Переходные процессы в электрических цепях
Оглавление
|Схема |2 стр.|
|Составление характеристического уравнения по Zвх и расчет |3 стр.|
|его корней. | |
|Определение принужденных составляющих. |4 стр.|
|Определение начальных условий. |5 стр.|
| а) Независимые начальные условия |5 стр.|
| б) Зависимые начальные условия |5 стр.|
|Составление дифференциальных уравнений по Законам Кирхгофа. |6 стр.|
|Составление дифференциальных уравнений методом |8 стр.|
|Д-алгебраизации. | |
|Анализ полученного дифференциального уравнения. |10 |
| |стр. |
|Решение дифференциального уравнения классическим методом. |11 |
| |стр. |
|Определение остальных токов и напряжений. |12 |
| |стр. |
|Проверочная таблица. |13 |
| |стр. |
|Операторный метод расчета. |14 |
| |стр. |
|Расчет iL методом переменных состояния. |16 |
| |стр. |
|Графики [pic]. |19 |
| |стр. |
|Список использованной литературы. |20 |
| |стр. |
Схема
[pic]
[pic][pic]
[pic][pic]
[pic][pic]
[pic][pic]
[pic][pic]
Составление характеристического уравнения по Zвх и расчет его корней
|[pic] |(1) |
|[pic] |(2) |
|[pic] |(3) |
Расчет корней
|[pic] |(4)|
|[pic] |(5)|
|[pic] |(6)|
|[pic] |(6)|
|[pic] |(7)|
|[pic][pic] |(8)|
|[pic][pic] |(9)|
|[pic] |(10) |
|[pic] |(11) |
Определение принужденных составляющих
[pic]
|[pic][pic] |(12) |
|[pic][pic] |(13) |
|[pic][pic] |(14) |
|[pic][pic] |(15) |
|[pic][pic] |(16) |
|[pic][pic] |(17) |
|[pic][pic] |(18) |
Определение начальных условий
Независимые начальные условия.
|[pic] |(19) |
Зависимые начальные условия.
|[pic] |(20) |
при t=0
|[pic] |(21) |
Подставляем Н.Н.У
|[pic] |(22) |
|[pic] |(23) |
Из (22) и (23) получаем
|[pic][pic] |(24) |
|[pic][pic] |(25) |
Подставим (24) во второе уравнение системы (21), тогда
|[pic] [pic] |(26) |
Из (26) находим
|[pic][pic] |(27) |
Из (24) и (25) получаем
|[pic][pic] |(28) |
|[pic][pic] |(29) |
Составление дифференциального уравнения, составленного по законам Кирхгофа
Перепишем систему (20) в виде
|[pic] |(30) |
Откуда следует
|[pic] |(31) |
|[pic] |(32) |
Подставим (32) в (31), тогда
|[pic] |(33) |
|[pic] |(34) |
|[pic] |(35) |
Из второго уравнения системы (30) выразим [pic]
|[pic] |(36) |
|[pic] |(37) |
Подставим (37) в (35) тогда
|[pic] |(38) |
|[pic] |(39) |
В силу того, что
|[pic] |(40) |
Подставив (39) в (40) получим
|[pic] |(42) |
Тогда подставляя в (32) выражения (42) и (37), получим
|[pic] |(43) |
|[pic] |(44) |
|[pic] |(45) |
|[pic] |(46) |
|[pic] |(47) |
Получаем дифференциальное уравнение, составленное по Законам Кирхгофа
|[pic] |(48) |
Составление дифференциального уравнения методом Д-алгебраизации
Рассмотрим систему (20)
|[pic] |(49) |
|[pic] |(50) |
|[pic] |(51) |
Если учесть (50) и (51), тогда система (49) примет вид
|[pic] |(52) |
Рассмотрим второе и третье уравнение системы
|[pic] |(53) |
Подставим первое уравнение системы (52) во второе уравнение системы (53)
|[pic] |(54) |
|[pic] |(55) |
|[pic] |(56) |
|[pic] |(57) |
|[pic] |(58) |
|[pic] |(59) |
|[pic] |(60) |
|[pic] |(61) |
Подставим Н.Н.У в (61)
|[pic] |(62) |
|[pic] |(63) |
|Тогда, исходя из (50), (63) примет вид [pic] |(64) |
Т.е. мы получили дифференциальное уравнение, составленное методом
Д-алгебраизации
Анализ полученного дифференциального уравнения
[pic]
1) [pic]
[pic]
2) [pic]
[pic]
Решение дифференциального уравнения классическим методом.
|[pic] |(65) |
Исходя из (12)
|[pic] |(66) |
|[pic] |(67) |
Подставим (66) и (67) в (65)
|[pic] |(68) |
Рассмотрим (68) для момента времени t=0
|[pic] |(69) |
|[pic] |(70) |
Из (26) и (68), получим
|[pic] |(71) |
Подставим (70) в (71)
|[pic] |(72) |
Откуда
|[pic] |(73) |
|[pic] |(74) |
Подставим равенства (73), (74), (10), (11) в (68) , получим выражение для
тока [pic]
|[pic][pic] |(75) |
Определение остальных токов и напряжений.
Определение токов
Из второго уравнения системы (30), находим [pic], учитывая (75)
|[pic] |(76)|
|[pic][pic] |(77)|
Из первого уравнения системы (30), находим [pic], учитывая (75) и (76)
|[pic] |(78) |
|[pic][pic] |(79) |
Определение напряжений
Исходя из (76), находим [pic]
|[pic] |(80) |
|[pic] [pic] |(81) |
Исходя из (78), находим [pic]
|[pic] |(82) |
|[pic][pic] |(83) |
Из третьего уравнения системы (30) находим [pic], учитывая (80) и (82)
|[pic] |(84)|
|[pic] |(85)|
|[pic][pic] |(86)|
Учитывая (75) находим [pic]
|[pic] |(87) |
|[pic][pic] |(88) |
Проверочная таблица
|Величина|t<0 |t=0 |[pic] |
| |докомутационный| | |
| |режим | | |
| | |По З.К.|По расчетным |По З.К. |По расчетным |
| | | |уравнениям | |уравнениям |
| | | | | | |
|[pic][A]|0 |0 |0 |[pic] |0.222 |
|[pic][A]|0 |0 |0 |[pic] |0.222 |
|[pic][A]|0 |0 |0 |0 |0 |
|[pic][B]|0 |0 |0 |[pic] |200 |
|[pic][B]|0 |0 |0 |0 |0 |
|[pic] |0 |[pic] |200 |0 |0 |
|[B] | | | | | |
|[pic] |0 |0 |0 |[pic] |200 |
|[B] | | | | | |
Расчетные уравнения
[pic][pic][pic][pic]
[pic][pic][pic][pic]
[pic][pic]
[pic][pic]
[pic][pic]
Операторный метод расчета
[pic]
В силу Н.Н.У (19) [pic] и [pic]
Тогда определим изображение тока[pic]
|[pic] |(89) |
|[pic] |(90) |
|[pic] |(91) |
Находим [pic]и [pic]
|[pic] |(92) |
|[pic] |(93) |
|[pic] |(94) |
|[pic] |(95) |
|[pic] |(96) |
|[pic] |(97) |
Подставим (91) в (89)
|[pic] |
|(98) |
| |
Прейдем от изображения [pic]к оригиналу [pic], с помощью теоремы разложения
|[pic] |(99) |
|[pic] |(100) |
|[pic] |(101) |
|[pic] |(102) |
|[pic] |(103) |
|[pic] |(104) |
|[pic] |(105) |
|[pic] |(106) |
|[pic] |(107) |
|[pic] |(108) |
|[pic] |(109) |
|[pic] |(110) |
|[pic][pic] |(111) |
Расчет iL методом переменных состояния
Из второго уравнения системы (30)
|[pic] |(112) |
|[pic] |(113) |
Из (35) выражаем [pic]
|[pic] |(114) |
Подставим (114) в (113)
|[pic] |(115) |
|[pic] |(116) |
Из первого уравнения системы (30) выражаем [pic]
|[pic] |(117) |
|[pic] |(118) |
Подставим (116), (114) и (118) в (117)
|[pic] |(119) |
|[pic] |(120) |
Расчет переходных процессов, составленных методом переменных состояния с
помощью программы MathCad.
Решение с применением метода Рунге – Кутта
|[pic] |Квадратная матрица собственных |
|[pic] |коэффициентов системы, которые |
| |определяются структурой цепи и |
| |параметрами элементов. |
|[pic] |Вектор независимых переменных, |
|[pic] |элементы которого определяются |
| |входными воздействиями. |
|[pic] |Вектор начальных условий. |
|[pic] |D - описывает правую часть уравнений,|
| |разрешенных относительно первых |
| |производных |
|[pic] |Начальный момент переходного процесса|
|[pic] |Конечный момент переходного процесса |
|[pic] |Число шагов для численных расчетов. |
|[pic] |Применение метода Рунге-Кутта. |
| |Решение Z представляет собой матрицу |
| |размера Nx3. Первый столбец этой |
| |матрицы Z<0> содержит моменты |
| |времени, столбец Z<1> содержит |
| |значения тока, а столбец Z<2> |
| |содержит значения функции [pic], |
| |соответствующие этим моментам. |
График зависимости тока [pic]
[pic]
График зависимости напряжения [pic]
[pic]
Графики [pic]
[pic]
[pic]
Проверка по законам Кирхгофа при [pic]с
[pic][pic]
[pic][pic]
[pic][pic]
[pic]
[pic][pic]
[pic][pic]
[pic][pic]
[pic]
Список использованной литературы
1. Г. И. Атабеков "ТОЭ" часть 1 Москва 1978 г.
2. Методические указания к домашним заданиям по расчету электрических
цепей. Под. Ред. А. П. Лысенко ЛМИ 1981 г.
3. Ю. Г. Сиднев "Электротехника с основами электроники" Ростов-на-Дону
2002 г.
-----------------------
R1
R2
R2
C
L
E
i3
i1
R1
R2
R2
C
L
E
i2
R1
R2
R2
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]pL
[pic]
[pic]