |точках этого тела |
|непрерывны в области D, | |[pic], [pic], [pic]. | |определена ф-ция |
|то [pic] непрерывна в | | | |U=f(x,y,z). Разобьем это |
|этой области, а из | | | |тело на конечное число Di|
|непрерывности функций | | | |–тых (i=1,2,3,…). В |
|вытекает что ф-ция [pic],| | | |каждой области Di выберем|
|то существует окрестность| | | |произвол. точку |
|этой точки, принадлежащая| | | |(xi,yi,zi) и составим |
|области D, так что везде| | | |интегральную |
|в этой окрестности [pic]| | | |(n=( ((xi,yi,zi) * (Vi |
|для любой точки лежащей | | | |Если сущ. предел и он |
|внутри кривой. | | | |конечный и он не зависит |
|[pic] кот-я является | | | |от способа деления обл. D|
|границей нашей | | | |на части и выбора точек |
|окрестности [pic] - | | | |(xi,yi,zi) , то этот |
|множество чисел внутри | | | |предел называют тройным |
|[pic]. Применим к [pic] | | | |интегралом по обл.D от |
|ф-лу Грина: [pic]. | | | |ф-ции f(x,y,z) |
|Полученное противоречие | | | |lim((((((n=((( f(x,y,z)dx|
|показывает, что не | | | |dy dz Следовательно |
|существует не одной точки| | | |m=(((((x,y,z)dxdydz |
|где бы равенство (2) не | | | |Св-ва тройного интеграла|
|выполнялось. | | | |аналогично св-м двойного |
|Теорема 2 Пусть D есть | | | |интеграла 1) Всякая |
|односвязная область | | | |интегрируемая в обл. D |
|плоскости XOY в этой | | | |ф-ция ограничена в этой |
|области заданы две | | | |области. |
|непрерывные функции | | | |2) Могут быть построены |
|D(x,y) и Q(x,y) имеющие | | | |суммы Дарбу |
|непрерывные частные | | | |верх S(=( Mi * (Vi |
|производные [pic] и [pic]| | | |низ s(=( mi * (Vi |
|; чтоб криволинейный | | | |3) Необходимо и |
|интеграл не зависел от | | | |достаточное условие сущ. |
|пути интегрирования | | | |интеграла |
|[pic]. Необходимо и | | | |lim(((((( S(-s()=0 |
|достаточно чтоб | | | |4) Как и в случае |
|выполнялось равенство | | | |двойного интеграла сущ. |
|[pic](2). | | | |тройной интеграл от любой|
|Док. Не обход. Пусть | | | |непрерывной ф-ции, |
|криволинейный интеграл не| | | |заданной в обл. D. Однако|
|зависит от пути | | | |тройной интеграл сущ. и в|
|интегрирования, а зависит| | | |случае, когда ф-ция |
|от начальной и конечной | | | |f(x,y,z) имеет разрывы |
|точки пути | | | |1-го рода на конечном |
|интегрирования. | | | |числе пов-тей данного |
|Возьмём в области D | | | |тела D. |
|произвольно простую | | | |5)Тройной интеграл |
|замкнутую кривую Г. На | | | |обладает св-вами |
|этой кривой т. А и т. В | | | |линейности и аддетивности|
|Т.к. по условию криво-ный| | | | |
|интеграл не зависит от | | | |(((Dfdx = (((D1fdx + |
|пути интегрирования, то | | | |(((D2 , где D=D1(D2 |
|интеграл по кривым | | | |6)Если сущ. тройной |
|АmB=AnB | | | |интеграл от ф-ции f, то |
|[pic] | | | |сущ. интеграл по модулю |
|[pic] В силу 1-й теоремы | | | |и существует равенство |
|должно выполнятся рав-во | | | |(((((((((((f(dv |
|(2). | | | |Если функция fв области D|
|Док. Достат. Пусть | | | |ограничена какими-то |
|выполняется рав-во (2) . | | | |числами m ( f ( М , то |
|Покажем, что | | | |для тройного интеграла |
|криволенейный интеграл не| | | |справидливо неравенство |
|зависит от пути | | | | |
|интегрирования : | | | |mVd (((( (dv(M VD |
|1-й случай. Берём две | | | |7) Имеет место теорема о |
|произвольные точки | | | |среднем , т.е. если |
|принадлежащие области D и| | | |функция ((x,y,z) |
|соединяем эти точки | | | |не-прерывная в области D |
|непрерывными кривыми | | | |, то справедливо |
|[pic] и [pic], кот-е не | | | |равенство |
|имеют точек | | | |((( (dv ( ( (X0 , Yo , |
|самопересечения. | | | |Z0) |
|Если эти кривые образуют | | | |(X0 , Yo , Z0)(D |
|простой замкнутый контур | | | |Ввычесление тройного |
|без самопересечения и | | | |интеграла по |
|т.к. выполняется рав-во | | | |параллепипеду . |
|(2), то интеграл поэтому | | | |1. Пусть функция ((x , y|
|замкнутому контуру обязан| | | |,z) задана на |
|быть равен 0. [pic] , | | | |параллепипеде R( a ,b ; |
|[pic] т.е. интеграл не | | | |c , d; e, f(. |
|зависит от кривой. | | | |Обозначим через Gи D |
|2-й случай. Пусть [pic] и| | | |прямоугольника D( c , d; |
|[pic] имеют конечное | | | |e, f( и (a,b;c,d( . Тогда|
|число точек | | | |если существует тройной |
|самопересечения | | | |интеграл по параллепипеду|
|[pic] | | | |от функции ((x,y,z) и |
|Будем двигаться от А к C1| | | |существует для любого x |
|в результате получили | | | |из (a,b( двойной |
|контур[pic] и [pic]. | | | |интеграл по |
|Аналогично Для всех | | | |прямоугольнику D |
|остальных случаев. | | | |(( ((x,y,z)dydz то |
|3-й случай. Если кривые | | | |существует |
|пересекаются на счётном | | | |((((dv =(dx((((x,y,z)dydz|
|множестве точек то | | | | |
|интеграл по таким кривым | | | |Если для ( z((e,f( ( (( |
|тоже будут равны между | | | |((x,y,z)dxdy,то ((( (dv =|
|собой ….счётное множество| | | |(dx((((x,y,z)dydz = |
|эквивалентное множеству | | | |((dxdy(((x,y,z) . Если |
|натуральных чисел. | | | |функция ((x,y,z) |
| | | | |непрерывна в области |
| | | | |D,т.е. на параллепипеде ,|
| | | | |то все указаные ранее |
| | | | |интеграмы существует и |
| | | | |имеет [pic] |
| | | | |место вся большая формула|
| | | | |и в последнемравенстве |
| | | | |можно менять местами в |
| | | | |случае непрерывности |
| | | | |функции. |
| | | | |2. Пусть ((x,y,z) задана |
| | | | |в пространстве области G |
| | | | |причем область G |
| | | | |сверху ограниченная |
| | | | |плоскостью z=z2(x,y) |
| | | | |снизу z=z1(x,y),a c боков|
| | | | |ограничена цилиндрической|
| | | | |поверхностью образующая |
| | | | |которой ((OZ. И пусть |
| | | | |проекция этого тела на |
| | | | |плоскость XOY есть |
| | | | |некотокая область D |
| | | | |.Тогда можно показать |
| | | | |,что тройной интеграл по |
| | | | |пространственной области |
| | | | |G может быть вычеслен по |
| | | | |такой формуле |
| | | | |[pic] |
|Продолжение №12 | |Вопрос №10 | |8.Касательная пл-ть к |
|Если теперь обл. D будет | |[pic] | |пов-ти и её ур-е в случае|
|иметь следующее строение.| |Пусть в пространстве | |явного и не явного |
|Пусть обл. D, кот. явл. | |задана поверхность Q, | |задания пов-ти. |
|проэкцией тела на пл-ть | |которая является | |1) не явное. Пусть |
|XOY, ограничена | |гладкой и задана явным | |поверхность задаётся не |
|следующими линиями: | |уравнением z = f(x;y), где| |явным уравнением |
|отрезками прямых x=a и | |(x;y)ЄD. | |F(x,y,z)=0. Эта функция |
|x=b , и кривыми y=(1 (x) | |D является проэкцией | |непрерывна и имеет |
|и y=(2(x). Тогда тройной| |поверхности Q на | |непрерывные частные |
|интеграл: | |плоскость xoy. Будем | |производные. |
|[pic] [pic] | |считать f(x,y) – | | |
|[pic] | |непрерывная со своими | | |
| | |частными производными | | |
| | |[pic]?’?? / ?? ’?? / ?? | |Здесь рисунок. |
| | |?’?? / ?? ’?? / ?? | | |
| | |Требуется вычислить | | |
| | |площадь S заданной | |Зафиксируем любую точку |
| | |поверхности. Разобьем | |M0(x0,y0,z0). Рассмотрим |
| | |область D непрерывными | |кривую проходящую через |
| | |кривыми на конечное | |эту точку. Пусть |
| | |число частичных областей | |уравнение этой кривой |
| | |D1,D2,…,Dn. Возьмем в | |будет x=x(t) y=y(t) |
| | |области Di т.(xi;yi) и | |z=z(t) где [pic]. |
| | |построим цилиндрическое | |Предположим что эти |
| | |тело, в основании | |функции непрерывны и |
| | |которого лежит область | |имеют непрерывные частные|
| | |Di , а образующие | |производные по t . Пусть |
| | |параллельны оси oz. Это | |т. M0 соответствует |
| | |цилиндрическое тело | |значению параметра t=t0 |
| | |вырежет на нашей | |x0=x(t0) y0=y(t0) |
| | |поверхности Q некоторую | |z0=z(t0). Т.е. |
| | |i-тую площадку. Обозначим | |M0(x(t0),y(t0),z(t0))=M0(|
| | |через Mi (xi;yi;zi) точку| |x0,y0,z0) , т.к. кривая Г|
| | |на i-той частичной | |лежит на пов-ти, то она |
| | |поверхности такую, что | |удовлетворяет уравнению |
| | |zi=f(xi;yi), т.е. | |поверхности т.е. |
| | |Mi(xi;yi;z (xi;yi)). Так | |F(x(t),y(t),z(t)) [pic]0,|
| | |как частные производные | |берём производную [pic]. |
| | |p,q-непрерывны, то | |Посмотрим это рав-во в |
| | |поверхность является | |т.M0 т.е. t=t0 получим |
| | |гладкой и в каждой | |[pic]; Введём обозначение|
| | |точке этой поверхности | |через [pic], а через |
| | |существует касательная | |[pic], а так как [pic] то|
| | |плоскость. Проведем теперь| |[pic] проведём через |
| | |касательную плоскость к | |точку М0 любую кривую. из|
| | |поверхности в точке Mi. | |рассмотренных равенств |
| | |Построенное тело на обл.| |заметим, что любые кривые|
| | |Di на этой плоскости Т | |на пов-ти, кот-е являются|
| | |вырежит некоторую | |непрерывными , всегда |
| | |площадку Ti. Eе площадь | |будет выполнятся рав-во |
| | |STi дает некоторое | |[pic] , а это рав-во |
| | |приближение для площади | |показывает что вектор |
| | |куска поверхности, | |[pic] будет ортогонален к|
| | |который вырезается этом | |любому касательному |
| | |цилиндрическим телом. | |вектору , кот-й проходит |
| | |Аналогичным образом | |через эту точку М0, |
| | |поступим с остальными | |значить все касательные s|
| | |областями D1,D2,…,Dn. В | |лежат в одной плос-ти |
| | |результате мы получим | |перпендикулярно к [pic]. |
| | |некоторое приближение для| |Эту плос-ть состоящую из |
| | |площади всей заданной | |касательных векторов |
| | |поверхности. Пусть | |называют касательной |
| | |n | |плоскостью к поверхности |
| | |( n=( STi | |в т. М0, а вектор [pic] |
| | |i=1 | |наз нормальным вектором |
| | |А тогда принято считать,| |плоскости в т. М0. [pic] |
| | |что площадью поверхности | |в случае не явно. Прямая |
| | |является | |проходящая через т. М0 и |
| | |n | |перпендикулярная к |
| | |S=lim ( n=lim ( STi , | |касательной плоскости |
| | | | |поверхности называют |
| | |((0 ((( i=1 | |нормалью поверхности. Но |
| | |где ( - наибольший из | |тогда ур-е прямой |
| | |диаметров площадей Di. | |поверхности проходящую |
| | |Нетрудно показать, что | |через т. М0: [pic]. |
| | |такой предел будет равен| |2) явно. пусть пов-ть |
| | | | |задаётся явным ур-ем |
| | |S=lim (n=(( (1/(cos (()dx | |z=f(x,y), где (x,y)[pic]D|
| | |dy, | |f - ф-ция непрерывна и |
| | |((0 D | |имеет непрерывные частные|
| | |где ( - угол, образованный| |производные. [pic]; |
| | |нормалью к поверхности с| |[pic]; |
| | |осью oz. | |z-f(x,y)=0; F(x,y,z); |
| | |Доказательство: | |[pic] ;[pic]; |
| | |[pic] | |[pic]; |
| | |Через (i обозначим угол,| |[pic]; [pic]; |
| | |который образует | | |
| | |касательную плоскость с | |[pic] это ур-е пов-ти. |
| | |плоскостью xoy. В точке | | |
| | |Mi проводим нормаль к | | |
| | |поверхности. Получаем, что| | |
| | |угол, образованный | | |
| | |касательной плоскостью с | | |
| | |плоскостью xoy равен | | |
| | |углу, образованному | | |
| | |нормалью к поверхности с| | |
| | |осью oz. Площадь Di есть| | |
| | |проекция плоскости Ti , | | |
| | |которая лежит на | | |
| | |касательной плоскости. А | | |
| | |тогда SDi=STi*(cos (i (. | | |
| | |А тогда получаем, что | | |
| | |n n | | |
| | |n | | |
| | |( n=( STi=( SDi / (cos ( i | | |
| | |(=( (1/(cos (i()*SDi . | | |
| | |i=1 i=1 | | |
| | |i=1 | | |
| | |Получили, что данная | | |
| | |сумма является суммой | | |
| | |Римена для такого | | |
| | |двойного интеграла: | | |
| | |(( (1/(cos (()dx dy. | | |
| | |D | | |
| | |Получили , что площадь | | |
| | |поверхности Q , заданной | | |
| | |явным уравнением , | | |
| | |вычисляется по такой | | |
| | |формуле : | | |
| | |SQ=(( (1/(cos (()dx dy. | | |
| | |D | | |
| | |Если поверхность задана | | |
| | |явным уравнением , то | | |
| | |cos (=1/(( (1+p2+q2 | | |
| | |n)=1/((1+zx'2+zy'2 ). | | |
| | |В случае явного задания | | |
| | |поверхности | | |
| | |SQ=((((1+zx'2+zy'2)dx dy | | |
| | |=((((1+p2+q2)dx dy | | |
| | |D | | |
| | |D | | |
| | |Если теперь поверхность | | |
| | |Q задана параметрическими| | |
| | |уравнениями | | |
| | |x=x(u,v) | | |
| | |y=y(u,v) (u,v)єG , | | |
| | |z=z(u,v) | | |
| | |где функции x,y,z | | |
| | |непрерывны со своими | | |
| | |частными производными, то | | |
| | |в этом случае площадь | | |
| | |поверхности вычисляется | | |
| | |по следующей формуле | | |
| | |(SQ=((((A2+B2+C2) du dv, | | |
| | |где А,B,C-есть раннее | | |
| | |введенные функциональные | | |
| | |определители. | | |
|Вопрос№11 | |Билет №14 | |Вопрос №16 |
|Если пов-ть Р задана | |Поток вектора через | |Общий вид диф уравнения |
|параметрич. ур-ями | |поверхность | |F(x, y, y’)=0 y’=f(x,y) |
|[pic] | |Пусть задана некоторая | |(1). |
|(u,v)[pic] G | |область(тело) Д(R3 Пусть | |Решением дифференциальное|
|ф-ии x,y,z непрерывны с | |над этой областью | |уравнение первого порядка|
|частными производными то | |определено поле вектора | |называется всякая функция|
|поверхностный интеграл | |[pic](М), М(Д , Аx ,Ay | |y=((x), которая будучи |
|1-го рода вычисл. С | |,Az | |подставлена в данное |
|помощью интеграла | |[pic] | |уравнение обращает его в |
|двойного рода,взятого по | |Возьмем в области Д | |тождество. |
|обл. G по ф-ле: | |некоторую поверхность S | |(’(x)= f (x, ((x)); [pic]|
|[pic] | |обозначим через [pic]- | | |
|Если пов-ть Р задается | |нормальный вектор | |[pic] [pic] |
|явным урав. | |поверхности [pic] | |[pic] |
|Z=F(x,y)=z(x,y) | |-единичный вектор , данного| |Задача Коши для диф. |
|Где (x,y)[pic],причем | |нормального вектора [pic] | |уравнения 1 порядка. |
|ф-ия F-непрерыв. Со | | | |Требуется найти решение |
|своими | |[pic] где (,(,( -углы , | |диф. ур-я (1) |
|Часными произв.,то | |которые образует нормаль с | |удовлетворяющего |
|поверхностный интегр.1-го| |осями координат | |следующему условию [pic] |
|рода | |Потоком вектора [pic] через| |(2). |
|Вычисл.по ф-ле : | |заданную поверхность S (во | |Теорема Коши. |
|[pic][pic] | |внешнюю поверхность) | |Пусть задана на плоскости|
|где P и Q соотв.часные | |называют следующий | |XOY некоторая обл. Д и |
|произв. | |поверхностный интеграл 1-го| |задано диф. ур-е |
|Поверхн.интеграл 2-го | |рода | |разрешённое относительно |
|рода | |[pic] | |производной, тогда если |
|[pic] | |Проекция вектора на ось | |функция f(x, y) и её |
|Криволин.интеграл 2-го | |[pic] | |частная производная |
|рода: | |Ап – проекция вектора [pic]| |[pic]непрерывны в обл. Д,|
|[pic][pic] | |на вектор [pic] Ап | |и [pic] некоторая |
|Пусть задана двусторонняя| |=пр[pic][pic] | |фиксированная точка обл. |
|пов-ть S и на верхн. | |А тогда поток вектора будет| |Д, то существует и |
|Стороне задана ф-ция | |равен | |единственная функция |
|U=F(x,y,z).Разобьем | |[pic] | |y=((x) являющаяся |
|задан. | | | |решением (1) и такая, |
|Повер.S непрерывн.кривыми| | | |которая в т.[pic] |
|на конечное число | | | |принимает значение [pic],|
|Частичных поверх. | | | |т.е. удовлетворяющая |
|S1,S2….Sn.Проэктир.эти | | | |заданному начальному |
|поверх. | | | |условию [pic]. |
|На XOY , | | | |[pic] [pic] |
|[pic][pic]-площадь | | | |Т.е. если существует |
|прэкции повер.Si: | | | |решение диф. ур-я, то |
|[pic][pic] [pic][pic] | | | |таких решений бесконечное|
|Если сущ.предел Lim ( n| | | |множество. |
|при [pic] не зависит | | | |График функции являющийся|
|От способа дел.области на| | | |решением диф. ур-я |
|части и выбора точек Mi, | | | |принято называть |
|То его | | | |интегральной кривой, |
|наз.повер.интегалом 2-го | | | |процесс решение принято |
|рода по поверхн.и | | | |называть интегрированием.|
|Обознач. : | | | | |
|[pic] | | | |Точку[pic]в плоскости XOY|
|Если же проэктировать | | | |называют особой точкой |
|пов-ть на другие | | | |диф. ур-я если в этой т. |
|плоскости ,то | | | |не выполняется условие |
|Получится: | | | |теоремы Коши, т.е. особая|
|[pic][pic][pic] | | | |т. это такая т. через |
|[pic] | | | |которую может вообще не |
|Пусть на пов-ти заданы | | | |проходить ни одной |
|три ф-ции P(x,y,z), | | | |интегральной кривой, либо|
|Q(x,y,z) | | | |проходить множество. |
|R(x,y,z) тогда | | | |Решения диф. ур-я в |
|повер.интегр.2-го рода | | | |каждой т. которого |
|общего вида наз. | | | |нарушается условие |
|[pic]Пусть пов-ть S | | | |единственности из теоремы|
|явл.гладкой | | | |Коши, принято называть |
|поверхн.,такой что в | | | |особым решением диф. |
|каждой точке ее | | | |ур-я. График особого |
|Сущ. Пл-ть такая что в | | | |решения называется особой|
|каждой т.пов-ти | | | |кривой. |
|сущ.нормаль.Обозначим | | | |Определение общего |
|Через | | | |решения диф. ур-я 1 |
|[pic],[pic],[pic]-углы | | | |порядка: |
|,которые образуют углы с | | | |Функция y=((x, C), где С |
|осями OX,OY,OZ. | | | |произвольная константа, |
|Тогда,как и для | | | |называется общим решением|
|криволин.интеграла имеет | | | |диф. ур-я (1) если |
|место форма между | | | |выполнены следующие |
|повер.Интегр.1 и 2 рода: | | | |условия: |
|[pic]Имеет место | | | |Функция y=((x, C) |
|следующ.ф-ла замены | | | |является решением ур-я |
|перем.в пов.интегр.2-го. | | | |(1) при любом значении |
|Пусть пов-ть S задается | | | |произвольной константы С;|
|своими парам.ур-ми: | | | | |
|[pic] | | | |Какова бы ни была т. |
|ф-ции x,y,z –непрерыв.и | | | |[pic]( Д найдётся такое |
|имеют непрер.частн. | | | |значение произвольной |
|произв.Тогда: | | | |константы [pic], что |
|[pic] | | | |функция y=((x,[pic]) |
|[pic] Имеет место ф-ла | | | |удовлетворяет заданному |
|Стакса | | | |начальному условию, т.е. |
|,связывающ.криволин.интег| | | |([pic] |
|рал по контуру | | | |Частным решением данного |
|Пов-ти с повер.интегралом| | | |диф. ур-я называется |
|2-го по задан.пов-ти. | | | |решение этого ур-я |
|Пусть задана некоторая | | | |которое может быть |
|гладкая повер.S на | | | |получено из общего |
|верхн.стороне этой повер.| | | |решения при некотором |
| | | | |фиксированном значении |
|Заданы три ф-ии | | | |произвольной константы С.|
|P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z| | | | |
|) непрерыв.и | | | |Определение: |
|имеющ.непрер. | | | |Если решение диф. ур-я |
|Частн.произв.по своим | | | |(1) может быть получено в|
|аргументам и L-контур | | | |виде[pic], причём это |
|повер.,проходящий в | | | |ур-е не может быть явно |
|Полож.направления.Тогда: | | | |разрешено относительно y,|
|[pic] | | | |то функцию [pic]принято |
|[pic] | | | |называть общим интегралом|
|[pic] | | | |диф. ур-я (1), где С – |
| | | | |произвольная константа. |
| | | | |Если решение получено в |
| | | | |виде [pic], где [pic]- |
| | | | |явная константа – частным|
| | | | |интегралом диф. ур-я. |
| | | | |Особое решение данного |
| | | | |диф. ур-я (1) ни при |
| | | | |каком значении константы |
| | | | |С не может быть получено |
| | | | |из общего решения.. |
| | |Билет №15 | |Билет №13 |
|Вопрос №17 | |Дивергенция , циркуляция | |Криволинейные интегралы в|
|Диф. ур-ем с разделёнными| |ротор вектора | |пространстве и объем тела|
|перемеными принято | |Пусть задана некоторая | |в криволинейных |
|называть ур-е вида (1): | |пространственная область Д | |координатах |
|[pic] (1) | |над которой определенно | |Пусть в пространстве |
|Если y=y(x) является | |поле вектора [pic] и S | |OXYZзадано тело G.И пусть|
|решением ур-я (1), то и | |–некоторая поверхность в | |в другом пространстве |
|правая и левая части | |данной поверхности Д | |OUVW задано тело Д |
|этого ур-я представляют | |Рассмотрим интеграл , | |И пусть заданы 3 функции |
|собой дифференциалы от | |выражающий поток вектора | |[pic] |
|переменной x, т.е. имеем | |через поверхность S | |взаимно однозначно |
|равенство двух | |Обозначим Аx = P(x,y,z) , | |отображающие область Д в |
|дифференциалов, то тогда | |Ay =Q(x,y,z) , Az = | |области G |
|неопределённые интегралы | |R(x,y,z) | |Будем считать функции |
|отличается разве лишь на | |[pic] | |x,y,z –непрерывными и |
|константу. Т.е. | |[pic] | |имеющие непрерывные |
|интегрируя равенство (1),| |поверхность S ограничивает | |частные производные |
|получаем общее решение | |тело Д1 | |Рассмотрим Якобиан |
|данного диф. ур-я: | |[pic] | |[pic] |
|[pic] | |- расходимость (дивергенция| |Можно показать , что в |
|Уравнения с | |) вектора [pic] | |случае взаимно |
|разделяющимися | |[pic] | |однозначного отображения |
|переменными: | |- уравнение | |области Д и G якобиан ни |
|[pic] | |Остроградского-Гаусса | |в одной точке области Д |
|Уравнения, приводящиеся к| |Ап – проекция вектора [pic]| |не обращается в 0 |
|уравнениям с разделёнными| |на нормаль поверхности | |А значит в области Д |
|переменными. | |Циркуляция , вихрь и ротор | |сохраняет один и тот же |
|[pic]докажем, что это | |вектора | |знак Координаты (U,V,W) |
|ур-е можно привести к | |Пусть в пространстве задано| |принято называть |
|ур-ю с разделёнными | |некоторое тело Д и пусть в| |криволинейными |
|переменными. | |теле Д рассматривается | |координатами точек |
|[pic] | |некоторая кривая L , | |области G |
|Т.е. [pic] | |которая гладкая , имеет | |И тогда можно показать , |
|[pic]Если [pic] | |непрерывно изменяющуюся | |что объем области G в |
|[pic]т.е. [pic] | |касательную | |криволинейных координатах|
|[pic] | |Обозначим через (,(,( углы | |выражается по следующей |
| | |, образует касательная к | |формуле |
|Пример: | |кривой L с осями координат | |[pic] |
|[pic] | | | |Если теперь в области G |
| | |Пусть над этим телом | |будет задана функция |
| | |определенно поле вектора | |f(x,y,z) –непрерывная в |
| | |[pic] | |этой области, то |
| | |Тогда криволинейный | |справедлива следующая |
| | |интеграл по кривой L | |формула замены переменных|
| | |[pic] | |в тройном интеграле |
| | |Рассуждая как и прежде | |[pic] |
| | |можно показать , что [pic] | |При замене переменных в |
| | |L0 - единичный вектор | |тройном интеграле |
| | |касательной L1 | |наиболее часто |
| | |L1 - касательный вектор к | |используются |
| | |кривой L | |цилиндрические и |
| | |Если кривая L является | |сферические координаты |
| | |замкнутой кривой , то такой| |Под цилиндрическими |
| | |интеграл принято называть | |координатами следует |
| | |циркуляцией вектора [pic] | |понимать объединение |
| | |вдоль замкнутого контура L | |полярных координат на |
| | |[pic] - циркуляция [pic] | |плоскости XOY и аппликаты|
| | |Пусть теперь в некоторой | |z (,(,z |
| | |области Д задана | |[pic] |
| | |поверхность S , контур | |(-расстояние от начала |
| | |которой обозначим через L | |координат до проекции тМ |
| | |[pic] | |на плоскость |
| | |[pic] | |(-угол , образованный |
| | |- формула Стокса | |радиус вектором ОМ , в |
| | |[pic] | |пол направлении |
| | |Ротором векторного поля | |[pic] циллиндрические |
| | |[pic] называется вектором | |координаты |
| | |(или вихрем) , имеющий | |0( ( < +( , 0( ( < 2( , |
| | |следующие координаты и | |-(< z < +( |
| | |обозначающиеся | |Подсчитаем якобиан в |
| | |[pic] | |случае цилиндрических |
| | |Циркуляцией вектора [pic] | |координат |
| | |вдоль поверхности S равна | |[pic][pic] |
| | |потоку вектора [pic] через | |[pic] |
| | |заданную поверхность S | |(- угол , образованный |
| | |[pic] - формула Стокса | |проекцией радиус-вектора |
| | | | |тМ |
| | | | |(-угол, образованный |
| | | | |радиус-вектором тМ |
| | | | |(- радиус-вектор тМ, |
| | | | |равный ОМ |
| | | | |Сферическими координатами|
| | | | |принято называть (,(,( |
| | | | |Где (- расстояние от |
| | | | |начала координат до тМ |
| | | | |(- угол , образованный |
| | | | |радиус-вектора с осью Z |
| | | | |(- угол, образованный |
| | | | |проекции радиус-вектора с|
| | | | |осью X |
| | | | |(=(ОМ) 0( ( < +( , 0(|
| | | | |( < ( , 0 < ( < 2( |
| | | | |Найдем якобиан для |
| | | | |сферических координат |
| | | | |[pic][pic] [pic] |
| | | | |=cos([(2 cos2 (cos( sin( |
| | | | |+ (2 sin2 ( sin( cos(] + |
| | | | |(sin( [( sin2 ( cos2 ( + |
| | | | |( sin2 ( sin2 (] =(2 cos2|
| | | | |( sin( + (2 sin3 (=(2 sin|
| | | | |( I((,(,()=(2sin( |
|Вопрос №18 | |Билет№20 Линейные диф. | |Билет №22 |
|Пусть задана функция | |Уравнения1- порядка. Метод | |Уравнение Бернулли и |
|[pic]в области Д, | |подстановки. | |Рикотти и их решение. |
|полкости XOY, функцию | |Линейным уравнением 1-го | |Уравнение Бернулли – это |
|[pic] называют однородной| |порядка называют | |диф. Ур-е следующего вида|
|функцией m-той степени | |уравнения вида: | |: |
|относительно переменных x| |y’+yP(x)=Q(x) – где P(x) и | |[pic][pic] |
|и y, если каково бы ни | |Q(x) некоторые | |где P(x) и Q(x) – |
|было число t>0, | |функции переменной х , а y’| |непрерывные функции m – |
|выполняется равенство: | |и y входят в уравнение | |действительное число (0 и|
|[pic] | |в 1 степени. | |(1 |
| | |1.Метод подстановки: | |разделим уравнение на ym|
|Пример: [pic] | |Будем искать решение | |: |
|Определение: диф. ур-е 1 | |уравнения 1 в виде | |[pic] - приведем его к |
|порядка разрешённое | |произведения y=U(x)V(x) при| |линейному |
|относительно производной | |чём так, что мы | |Обозначим через [pic] а |
|называется однородным | |можем подобрать одну из | |теперь диференциируем |
|диф. ур-ем 1 порядка, | |функций по желанию, | |[pic] |
|если его правая чаcть | |а вторую так, чтобы | |теперь подставим в |
|(функция f(x,y)) является| |удовлетворяла (1) : | |уравнение |
|однородной функцией 0-й | |y’=U’V+UV’ ; | |[pic] |
|степени. | |U’V+UV’+UV*P(x)=Q(x) ; | |получили линейное |
|Метод решения: Пусть (1) | |U’V+U(V’+V*P(x))=Q(x) | |уравнение . |
|является однородным | |Найдём V ,чтобы V’+VP(x)=0 | | |
|уравнением [pic](1). | |: | |Уравнение Рикотти – это |
|[pic] Пусть [pic] | |[pic] [pic] | |диф. следующего вида |
|[pic] | |[pic] Тогда U’V=Q(x) | |[pic] |
|2) если [pic]то [pic] | |[pic] | |Где P(x),q(x),r(x) – |
|т.е. [pic] | |[pic] [pic] | |некоторые непрерывные |
| | |[pic] | |функции |
| | |y’+y cos(x)=1/2 sin(2x) | |Рассмотрим несколько |
| | |y=UV | |случаев |
| | |U’V+UV’+UVcos(x)=sin(x)cos(| |1) если ф-ции P(x) , Q(x)|
| | |x) | |и r(x) – явл. Константами|
| | |V’+Vcos(x)=0 | |то в этом случае сущ. |
| | |dV/V=-cos(x)dx | |решением ур-я Рикотти |
| | |ln(V)= -sin(x) | |т.к. в этом случае ур-е |
| | |V=e-sin(x) | |явл. Ур-ем с разделенными|
| | |[pic] | |переменными . |
| | |sin(x)=t [pic] | |[pic] |
| | |[pic] | |2) если q(x)=0 имеем лин.|
| | | | |Ур-ние |
| | | | |3) если r(x)=0 то имеем |
| | | | |ур-е Бернулли |
| | | | |Если не выполяется ни |
| | | | |одно из этих 3 условий , |
| | | | |то ур-е Рикотти решить |
| | | | |нельзя , неразрешимо в |
| | | | |квыадратурах . Однако |
| | | | |если эти три случая , но|
| | | | |возможно найти хотя бы |
| | | | |одно частное решение |
| | | | |этого ур-я то ур-е |
| | | | |решается в квадратуре . |
| | | | |Установим это : пусть |
| | | | |[pic]- явл. Часным |
| | | | |решением ур-я Рикотти |
| | | | |т.е. |
| | | | |[pic] |
| | | | |тогда введем новую |
| | | | |функцию z=z(x) |
| | | | |Положем [pic] , [pic] |
| | | | |Подставив в уравнение |
| | | | |получим |
| | | | |[pic] |
| | | | |а это ур-е Бернулли |
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
|Билет №23 | |Билет№21. | |Билет№19 Уравнения, |
|Уравнение в полных | |Метод вариации производной | |приводящиеся к |
|дифференциалах и их | |постоянной при решении | |однородным. |
|решение | |линейного диф. уравнения | |К таким уравнениям |
|Пусть задано диф. ур-е | |1-го порядка. | |относят уравнения вида: |
|ел. Вида: | | | |[pic] где a,в,с - |
|[pic] | |y’+P(x)y=Q(x) (1) | |const |
|где P(x,y) и Q(x,y) – | |-задано линейное | |1)[pic]Введём:[pic] чтобы|
|непрер. Функции имеющие | |неоднородное уравнение. | |исчезли с1 и с2 |
|непрерыв часн. | |Рассмотрим соотв. ему | |[pic] [pic] После |
|Производную 2 порядка | |однородное уравнение | |нахождения конкретных k и|
|включительно. | |y’=P(x)y=0 (2). Найдём | |h и подстановки их в наше|
|Диф. ур. Назыв. Ур-ем в | |общее решение: | |уравнение, с учётом того,|
|полных диф-лах , если | |[pic] [pic] | |что [pic] получаем :[pic]|
|[pic] такое что | |[pic] [pic] | |Это уравнение является |
|[pic] | | | |однородным и решается |
|т.е. ур. В этом случае | |Будем искать решение в том | |подстановкой [pic] |
|имеет вид :[pic] | |же виде, что и однородного,| |2). [pic] Тогда: [pic] |
|это уравнение явл полным | |только считая с не | |[pic] [pic] Подставим |
|диф. функции U как ф-ции | |произвольной константой ,а | |:[pic] Сделаем |
|двух переменных: | |функцией от х : [pic] | |замену:[pic] [pic] |
|[pic][pic] | |[pic] | |[pic] [pic] |
|если выполняется | | | |[pic] [pic] [pic] |
|равенство тогда то левая | | | |1). [pic]Допустим [pic] |
|часть [pic] а тогда его | | | |[pic] [pic] |
|решение | | | |?(z)=x+c |
|[pic] - общий интеграл | | | |?(a2x+b2y)=x+c |
|диф. Ур. | | | | |
| | | | |2). Теперь допустим[pic]|
|Теорема о необходимости и| | | |Тогда получим z=c. |
|достаточности условия | | | | |
|того что Ур было ур-ем в | | | | |
|полных дифференциалах | | | | |
|Теорема : Для того чтобы | | | | |
|ур было ур-ем в полных | | | | |
|диф. в некоторой Д | | | | |
|принадл ХОУ | | | | |
|Необх. И дост. Чтобы во | | | | |
|всех точках обл. Д выполн| | | | |
|равенство [pic] если | | | | |
|условие выполняется можно| | | | |
|найти ф-цию [pic] что | | | | |
|будет выполняться рав-во | | | | |
|след. Образом. | | | | |
|[pic] | | | | |
|найдем [pic] | | | | |
| | | | | |
|Билет №24 | |Вопрос №26. | |Билет 28. |
|Интегральный множитель и | |Уравнение вида: f(x,y()=0. | |Ур-ние Логранжа |
|его нахождение | |1) Предположим, что данное | |Ур. Лог.имеет следующий |
|Пусть задано диф. ур-ние| |уравнение можно разрешить | |вид[pic] |
|в диф. форме вида : | |относительно y(; y(=fk(x), | |где ф-ция[pic]и |
|[pic] | |k=1,2,… | |[pic]непрерывная и |
|не всякое такое уравнение| |[pic] Получим совокупность| |сменная производная по |
|явл. Уравнением в полных | |таких решений. Она является| |своему аргументу. |
|виференциалах однако | |общим решением данного | |Покажем что путём |
|доказано что для всякого | |уравнения. | |диф-ния и введения |
|такого ур-я может быть | |[pic] | |параметра можно получить |
|подобрана ф-ция | |[pic] | |общее решение |
|[pic]такая что после | |………………………………. | |в параметрической |
|умножения левого и | |[pic] | |форме.Пусть у`=p=p(x) |
|правого ур-я на эту | |2) Пусть оно не разрешается| |Подставляем в ур. |
|функцию данное уравнение | |относительно y( и | |[pic] (1) |
|стан ур-ем в полных диф. | |разрешается относительно x.| |Продиф-ем на х |
|Ф-цияю [pic]назыв | |Пусть оно эквивал. Такому | |[pic] |
|интегральным множителем | |x=((y(). Будем искать | |[pic] |
|данного уравнения | |решение данного уровнение в| |Рассмотрим два случая: |
|Найдем функцию | |параметрической форме. | |[pic] |
|определяющую интегр. | |y(=p=p(x). | |[pic] |
|Множитель данного | |Пусть x=((p), А y | |[pic][pic] |
|уравнения: | |ищем так: | |Будем смотреть на это |
|[pic] | |dx=(((p)dp | |ур-ние как наур-ние |
|тогда должно выполн. | |dy=y(dx=p(((p)dl. | |от неизв. Ф-ции х, |
|Рав-во: | |Отсюда [pic] | |которая в свою очередь |
|[pic] | |Тогда общее решение [pic] | |явл. |
|имеем уравнение в частных| |3) Предположим, что ур-ние | |Ф-цией параметра р.Тогда |
|производных относит неизв| |не разрешено не относ. х, | |имеем обычное |
|функции Мю.Общего метода | |не относ. y(, но оно может | |инт.ур.относительно |
|нахожения которой не | |быть представлено в виде | |неизв.ф-ции, которую |
|существует | |с-мы двух ур-ний, | |можем найти. |
|Найдем интегр множитель в| |эквивалентных данному | |Пусть общим интегралом |
|случае если он явл ф-цией| |ур-нию: [pic]( ( t ( ( | |этого ур.будут |
|от одной из перемен. | |dy=y(dx dx | |F(p,е,c)=0 (2) |
|1)Найдем условие при | |=(((x)dt | |Объеденим (2) и (1) |
|которых [pic] функция | |dy=((t)* (((t)dt | | |
|[pic]должна удовлетв | |Тогда парметрическое | |[pic] |
|равенству | |решение данное ур-я | |[pic] |
|[pic] ;[pic]будет | |[pic] | |А это и есть общее |
|зависеть только от Х если| | | |решение ,представленое |
|правая часть ур будет | | | |через параметр Р. |
|зависеть только от Х | | | |2)[pic] ,тогда Р=0,но |
|2) Аналогично и | | | |такая constanta, |
|[pic]=[pic](У) | | | |что удовлет. решению ур. |
|[pic] ;[pic]будет | | | |:[pic] |
|зависеть только от Х если| | | |Пусть РI(I=1,2,..) будут |
|правая часть ур будет | | | |решением этого ур. |
|зависеть только от У | | | |Тогда решением |
| | | | |первоначального ур.А. |
| | | | |будут ф-ции [pic], |
| | | | |которые явл. Особыми |
| | | | |решениями ур. А. |
| | | | |И не могут быть получены |
| | | | |общим решением. |
| | | | |Ур.Клеро. |
| | | | |Ур.Клеро имеет вид |
| | | | |[pic]где |
| | | | |[pic]-непрер. и |
| | | | |симетр.произв.по своему |
| | | | |аргументу. Вводим |
| | | | |параметр [pic]. |
| | | | |Тогда [pic] (3) |
| | | | |Диф-ем по Х [pic] |
| | | | |Если [pic],то р=е, а |
| | | | |тогда |
| | | | |подставляем в (3)и |
| | | | |получаем:[pic] |
| | | | |[pic]явл. общим решением |
| | | | |ур. Клеро |
| | | | |[pic]тогда имеем |
| | | | |параметрическое ур. |
| | | | |[pic]общее реш. |
| | | | |[pic][pic] [pic] |
| | | | |Пример[pic] |
| | | | |Замена [pic] |
| | | | |[pic] |
| | | | | |
| | | | |[pic] |
| | | | |общее решение: |
| | | | |[pic] |
| | |Билет 27. | |Билет 25. |
| | |Уравнение вида F(y,y`)=0 | |Рассмотрим несколько |
| | |1)Пусть ур-ние разрешимо | |случаев: |
| | |относ. | |1.Пусть задано следющее |
| | |y`,тогда y`=fk(y) Разрешим | |диф. ур-ние: |
| | |относ. y, где к=1,2…. | |[pic] |
| | |[pic][pic]k(y) . | |Это диф. ур-е 1-го |
| | |Пустьfk(y)[pic]0 тогда | |порядка n-ой степени, где|
| | |[pic][pic] | |(I (x;y) – некото- рые |
| | |Считаем х-функцией от у. | |непрырывные ф-ции двух |
| | |[pic]. [pic] | |переменных в некоторой |
| | |[pic]-это общий интеграл | |обл. Q ( R2 (i=0,…,n). Мы|
| | |данного ур-я . | |имеем ур-е n-ой степени |
| | |[pic] общее решен.х. | |относительно 1-ой |
| | |Пусть fk(y)=0 . Тогда | |производной, а известно, |
| | |решен.данного ур-я | |что всякое ур-е n-ой |
| | |могут быть ф-ции | |степени имеет вточности |
| | |[pic],где[pic]- консты, | |n-корней, среди которых |
| | |причём | |есть как действительные |
| | |такие,которые | |так и комплексные. Пусть |
| | |удовлнтв.условиюF[pic] | |например это ур-е имеет |
| | |2)Пусть ур-ние не | |какоето количество m ( n |
| | |разр.относ.у,, но разреш. | |действительных корней. |
| | |отн. y, т.е. пусть | |Т.к. коэффициенты этого |
| | |наше ур-е эквивал. | |ур-я являются ф-циями |
| | |Ур-нию[pic]Тогда общее | |двух переменных, то ясно,|
| | |реш.розыскивается в | |что корни тоже будут |
| | |парометрич. форме.Вводят | |ф-циями двух переменных. |
| | |параметры таким образом | |Пусть это будут решения |
| | |[pic] | |y1=fk(x;y), k=1,2…m. |
| | |а)пусть [pic]тогда | |Ур-е (1) свелось к m - |
| | |[pic], | |ур-ий 1-го порядка. |
| | |а тогда: | |Пусть это ур-я, имеющие |
| | |[pic]- общее решение в | |общий интеграл |
| | |пар-ой форме | |Fk=(x;y;c)=0, k=1,2…n. |
| | |[pic] | |Тогда совокупность всех |
| | |б) пусть у’=0, тогда | |этих общих интегралов |
| | |у=const | |[pic] |
| | |Решением ур-ния будут ф-ции| |и будет общим решением |
| | |у=[pic]к , | |данного диф. ур-я (1). |
| | |какие удовлет.ур-ние | |Пример: |
| | |F([pic]k,0)=0 | |[pic] |
| | |Пример: решить ур. [pic] | |Пусть x=0,а ур-ние |
| | |Разреш. относ. У | |разделим на x |
| | |.тогда[pic] | |[pic] [pic] |
| | |[pic] | |[pic] [pic] |
| | |[pic] | |[pic] [pic] |
| | |[pic]; [pic] | |[pic][pic] |
| | |[pic] | |[pic] [pic] |
| | | | |[pic] [pic] |
| | | | |Ур-я вида: F(y!)=0 |
| | | | |Пусть заданное диф. ур-е |
| | | | |явно зависит только от y!|
| | | | |и не зависит явно от x и |
| | | | |y. Тогда мы имеем |
| | | | |некоторое алгебраическое |
| | | | |ур-е относительно |
| | | | |производных. А такое |
| | | | |алгебраическое ур-е пусть|
| | | | |имеет конечное или |
| | | | |бесконечное множество |
| | | | |действительных решений |
| | | | |относительно производных.|
| | | | |Т.е. y! = ki , i= 1,2… , |
| | | | |где ki – некоторые |
| | | | |действительные числа. У |
| | | | |нас выполняется условие |
| | | | |F(ki)(0. Решим ур-е |
| | | | |y!=ki; y=kix+c; |
| | | | |ki=(y-c)/x. Общий |
| | | | |интеграл заданного диф. |
| | | | |ур-я |
| | | | |[pic] |
| | | | |Пример: |
| | | | |(y!)4-4(y!)2+1=0 |
| | | | |k4-4k2+1=0 |
| | | | |действительные корни есть|
| | | | | |
| | | | |Значит сразу получаем |
| | | | |общее решение |
| | | | |[pic] |