Ряды динамики
| |
|МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО |
|ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ |
|ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ |
|УНИВЕРСИТЕТ |
| |
|Факультет менеджмента |
|Кафедра ОП И ВЭД |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
|Реферат |
| |
|по дисциплине: «Статистика» |
|на тему : |
|«Ряды динамики» |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
|Выполнил: студент |
|группы ВЭД-95-1 |
|Иванов Олег |
|Проверил: ст. преп. |
|Дружинина И. В. |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
|Тюмень 1999 |
1. ПОНЯТИЯ И КЛАССИИКАЦИЯ РЯДОВ ДИНАМИКИ
1.1 Понятие о статистических рядах динамики .
Ряды динамики – статистические данные , отображающие развитие во
времени изучаемого явления . Их также называют динамическими рядами ,
временными рядами .
В каждом ряду динамики имеется два основных элемента :
1) показатель времени t ;
2) соответствующие им уровни развития изучаемого явления y;
В качестве показаний времени в рядах динамики выступают либо
определенные даты (моменты), либо отдельные периоды (годы , кварталы,
месяцы, сутки).
Уровни рядов динамики отображают количественную оценку (меру) развития
во времени изучаемого явления . Они могут выражаться абсолютными ,
относительными или средними величинами .
Ряды динамики различаются по следующим признакам :
1) По времени . В зависимости от характера изучаемого явления уровни
рядов динамики могут относиться или к определенным датам (моментам)
времени, или к отдельным периодам . В соответствии с этим ряды динамики
подразделяются на моментные и интервальные .
Моментные ряды динамики отображают состояние изучаемых явлений на
определенные даты (моменты) времени . Примером моментного ряда динамики
является следующая информация о списочной численности работников магазина в
1991 году (таб. 1):
Таблица 1[]
Списочная численность работников магазина в 1991 году
|Дата |1.01.91 |1.04.91 |1.07.91 |1.10.91 |1.01.92 |
|Число работников |192 |190 |195 |198 |200 |
|, чел. | | | | | |
Особенностью моментного ряда динамики является то , что в его уровни
могут входить одни и те же единицы изучаемой совокупности . Хотя и в
моментном ряду есть интервалы – промежутки между соседними в ряду датами ,
-- величина того или иного конкретного уровня не зависит от
продолжительности периода между двумя датами . Так , основная часть
персонала магазина , составляющая списочную численность на 1.01.1991 ,
продолжающая работать в течение данного года , отображена в уровнях
последующих периодов . Поэтому при суммировании уровней моментного ряда
может возникнуть повторный счет .
Посредством моментных рядов динамики в торговле изучаются товарные
запасы , состояние кадров , количество оборудования и других показателей ,
отображающих состояние изучаемых явлений на отдельные даты (моменты)
времени .
Интервальные ряды динамики отражают итоги развития (функционирования)
изучаемых явлений за отдельные периоды (интервалы) времени .
Примером интервального ряда могут служить данные о розничном
товарообороте магазина в 1987 – 1991 гг. (таб. 2):
Таблица 2[]
Объем розничного товарооборота магазина в 1987 - 1991 гг.
|Год |1987 |1988 |1989 |1990 |1991 |
|Объем розничного |885.7 |932.6 |980.1 |1028.7|1088.4|
|товарооборота , тыс. р. | | | | | |
Каждый уровень интервального ряда уже представляет собой сумму уровней
за более короткие промежутки времени . При этом единица совокупности ,
входящая в состав одного уровня , не входит в состав других уровней .
Особенностью интервального ряда динамики является то , что каждый его
уровень складывается из данных за более короткие интервалы (субпериоды)
времени . Например , суммируя товарооборот за первые три месяца года ,
получают его объем за I квартал , а суммируя товарооборот за четыре
квартала , получают его величину за год , и т. д. При прочих равных
условиях уровень интервального ряда тем больше , чем больше длина интервала
, к которому этот уровень относится .
Свойство суммирования уровней за последовательные интервалы времени
позволяет получить ряды динамики более укрупненных периодов .
Посредством интервальных рядов динамики в торговле изучают изменения
во времени поступления и реализации товаров , суммы издержек обращения и
других показателей , отображающих итоги функционирования изучаемого явления
за отдельные периоды .
Статистическое отображение изучаемого явления во времени может быть
представлено рядами динамики с нарастающими итогами. Их применение
обусловлено потребностями отображения результатов развития изучаемых
показателей не только за данный отчетный период , но и с учетом
предшествующих периодов . При составлении таких рядов производится
последовательное суммирование смежных уровней . Этим достигается суммарное
обобщение результата развития изучаемого показателя с начала отчетного
периода (года , месяца , квартала и т. д.) .
Ряды динамики с нарастающими итогами строятся при определении общего
объема товарооборота в розничной торговле . Так , обобщением товарно –
денежных отчетов за последние операционные периоды (пятидневки , недели ,
декады и т. д.) .
2) По форме представления уровней . Могут быть построены также ряды
динамики , уровни которых представляют собой относительные и средние
величины . Они также могут быть либо моментными либо интервальными .
В интервальных рядах динамики относительных и средних величин
непосредственное суммирование уровней само по себе лишено смысла , так как
относительные и средние величины являются производными и исчисляются через
деление других величин .
3) По расстоянию между датами или интервалам времени выделяют полные
или неполные ряды динамики .
Полные ряды динамики имеют место тогда , когда даты регистрации или
окончания периодов следуют друг за другом с равными интервалами . Это
равноотстоящие ряды динамики . Неполные – когда принцип равных интервалов
не соблюдается .
4) По числу показателей можно выделить изолированные и комплексные
(многомерные) ряды динамики . Если ведется анализ во времени одного
показателя , имеем изолированный ряд динамики . Комплексный ряд динамики
получается в том случае , когда в хронологической последовательности дается
система показателей , связанных между собой единством процесса или явления
.
1.2 Требования , предъявляемые к рядам динамики
1) Сопоставимость статистических данных
Основным условием для получения правильных выводов при анализе рядов
динамики является сопоставимость его элементов .
Ряды динамики формируются в результате сводки и группировки материалов
статистического наблюдения . Повторяющиеся во времени ( по отчетным
периодам) значения одноименных показателей в ходе статистической сводки
систематизируются в хронологической последовательности .
При этом каждый ряд динамики охватывает отдельные обособленные периоды
, в которых могут происходить изменения , приводящие к несопоставимости
отчетных данных с данными других периодов . Поэтому для анализа ряда
динамики необходимо приведение всех составляющих его элементов к
сопоставимому виду . Для этого в соответствии с задачами исследования
устанавливаются причины , обусловившие несопоставимость анализируемой
информации , и применяется соответствующая обработка , позволяющая
производить сравнение уровней ряда динамики .
Несопоставимость в рядах динамики вызывается различными причинами .
Это могут быть разновеликость показаний времени, неоднородность состава
изучаемых совокупностей во времени , изменения в методике первичного учета
и обобщения исходной информации , различия применяемых в различное время
единиц измерения и т. д.
Так , при изучении динамики товарооборота по внутригодовым периодам
несопоставимость возникает при неодинаковой продолжительности показаний
времени (месяцев , кварталов , полугодий)
При отсутствии информации о фактическом времени работы для получения
сопоставимых среднесуточных показателей используется режимное время работы
. Последнее различно в зависимости от выполняемых торговлей функций и
обслуживаемого контингента .
Для розничной торговли возможны следующие варианты режимного времени :
Предприятия , работающие без перерыва в праздничные и выходные дни
(например , дежурные продуктовые и хлебобулочные магазины , рестораны ,
кафе) . Их фонд рабочего времени соответствует календарному ;
Предприятия , не работающие в праздничные дни ( например , городские рынки)
. Их фонд рабочего времени меньше календарного на число ежегодных
праздничных дней ;
Предприятия , не работающие в праздничные и общевыходные дни (например,
городские промтоварные магазины , предприятия общественного питания на
фабриках , в учреждениях и т. д.) . Величина их рабочего времени зависит от
размещения в каждом календарном году праздничных и выходных дней ;
Предприятия , работающие в отдельные периоды времени , сезоны года
(например , городские овощные базары , торговля в местах массового летнего
отдыха и т. д.) .
Величины временных интервалов должны соответствовать интенсивности
изучаемых процессов . Чем больше вариация уровней во времени , тем чаще
следует делать замеры . Соответственно для стабильных процессов интервалы
можно увеличить .
Так , переписи населения достаточно проводить один раз в десять лет ;
учет национального дохода , урожая ведется один раз в год ; ежедневно
регистрируются курсы покупки и продажи валют , и т. д.
3)Числовые уровни рядов динамики должны быть упорядоченными во времени
. Не допускается анализ рядов с пропусками отдельных уровней , если же
такие пропуски неизбежны , то их восполняют условными расчетными
значениями.
1.3 Тенденция и колеблемость в рядах динамики
При сравнении уровней разных лет можно отметить , что в целом
показатель растет . Однако нередки случаи , когда , например , уровень
урожайности предыдущего года оказывается выше , чем в последующем году .
Иногда рост по сравнению с предыдущим годом велик , иногда мал .
Следовательно , рост наблюдается лишь в среднем , как тенденция . В
остальные же годы происходят колебания , отклоняясь от данной основной
тенденции .
Если рассматривать динамические ряды месячных уровней производства
молока , мяса , ряды объема продаж разных видов обуви или одежды , ряды
заболеваемости населения , выявляются регулярно повторяющиеся из года в год
сезонные колебания уровней . В силу солнечно – земных связей частота
полярных сияний , интенсивность гроз , те же изменения урожайности
отдельных сельскохозяйственных культур и ряд других процессов имеют
циклическую 10 – 11 летнюю колеблемость . Колебания числа рождений ,
связанные с потерями в войне , повторяются с угасающей амплитудой через
поколения , то есть через 20 – 25 лет.
Тенденция динамики связана с действием долговременно существующих
факторов , причин и условий развития , хотя , конечно , после какого – то
периода условия могут измениться и породить уже другую тенденцию развития
изучаемого объекта . Колебания же , напротив , связаны с действиями
краткосрочных или циклических факторов , влияющих на отдельные уровни
динамического ряда , и отклоняющих уровни тенденции то в одном , то в
другом направлении .
Например , тенденция динамики урожайности связана с прогрессом
агротехники , с укреплением экономики данной совокупности хозяйств
совершенствованием организации производства . Колеблемость урожайности
вызвана чередованием благоприятных по погоде и неблагоприятных лет ,
циклами солнечной активности и т. д.
При статистическом изучении динамики необходимо четко разделить два ее
основных элемента – тенденцию и колеблемость , чтобы дать каждому из них
количественную характеристику с помощью специальных показателей . Смешение
тенденции и колеблемости ведет к неверным выводам о динамике .
1.4 Структура ряда динамики . Задачи , решаемые с помощью рядов
динамики . Взаимосвязанные ряды динамики .
Всякий ряд динамики теоретически может быть представлен в виде
составляющих :
1) тренд – основная тенденция развития динамического ряда ( к
увеличению или снижению его уровней) ;
2) циклические (периодические колебания , в том числе сезонные);
3) случайные колебания.
С помощью рядов динамики изучение закономерностей развития социально
– экономических явлений осуществляется в следующих основных направлениях :
1) Характеристика уровней развития изучаемых явлений во времени ;
2) Измерение динамики изучаемых явлений посредством системы
статистических показателей ;
3) Выявление и количественная оценка основной тенденции развития (тренда)
;
4) Изучение периодических колебаний ;
5) Экстраполяция и прогнозирование .
Под взаимосвязанными рядами динамики понимают такие , в которых уровни
одного ряда в какой – то степени определяют уровни другого . Например , ряд
, отражающий внесение удобрений на 1 га , связан с временным рядом
урожайности , ряд уровней средней выработки связан с рядом динамики средней
заработной платы , ряд среднегодового поголовья молочного стада определяет
годовые уровни надоев молока и т.д.
2. ПОКАЗАТЕЛИ , РАССЧИТЫВАЕМЫЕ НА ОСНОВЕ РЯДОВ ДИНАМИКИ
2.1Статистические показатели динамики социально – экономических
явлений .
Для количественной оценки динамики социально – экономических явлений
применяются статистические показатели : абсолютные темпы роста и прироста ,
темпы наращивания и т. д.
В основе расчета показателей рядов динамики лежит сравнение его
уровней . В зависимости от применяемого способа сопоставления показатели
динамики могут вычисляться на постоянной и переменной базах сравнения .
Для расчета показателей динамики на постоянной базе каждый уровень
ряда сравнивается с одним и тем же базисным уровнем . Исчисляемые при этом
показатели называются базисными . Для расчета показателей динамики на
переменной базе каждый последующий уровень ряда сравнивается с предыдущим .
Такие показатели называются цепными .
Способы расчета показателей динамики рассмотрим на данных
товарооборота магазина в 1987 – 1991 гг. (см. таб. 2).
Абсолютный прирост – важнейший статистический показатель динамики ,
определяется в разностном соотношении , сопоставлении двух уровней ряда
динамики в единицах измерения исходной информации . Бывает цепной и
базисный :
1) Базисный абсолютный прирост [pic] определяется как разность между
сравниваемым уровнем [pic]и уровнем , принятым за постоянную базу
сравнения[pic](формула 1):
[pic]
(1)
2) Цепной абсолютный прирост [pic]– разность между сравниваемым
уровнем [pic]и уровнем , который ему предшествует, [pic](формула 2):
[pic]
(2)
Абсолютный прирост может иметь и отрицательный знак , показывающий ,
насколько уровень изучаемого периода ниже базисного .
Между базисными и абсолютными приростами существует связь : сумма
цепных абсолютных приростов [pic] равна базисному абсолютному приросту
последнего ряда динамики [pic] (формула 3):
[pic]
(3)
Ускорение – разность между абсолютным приростом за данный период и
абсолютным приростом за предыдущий период равной длительности (формула 4):
[pic]
(4)
Показатель абсолютного ускорения применяется только в цепном варианте
, но не в базисном . Отрицательная величина ускорения говорит о замедлении
роста или об ускорении снижения уровней ряда .
Темп роста – распространенный статистический показатель динамики . Он
характеризует отношение двух уровней ряда и может выражаться в виде
коэффициента или в процентах .
1) Базисные темпы роста [pic]исчисляются делением сравниваемого уровня
[pic] на уровень , принятый за постоянную базу сравнения[pic], по
формуле 5 :
[pic]
(5)
2) Цепные темпы роста [pic] исчисляются делением сравниваемого уровня
[pic] на предыдущий уровень [pic] (формула 6):
[pic]
(6)
Если темп роста больше единицы (или 100%) , то это показывает на
увеличение изучаемого уровня по сравнению с базисным . Темп роста ,равный
единице (или 100%) , показывает , что уровень изучаемого периода по
сравнению с базисным не изменился . Темп роста меньше единицы (или 100%)
показывает на уменьшение уровня изучаемого периода по сравнению с базисным.
Темп роста всегда имеет положительный знак .
Между базисными и цепными темпами роста имеется взаимосвязь :
произведение последовательных цепных темпов роста равно базисному темпу
роста , а частное от деления последующего базисного темпа роста на
предыдущий равно соответствующему цепному темпу роста .
Темпы прироста характеризуют абсолютный прирост в относительных
величинах . Исчисленный в процентах темп прироста показывает , на сколько
процентов изменился сравниваемый уровень по отношению к уровню , принятому
за базу сравнения .
1) Базисный темп прироста [pic] вычисляется делением сравниваемого
базисного абсолютного прироста [pic]на уровень , принятый за
постоянную базу сравнения [pic](формула 7):
[pic]
(7)
2) Цепной темп прироста [pic] -- это отношение сравниваемого цепного
абсолютного прироста [pic] к предыдущему уровню [pic](формула 8):
[pic] = [pic] : [pic]
(8)
Между показателями темпа роста и темпа прироста существует взаимосвязь
, выраженная формулами 9 и 10:
[pic](%) = [pic](%) -- 100
(9)
(при выражении темпа роста в процентах).
[pic] = [pic] -- 1
(10)
(при выражении темпа роста в коэффициентах).
Формулы (7) и (8) используют для нахождения темпов прироста по темпам
роста .
Важным статистическим показателем динамики социально – экономических
процессов является темп наращивания , который в условиях интенсификации
экономики измеряет наращивание во времени экономического потенциала .
Вычисляются темпы наращивания Тн делением цепных абсолютных приростов
[pic] на уровень , принятый за постоянную базу сравнения , [pic] по формуле
11:
[pic]
(11)
2.2 Средние показатели в рядах динамики
Для получения обобщающих показателей динамики социально --
экономических явлений определяются средние величины : средний уровень ,
средний абсолютный прирост , средний темп роста и прироста и пр.
Средний уровень ряда динамики характеризует типическую величину
абсолютных уровней .
В интервальных рядах динамики средний уровень у определяется делением
суммы уровней [pic]на их число n (формула 12):
[pic]
(12)
В моментном ряду динамики с равноотстоящими датами времени средний
уровень определяется по формуле 13:
[pic] (13)
В моментном ряду динамики с неравноотстоящими датами средний уровень
определяется по формуле 14:
[pic] ,
(14)
где [pic] – уровни ряда динамики , сохранившиеся без изменения в
течение промежутка времени [pic].
Средний абсолютный прирост представляет собой обобщенную
характеристику индивидуальных абсолютных приростов ряда динамики . Для
определения среднего абсолютного прироста [pic] сумма цепных абсолютных
приростов [pic]делится на их число n (формула 15):
[pic]
(15)
Средний абсолютный прирост может определяться по абсолютным уровням
ряда динамики . Для этого определяется разность между конечным [pic]и
базисным [pic] уровнями изучаемого периода , которая делится на m – 1
субпериодов (формула 16):
[pic]
(16)
Основываясь на взаимосвязи между цепными и базисными абсолютными
приростами , показатель среднего абсолютного прироста можно определить по
формуле 17:
[pic]
(17)
Средний темп роста – обобщающая характеристика индивидуальных темпов
роста ряда динамики . Для определения среднего темпа роста [pic]
применяется формула 18:
[pic] (18)
где Тр1 , Тр2 , ... , Трn -- индивидуальные (цепные) темпы роста (в
коэффициентах), n -- число индивидуальных темпов роста.
Средний темп роста можно определить и по абсолютным уровням ряда
динамики по формуле 19:
[pic]
(19)
На основе взаимосвязи между цепными и базисными темпами роста средний
темп роста можно определить по формуле 20:
[pic]
(20)
Средний темп прироста можно определить на основе взаимосвязи между
темпами роста и прироста . При наличии данных о средних темпах роста для
получения средних темпов прироста используется зависимость , выраженная
формулой 21:
[pic]
(21)
(при выражении среднего темпа роста в коэффициентах)
3 Проверка ряда на наличие тренда. Непосредственное выделение тренда
Изучение тренда включает в себя два основных этапа :
1) Ряд динамики проверяется на наличие тренда
2) Производится выравнивание временного ряда и непосредственное
выделение тренда с экстраполяцией полученных показателей –
результатов .
Проверка на наличие тренда в ряду динамики может быть осуществлена по
нескольким критериям .
1) Метод средних . Изучаемый ряд динамики разбивается на несколько
интервалов (обычно на два) , для каждого из которых определяется
средняя величина ([pic]) . Выдвигается гипотеза о существенном
различии средних . Если эта гипотеза принимается , то признается
наличие тренда .
2) Фазочастотный критерий знаков первой разности (критерий Валлиса и
Мура) . Суть его заключается в следующем : наличие тренда в
динамическом ряду утверждается в том случае , если этот ряд не
содержит либо содержит в приемлемом количестве фазы – изменение
знака разности первого порядка (абсолютного цепного прироста).
3) Критерий Кокса и Стюарта . Весь анализируемый ряд динамики разбивают
на три равные по числу уровней группы (в том случае , когда число
уровней ряда не делится на три , недостающие уровни надо добавить) и
сравнивают между собой уровни первой и последней групп .
4) Метод серий . По этому способу каждый конкретный уровень временного
ряда считается принадлежащим к одному из двух типов : например ,
если уровень ряда меньше медианного значения , то считается , что он
имеет тип А , в противном случае – тип В. Теперь последовательность
уровней выступает как последовательность типов . В образовавшейся
последовательности типов определяется число серий (серия – любая
последовательность элементов одинакового типа , с обоих сторон
граничащая с элементами другого типа).
Если в ряду динамики общая тенденция к росту или снижению отсутствует
, то количество серий является случайной величиной , распределенной
приближенно по нормальному закону (для n > 10) . Следовательно , если
закономерности в изменениях уровней нет , то случайная величина R
оказывается в доверительном интервале
[pic].
Параметр t назначается в соответствии с принятым уровнем доверительной
вероятности Р.
Среднее число серий вычисляется по формуле 22 :
[pic].
(22)
Среднее квадратическое отклонение числа серий вычисляется по формуле
23 :
[pic] .
(23)
здесь n -- число уровней ряда .
Выражение для доверительного интервала приобретает вид
[pic]
Полученные границы доверительного интервала округляют до целых чисел ,
уменьшая нижнюю границу и увеличивая верхнюю .
Непосредственное выделение тренда может быть произведено тремя
методами .
1) Укрупнение интервалов . Ряд динамики разделяют на некоторое
достаточно большое число равных интервалов . Если средние уровни по
интервалам не позволяют увидеть тенденцию развития явления ,
переходят к расчету уровней за большие промежутки времени ,
увеличивая длину каждого интервала (одновременно уменьшается
количество интервалов) .
2) Скользящая средняя . В этом методе исходные уровни ряда заменяются
средними величинами , которые получают из данного уровня и
нескольких симметрично его окружающих . Целое число уровней , по
которым рассчитывается среднее значение , называют интервалом
сглаживания . Интервал может быть нечетным (3,5,7 и т.д. точек) или
четным (2,4,6 и т.д. точек).
При нечетном сглаживании полученное среднее арифметическое значение
закрепляют за серединой расчетного интервала , при четном это делать нельзя
. Поэтому при обработке ряда четными интервалами их искусственно делают
нечетными , для чего образуют ближайший больший нечетный интервал , но из
крайних его уровней берут только 50%.
Недостаток методики сглаживания скользящими средними состоит в
условности определения сглаженных уровней для точек в начале и конце ряда .
Получают их специальными приемами – расчетом средней арифметической
взвешенной . Так , при сглаживании по трем точкам выровненное значение в
начале ряда рассчитывается по формуле 24 :
[pic]. (24)
Для последней точки расчет симметричен .
При сглаживании по пяти точкам имеем такие уравнения (формулы 25):
[pic] (25)
Для последних двух точек ряда расчет сглаженных значений полностью
симметричен сглаживанию в двух начальных точках .
Формулы расчета по скользящей средней выглядят , в частности ,
следующим образом (формула 26):
для 3--членной [pic] . (26)
3) Аналитическое выравнивание . Под этим понимают определение основной
проявляющейся во времени тенденции развития изучаемого явления .
Развитие предстает перед исследователем как бы в зависимости только
от течения времени . В итоге выравнивания временного ряда получают
наиболее общий , суммарный , проявляющийся во времени результат
действия всех причинных факторов . Отклонение конкретных уровней
ряда от уровней , соответствующих общей тенденции , объясняют
действием факторов , проявляющихся случайно или циклически . В
результате приходят к трендовой модели , выраженной формулой 27:
[pic] ,
(27)
где f(t) – уровень , определяемый тенденцией развития ;
[pic] -- случайное и циклическое отклонение от тенденции.
Целью аналитического выравнивания динамического ряда является
определение аналитической или графической зависимости f(t) . На практике по
имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции f(t) , а
затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию f(t) выбирают
таким образом , чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого
процесса .
Чаще всего при выравнивании используются следующий зависимости :
линейная [pic] ;
параболическая [pic];
экспоненциальная [pic]
или [pic]).
1) Линейная зависимость выбирается в тех случаях , когда в исходном
временном ряду наблюдаются более или менее постоянные абсолютные и
цепные приросты , не проявляющие тенденции ни к увеличению , ни к
снижению.
2) Параболическая зависимость используется , если абсолютные цепные
приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития , но
абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности
второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют .
3) Экспоненциальные зависимости применяются , если в исходном временном
ряду наблюдается либо более или менее постоянный относительный рост
(устойчивость цепных темпов роста , темпов прироста , коэффициентов
роста) , либо , при отсутствии такого постоянства , -- устойчивость
в изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста
цепных же темпов роста , цепных коэффициентов роста цепных же
коэффициентов или темпов роста и т.д.).
Оценка параметров ([pic]) осуществляется следующими методами :
1) Методом избранных точек,
2) Методом наименьших расстояний,
3) Методом наименьших квадратов (МНК)
В большинстве расчетов используется метод наименьших квадратов ,
который обеспечивает наименьшую сумму квадратов отклонений фактических
уровней от выравненных :
[pic].
Для линейной зависимости ([pic]) параметр [pic] обычно интерпретации
не имеет , но иногда его рассматривают , как обобщенный начальный уровень
ряда ; [pic]-- сила связи , т. е. параметр , показывающий , насколько
изменится результат при изменении времени на единицу . Таким образом ,
[pic]можно представить как постоянный теоретический абсолютный прирост .
Построив уравнение регрессии , проводят оценку его надежности . Это
делается посредством критерия Фишера (F) . Фактический уровень ([pic]) ,
вычисленный по формуле 28, сравнивается с теоретическим (табличным)
значением :
[pic] , (28)
где k -- число параметров функции , описывающей тенденцию;
n -- число уровней ряда ;
Остальные необходимые показатели вычисляются по формулам 29 – 31 :
[pic]
(29)
[pic] (30)
[pic] (31)
[pic]сравнивается с[pic] при [pic] степенях свободы и уровне
значимости ( (обычно ( = 0,05). Если [pic]>[pic], то уравнение регрессии
значимо , то есть построенная модель адекватна фактической временной
тенденции.
4 Анализ сезонных колебаний
Уровень сезонности оценивается с помощью :
1) индексов сезонности ;
2) гармонического анализа.
Индексы сезонности показывают , во сколько раз фактический уровень
ряда в момент или интервал времени t больше среднего уровня либо уровня ,
вычисляемого по уравнению тенденции f(t) . При анализе сезонности уровни
временного ряда показывают развитие явления по месяцам (кварталам) одного
или нескольких лет . Для каждого месяца (квартала) получают обобщенный
индекс сезонности как среднюю арифметическую из одноименных индексов
каждого года . Индексы сезонности – это , по либо уровень существу ,
относительные величины координации , когда за базу сравнения принят либо
средний уровень ряда , либо уровень тенденции . Способы определения
индексов сезонности зависят от наличия или отсутствия основной тенденции .
Если тренда нет или он незначителен , то для каждого месяца (квартала)
индекс рассчитывается по формуле 32:
[pic]
(32)
где [pic]-- уровень показателя за месяц (квартал) t ;
[pic]-- общий уровень показателя .
Как отмечалось выше , для обеспечения устойчивости показателей можно
взять больший промежуток времени . В этом случае расчет производится по
формулам 33 :
[pic] (33)
где [pic] -- средний уровень показателя по одноименным месяцам за
ряд лет ;
Т -- число лет .
При наличии тренда индекс сезонности определяется на основе методов ,
исключающих влияние тенденции . Порядок расчета следующий :
1) для каждого уровня определяют выравненные значения по тренду f(t);
2) рассчитывают отношения [pic];
3) при необходимости находят среднее из этих отношений для одноименных
месяцев (кварталов) по формуле 34 :
[pic],(Т -- число лет). (34)
Другим методом изучения уровня сезонности является гармонический
анализ . Его выполняют , представляя временной ряд как совокупность
гармонических колебательных процессов .
Для каждой точки этого ряда справедливо выражение , записанное в виде
формулы 35 :
[pic] (35)
при t = 1, 2, 3, ... , Т.
Здесь [pic] -- фактический уровень ряда в момент (интервал)
времени t;
f(t) – выравненный уровень ряда в тот же момент (интервал) t
[pic] -- параметры колебательного процесса (гармоники) с
номером n , в совокупности оценивающие размах (амплитуду) отклонения
от общей тенденции и сдвиг колебаний относительно начальной точки .
Общее число колебательных процессов , которые можно выделить из ряда ,
состоящего из Т уровней , равно Т/2. Обычно ограничиваются меньшим числом
наиболее важных гармоник . Параметры гармоники с номером n определяются по
формулам 36 –38 :
1) [pic];
(36)
2) [pic]
(37)
[pic] при n=1,2,...,(T/2 – 1);
3)[pic] (38)
4 Анализ взаимосвязанных рядов динамики .
В простейших случаях для характеристики взаимосвязи двух или более
рядов их приводят к общему основанию , для чего берут в качестве базисных
уровни за один и тот же период и исчисляют коэффициенты опережения по
темпам роста или прироста .
Коэффициенты опережения по темпам роста – это отношение темпов роста
(цепных или базисных) одного ряда к соответствующим по времени темпам роста
(также цепным или базисным) другого ряда . Аналогично находятся и
коэффициенты опережения по темпам прироста .
Анализ взаимосвязанных рядов представляет наибольшую сложность при
изучении временных последовательностей . Однако нередко совпадение общих
тенденций развития может быть вызвано не взаимной связью , а прочими
неучитываемыми факторами . Поэтому в сопоставляемых рядах предварительно
следует избавиться от влияния существующих в них тенденций , а после этого
провести анализ взаимосвязи по отклонениям от тренда . Исследование
включает проверку рядов динамики (отклонений) на автокорреляцию и
установление связи между признаками .
Под автокорреляцией понимается зависимость последующих уровней ряда от
предыдущих . Проверка на наличие автокорреляции осуществляется по критерию
Дарбина – Уотсона (формула 39) :
[pic] ,
(39)
где [pic]-- отклонение фактического уровня ряда в точке t от
теоретического (выравненного) значения .
При К = 0 имеется полная положительная автокорреляция , при К = 2
автокорреляция отсутствует , при К = 4 – полная отрицательная
автокорреляция . Прежде чем оценивать взаимосвязь , автокорреляцию
необходимо исключить . Это можно сделать тремя способами .
1. Исключение тренда с авторегрессией. Для каждого из взаимосвязанных
рядов динамики Х и У получают уравнение тренда (формулы 40) :
[pic]
(40)
Далее выполняют переход к новым рядам динамики , построенным из
отклонений от трендов , рассчитанным по формулам 41 :
[pic]
(41)
Для последовательностей [pic] выполняется проверка на автокорреляцию
по критерию Дарбина – Уотсона . Если значение К близко к 2 , то данный ряд
отклонений оставляют без изменений . Если же К заметно отличается от 2 , то
по такому ряду находят параметры уравнения авторегрессии по формулам 42 :
[pic]
(42)
Более полные уравнения авторегрессии можно получить на основе анализа
автокорреляционной функции , когда определяются число параметров ([pic]) и
соответствующие этим параметрам величины шагов .
Далее по формуле 43 подсчитываются новые остатки :
[pic] (t = 1, ... , Т) (43)
и , по формуле 44, коэффициент корреляции признаков :
[pic].
(44)
2. Корреляция первых разностей . От исходных рядов динамики Х и У
переходят к новым , построенным по первым разностям (формулы 45) :
[pic]
(45)
По (Х и (У определяют по формуле 46 направление и силу связи в
регрессии:
[pic] (46)
3. Включение времени в уравнение связи : [pic].
В простейших случаях уравнение выглядит следующим образом (формула
47):
[pic]
(47)
Из перечисленных методов исключения автокорреляции наиболее простым
является второй , однако более эффективен первый .