Синтез управляющего автомата модели LEGO транспортной тележки и моделирование ее движения
Кубанский государственный технологический университет
Кафедра автоматизации технологических процессов
Задание на контрольную работу
По дисциплине “Автоматизированное управление дискретными процессами”
для студентов заочной формы обучения специальности 21.01 — “Автоматика и
управление в технических системах” на тему: “Синтез управляющего автомата
модели LEGO — “транспортная тележка” и моделирование её движения вдоль
трассы”
Выдано:
Аспирантом каф. АПП 06.09.99 /Напылов Р.Н./
студенту гр. ____________ /____________/
Краснодар 1999
Исходные данные
1 Управляемый процесс — движение модели LEGO транспортной тележки вдоль
заданной траектории в виде белой полосы. Ориентация тележки относительно
трассы регулируется датчиками контраста.
2 Условная схема транспортной тележки приводится на рисунке 1.1. Тележка
движется за счёт заднего привода, создающего постоянное тягловое усилие
[pic]. Вращение переднего колеса тележки осуществляется с помощью
реверсивного поворотного двигателя, отрабатывающего с постоянной угловой
скоростью [pic], где [pic] — угол поворота переднего колеса (рисунок 1.1)
3 Транспортная тележка, как объект управления имеет систему дискретных
входных и выходных сигналов, структурно представленную на рисунке 1.2.
Кодировка указанных сигналов следующая:
Таблица 1.1 – Кодировка управляющих сигналов
|Разряд | |
|сигнала |Управляющее действие |
|X | |
|X0 |1 – двигатель тележки включен |
| |0 – двигатель тележки выключен |
|X1 |1 – поворотный двигатель отрабатывает влево |
| |0 – двигатель влево не отрабатывает |
|X2 |1 – поворотный двигатель отрабатывает вправо |
| |0 – двигатель вправо не отрабатывает |
Таблица 1.2 – Кодировка выходных сигналов
|Разряд | |
|сигнала |Событие |
|Y | |
|Y0 |1 – левый датчик над светлой точкой трассы |
| |0 – левый датчик над тёмной точкой трассы |
|Y1 |1 – правый датчик над светлой точкой трассы |
| |0 – правый датчик над тёмной точкой трассы |
Сигналы Y используются в качестве обратной связи управляющего
автомата. По изменению этих сигналов возможно судить о текущем положении
тележки относительно белой полосы трассы. Сигналы X вырабатываются
управляющим автоматом в зависимости от поведения во времени сигналов Y так,
что бы обеспечить совпадение траекторий движения тележки и трассы.
4 Решение о подачи питания на задний привод тележки и, расположенный на
ней, управляющий автомат принимает внешний оператор. Поэтому, исходным
состоянием тележки является активность двигателя привода. В этом случае
задача управляющего автомата состоит только в обеспечении движения тележки
вдоль трассы.
5 Допущения, делаемые при рассмотрении управляемой тележки в динамике:
тягловое усилие [pic] постоянное;
приведённая сила трения [pic] пропорциональна линейной скорости движения
тележки;
сила трения [pic], подменяющая реакцию [pic] в момент, когда [pic]
(переднее колесо проскальзывает), постоянна и пропорциональна массе
тележки;
сила трения [pic], подменяющая реакцию [pic] в момент, когда [pic] (тележку
заносит), также постоянна и пропорциональна массе тележки;
масса тележки [pic] и её момент инерции [pic] относительно центра масс
связаны зависимостью: [pic], как если бы вся масса тележки была
сосредоточена в стержне [pic] (рисунок 1.1).
Основное задание
1 Сформировать модель управляющего автомата в форме таблицы переходов и
выходов автомата Милли, предварительно составив список его возможных
состояний и перекодировав входной алфавит автомата во множество
многозначной логики (Y - четырёхзначное);
2 Минимизировать, в случае возможности, таблицу переходов и выходов
автомата Милли;
3 Составить алгебрологические выражения функции переходов и функции выходов
минимизированного автомата, используя только двоичное представление
входных и выходных сигналов;
4 Минимизировать полученные функции;
5 По минимизированным логическим функциям зарисовать цифровую схему
управляющего автомата (стандарт условного графического изображения
логических элементов — Российский).
Дополнительное задание
Вывести модель динамики транспортной тележки. Положение центра масс
тележки в плоской системе координат задавать вектором положения [pic].
Положение точки приложения силы тяги привода задавать вектором [pic].
Список источников
1 Юдицкий С.А., Магергут В.Э. Логическое управление дискретными процессами.
Модели, анализ, синтез. — М.: Машиностроение, 1987. — 176 c.
2 Кузнецов О.П., Адельсон-Вольский Г.М. Дискретная математика для
инженеров. — М.: Энергоатомиздат, 1987. — 450 c.
3 Шварце Х., Хольцгрефе Г.-В. Использование компьютеров в регулировании и
управлении: Пер. с нем.—М.: Энергоатомиздат, 1990. — 176 с.: ил.
4 Каган Б.М., Сташин В.В. Основы проектирования микропроцессорных устройств
автоматики. — М.: Энергоатомиздат, 1987. — 304 c.
5 Мишель Ж., Лоржо К., Эспью Б., Программируемые контроллеры. — Пер. c
французского А.П. Сизова — М.: Машиностроение, 1986.
6 Микропроцессоры: В 3-х кн. Кн. 2. Средства сопряжения. Контролирующее и
информационно-управляющие системы: Учеб. Для втузов/В.Д. Вернер, Н.В.
Воробьёв, А.В. Горячев и др.; Под ред. Л.Н. Преснухина. — М.: Высш. шк.,
1986. — 383 c.: ил.
7 Фиртич В. Применение микропроцессоров в системах управления: Пер. с нем.
— М.: Мир, 1984,—464 c., ил.
Решение основного задания
1 Выходной алфавит транспортной тележки является входным алфавитом
управляющего автомата Y. Для возможности применения теории конечных
автоматов перекодируем его во множество четырёх знаков в соответствии с
таблицей 5.1.
Таблица 5.1 – Кодировка входного алфавита управляющего автомата
|Y0 |Y1 |Y |
|0 |0 |0 |
|0 |1 |1 |
|1 |0 |2 |
|1 |1 |3 |
2 При определении возможных состояний управляющего автомата будем
руководствоваться правилом: — допустимо введение избыточных состояний,
которые при последующей минимизации автомата исключаются; недопустим
пропуск необходимого состояния, который уменьшает адаптированность автомата
к внешним ситуациям.
Перечень возможных состояний автомата, отождествлённых с
ситуационными событиями транспортной тележки, приводится ниже.
Таблица 5.2 – Перечень состояний управляющего автомата транспортной
тележки
|Код |Описание состояния |
|состояния S | |
|0 |Исходное состояние неуправляемого движения; |
|1 |Поворот вправо (поворотный двигатель непрерывно |
| |отрабатывает вправо); |
|2 |Поворот влево (поворотный двигатель непрерывно |
| |отрабатывает влево); |
|3 |Конфликт поворотов. |
3 Для возможности формирования математической модели управляющего автомата
рассмотрим описательный алгоритм управления транспортной тележки по
состояниям:
В исходном состоянии тележка непрерывно движется под действием привода. Ни
один из датчиков контраста не находится над белой полосой трассы.
Поворотный двигатель остановлен;
При возникновении белой полосы под левым датчиком контраста включается
поворотный двигатель на отработку влево. Привод отключается и далее следует
движение по инерции, что уменьшает вероятность заноса тележки;
Как только левый датчик контраста “сходит” с белой полосы поворотный
двигатель останавливается в текущем состоянии, а привод вновь запускается;
При возникновении белой полосы под правым датчиком — поведение транспортной
тележки аналогично;
Возникновение белой полосы под правым и левым датчиком свидетельствует о
том, что тележка движется перпендикулярно трассе. Это сбойная ситуация, при
которой следует отключение привода и блокировка управляющего автомата.
Нормальный ход работы автомата может быть восстановлен только “сбросом”.
4 Поскольку управляющий сигнал имеет три разряда, то для составления модели
автомата Милли необходимо построить три таблицы переходов и выходов.
Указанные таблицы, эквивалентные описательному алгоритму управления,
приводятся ниже.
Таблица 5.3 – Таблицы переходов и выходов управляющего автомата
| |Для X0 |Для X1 |Для X2 |
|Код | | | |
|Si | | | |
| |y |y |y |
| |0 |1 |2 |3 |0 |1 |2 |3 |0 |1 |2 |3 |
|0 |[pic|[pic|[pic|[pi|[pic|[pic|[pic|[pic|[pic|[pi|[pi|[pi|
| |] |] |] |c] |] |] |] |] |] |c] |c] |c] |
| |Для X0 |Для X1 |Для X2 |
|Код | | | |
|Si | | | |
| |y |y |y |
| |0 |1 |2 |3 |0 |1 |2 |3 |0 |1 |2 |3 |
|1 |[pic|[pic|[pic|[pi|[pic|[pic|[pic|[pic|[pic|[pi|[pi|[pi|
| |] |] |] |c] |] |] |] |] |] |c] |c] |c] |
|2 |[pic|[pic|[pic|[pi|[pic|[pic|[pic|[pic|[pic|[pi|[pi|[pi|
| |] |] |] |c] |] |] |] |] |] |c] |c] |c] |
|3 |[pic|[pic|[pic|[pi|[pic|[pic|[pic|[pic|[pic|[pi|[pi|[pi|
| |] |] |] |c] |] |] |] |] |] |c] |c] |c] |
5 Как видно, состояния S0, S1, S2 явно эквивалентны, причём для каждого из
выходов X. Представляется возможным эти эквивалентные состояния обозначить
одним состоянием S0 – состояние управления тележкой. В этом случае,
состояние блокировки S3 удобно переобозначить как S1 – состояние блокировки
автомата. В результате получаем модель несократимого автомата Милли.
Таблица 5.4 – Таблицы переходов и выходов несократимого автомата
| |Для X0 |Для X1 |Для X2 |
|Код | | | |
|Si | | | |
| |y |y |y |
| |0 |1 |2 |3 |0 |1 |2 |3 |0 |1 |2 |3 |
|0 |[pic|[pic|[pic|[pi|[pic|[pic|[pic|[pic|[pic|[pi|[pi|[pi|
| |] |] |] |c] |] |] |] |] |] |c] |c] |c] |
|1 |[pic|[pic|[pic|[pi|[pic|[pic|[pic|[pic|[pic|[pi|[pi|[pi|
| |] |] |] |c] |] |] |] |] |] |c] |c] |c] |
6 Учитывая, что код состояния полученной модели описывается одноразрядным
сигналом S, а также учитывая кодировку входных сигналов Y (табл. 5.1),
составим таблицу истинности комбинационной схемы автомата, непосредственно
по таблице 5.4 и введя обозначения: S[j] — текущий сигнал состояния,
S[j+1] — сигнал состояний на следующем такте автомата.
Судя по таблице 5.5, минимизации поддаётся только функция переходов
[pic]. Минимизируем её методом карт Карно (см. рис. 5.1).
Таблица 5.5 – Таблица истинности комбинационной схемы автомата
|S[j] |0 |0 |0 |0 |1 |1 |1 |1 |
|Y0 |0 |0 |1 |1 |0 |0 |1 |1 |
|Y1 |0 |1 |0 |1 |0 |1 |0 |1 |
|S[j+1] |0 |0 |0 |1 |1 |1 |1 |1 |
|X0 |1 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |
|X1 |0 |0 |1 |0 |0 |0 |0 |0 |
|X2 |0 |1 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |
7 Теперь можно записать логические выражения для комбинационной схемы
автомата.
Функция переходов:
[pic]. (5.1)
Функции выходов в СДНФ по таблице истинности:
[pic]. (5.2)
Для удобства реализации комбинационной схемы представим
рассматриваемые функции в базисе “ИЛИ-НЕ”:
[pic]. (5.3)
8 На основе системы (5.3), окончательно получаем цифровую схему реализации
управляющего автомата транспортной тележки, представленную на рисунке 5.2.
Особенностью полученной схемы является то, что она не содержит
элементы памяти и задержки и, соответственно, не является тактируемой.
Такой вариант реализации возможен для автоматов с двумя состояниями, одно
из которых является абсолютно устойчивым. В нашем случае состояние
блокировки есть абсолютно устойчивое состояние. Если комбинационная схема
сформируем это состояние, то за счёт обратной связи по линии S запрещается
реакция выходов X на изменение входных сигналов Y. Выход из этого
устойчивого состояния возможен только принудительным обнулением линии S
единичным уровнем на линии “Сброс”. Конфликтных “Состязаний” в
рассматриваемом автомате не возникает.
Решение дополнительного задания
1 Действующая на тележку в динамике система сил раскладывается на
результирующую силу, приложенную к центру масс тележки [pic] и вращающий
момент [pic], относительно того же центра масс.
2 Как видно из рисунка 1.1 вращающий момент определяется только силой
реакции опоры переднего колеса [pic] —
[pic], (6.1)
[pic] — угол поворота переднего колеса.
Зная из рисунка, что
[pic], (6.2)
получим:
[pic]. (6.3)
Положительные значения вращающего момента соответствуют повороту тележки
влево, отрицательные — вправо.
3 Результирующая сила, действующая на центр масс тележки, определяется
векторной суммой всех сил на рисунке 1.1:
[pic]. (6.4)
Для нашего случая важно знать направление действия силы [pic],
которое зависит от направлений и величин составляющих рассматриваемой
суммы. В свою очередь направления составляющих рассматриваются относительно
положения габаритной определяющей, которое характеризуется единичным
вектором:
[pic], (6.5)
[pic] — вектор, задающий координаты центра масс тележки;
[pic] — вектор, задающий координаты точки приложения силы тяги
[pic];
[pic] — габаритная определяющая транспортной тележки.
4 Вектор [pic] представляется в базисе вектора [pic] следующим образом:
[pic], (6.6)
[pic] — единичный вектор, ортогональный вектору [pic],
или
[pic]. (6.7)
Если [pic] имеет координаты [pic], то [pic] имеет координаты [pic].
Тогда вектор [pic], выраженный в базисе Декартовой системы координат, имеет
вид:
[pic], (6.8)
[pic] — матрица (оператор) поворота вектора [pic] на угол [pic].
Теперь, используя выражение (6.2), окончательно найдём, что
[pic]. (6.9)
5 Из рисунка 1.1 очевидным образом вытекают выражения для векторов силы
тяги и приведённой силы трения, а именно:
[pic], (6.10)
[pic]. (6.11)
6 Центростремительная реакция трассы [pic] определяется произведением массы
тележки и нормальной составляющей ускорения её центра масс,
возникающей при закруглении траектории движения:
[pic], (6.12)
[pic] — центростремительное ускорение.
Если траектория движения центра масс задаётся вектором [pic], то
[pic], (6.13)
[pic] — вектор скорости центра масс;
[pic] — вектор полного ускорения;
[pic] — оператор скалярного произведения векторов.
Это физический факт. Вывод его опускаем.
7 Центр масс тележки смещается под действием результирующей силы [pic], при
этом справедливо:
[pic]. (6.14)
8 Точка приложения силы тяги смещается под действием вращающего момента
[pic], за счёт которого ей придаётся угловое ускорение [pic]:
[pic], (6.15)
[pic] — момент инерции тележки относительно центра масс.
Зная угловое ускорение можно найти тангенциальное [pic] в скалярной
форме:
[pic],
а затем и в векторной:
[pic], (6.16)
[pic] — векторная скорость изменения ориентации габаритной определяющей.
С другой стороны, — вектор тангенциального ускорения может быть
выражен через полное ускорение вектора [pic]:
[pic], (6.17)
[pic] — вектор полного ускорения изменения ориентации габаритной
определяющей;
В результате имеем связь:
[pic]. (6.18)
9 Учитывая, что приведённая сила трения пропорциональна модулю скорости
центра масс:
[pic], (6.19)
[pic] — коэффициент трения,
на основании всех найденных зависимостей путём исключения неизвестных
нетрудно получить систему дифференциальных уравнений, являющуюся моделью
динамики транспортной тележки в векторной форме. Записать эту систему в
одну строчку проблематично, поэтому ограничимся указанием того, что первое
дифференциальное уравнение системы строится на основе выражений: (6.3),
(6.4), (6.5), (6.9), (6.10), (6.11), (6.13), (6.14), (6.19), а второе на
основе: (6.3), (6.5), (6.18). Решением первого уравнения является
зависимость траектории центра масс тележки от времени, решением второго —
ориентация во времени вектора [pic].
Полученная система не имеет аналитического решения и поэтому должна
решаться численно при любой зависимости от времени угла поворота [pic] и
четырёх начальных условиях типа:
[pic], (6.20)
которые показывают, что в нулевой момент времени центр масс тележки
находится в начале координат, скорость тележки равна нулю (и поступательная
и вращательная), тележка сориентирована вертикально по оси [pic].
Для более детального учёта свойств транспортной тележки в динамики
выражения векторов реакций трассы должны быть заменены на выражения с
условиями сравнений в соответствии с допущениями, сформулированными в
задании контрольной работы.
-----------------------
Действие на трассу
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
ц
Д
Д — датчики контраста;
ц — центр масс тележки;
[pic] — вектор тяглового усилия двигателя;
[pic] — вектор приведенной силы трения;
[pic] — вектор реакции трассы (опоры) на переднее колесо;
[pic] — центростремительная реакция трассы;
[pic] — упрощенная габаритная определяющая;
[pic] — расстояние между датчиками контраста.
Рисунок 1.1 – Динамическая схема транспортной тележки
[pic]
[pic]
Тележка
[pic] — трёхразрядный управляющий сигнал;
[pic] — двухразрядный выходной сигнал.
Рисунок 1.2 – Структурная схема управления транспортной тележкой
[pic]
Автомат
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Рисунок 5.1 – Минимизация функции переходов методом карт Карно
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
“Сброс”
Рисунок 5.2 – Цифровая схема управляющего автомата транспортной
тележки