Динамика твердого тела
Министерство образования и науки
Республики Казахстан
Карагандинский Государственный Университет
имени Е.А.Букетова
Кафедра общей и теоретический физики
Курсовая работа
на тему:
Динамика твердого тела
Подготовил:
________________
________________
Проверил:
________________
________________
Караганды – 2003г.
Введение
o I. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
. Кинетическая энергия вращающегося тела и работа внешних сил (ось
вращения неподвижна)
. Свободные оси. Устойчивость свободного вращения
. Центр удара
o II. Плоское движение твердого тела
. Кинетическая энергия при плоском движении
Заключение
Введение
В общем случае абсолютно твердое тело имеет 6 степеней свободы, и для
описания его движения необходимы 6 независимых скалярных уравнений или 2
независимых векторных уравнения.
Вспомним, что твердое тело можно рассматривать как систему материальных
точек, и, следовательно, к нему применимы те уравнения динамики, которые
справедливы для системы точек в целом.
Обратимся к опытам.
Возьмем резиновую палку, утяжеленную на одном из концов и имеющую
лампочку точно в центре масс (рис. 3.1). Зажжем лампочку и бросим палку из
одного конца аудитории в другой, сообщив ей произвольное вращение -
траекторией лампочки будет при этом парабола - кривая, по которой полетело
бы небольшое тело, брошенное под углом к горизонту.
|[pic] |
|Рис. 3.1. |
Стержень, опирающийся одним из концов на гладкую горизонтальную
плоскость (рис.1.16), падает таким образом, что его центр масс остается на
одной и той же вертикали - нет сил, которые сдвинули бы центр масс стержня
в горизонтальном направлении.
Опыт, который был представлен на рис. 2.2 а, в, свидетельствует о том,
что для изменения момента импульса тела существенна не просто сила, а ее
момент относительно оси вращения.
Тело, подвешенное в точке, не совпадающей с его центром масс
(физический маятник), начинает колебаться (рис. 3.2а) - есть момент силы
тяжести относительно точки подвеса, возвращающий отклоненный маятник в
положение равновесия. Но тот же маятник, подвешенный в центре масс,
находится в положении безразличного равновесия (рис. 3.2б).
|[pic] |
|Рис. 3.2. |
Роль момента силы наглядно проявляется в опытах с "послушной" и
"непослушной" катушками (рис. 3.3). Плоское движение этих катушек можно
представить как чистое вращение вокруг мгновенной оси, проходящее через
точку соприкосновения катушки с плоскостью. В зависимости от направления
момента силы F относительно мгновенной оси катушка либо откатывается (рис.
3.За), либо накатывается на нитку (рис. 3.Зб). Держа нить достаточно близко
к горизонтальной плоскости, можно принудить к послушанию самую
"непослушную" катушку.
|[pic] |
|Рис. 3.3. |
Все эти опыты вполне согласуются с известными законами динамики,
сформулированными для системы материальных точек: законом движения центра
масс и законом изменения момента импульса системы под действием момента
внешних сил. Таким образом, в качестве двух векторных уравнений движения
твердого тела можно использовать:
Уравнение движения центра масс
|[pic] |(3.1) |
Здесь [pic]- скорость центра масс тела, [pic]- сумма всех внешних сил,
приложенных к телу.
Уравнение моментов
|[pic] |(3.2) |
Здесь L- момент импульса твердого тела относительно некоторой точки,
[pic]- суммарный момент внешних сил относительно той же самой точки.
К уравнениям (3.1) и (3.2), являющимся уравнениями динамики твердого
тела, необходимо дать следующие комментарии:
1. Внутренние силы, как и в случае произвольной системы материальных
точек, не- влияют на движение центра масс и не могут изменить момент
импульса тела.
2. Точку приложения внешней силы можно произвольно перемещать вдоль
линии, по которой действует сила. Это следует из того, что в модели
абсолютно твердого тела локальные деформации, возникающие в области
приложения силы, в расчет не принимаются. Указанный перенос не повлияет и
на момент силы относительно какой бы то ни было точки, так как плечо силы
при этом не изменится.
Векторы L и M в уравнении (3.2), как правило, рассматриваются
относительно некоторой неподвижной в лабораторной системе XYZ точки. Во
многих задачах L и M удобно рассматривать относительно движущегося центра
масс тела. В этом случае уравнение моментов имеет вид, формально
совпадающий с (3.2). В самом деле, момент импульса тела [pic]относительно
движущегося центра .масс О связан с моментом импульса [pic]относительно
неподвижной - точки O' соотношением:
|[pic] |(3.3) |
где R - радиус-вектор от O' к О, p - полный импульс тела. Аналогичное
соотношение легко может быть получено и для моментов силы:
|[pic] |(3.4) |
где F - геометрическая сумма всех сил, действующих на твердое тело.
Поскольку точка O' неподвижна, то справедливо уравнение моментов (3.2):
|[pic] |(3.5) |
Тогда
|[pic] |(3.6) |
Величина [pic]есть скорость точки О в лабораторной системе XYZ.
Учитывая (3.4), получим
|[pic] |(3.7) |
Поскольку движущаяся точка O - это центр масс тела, то [pic]([pic] -
масса тела), [pic]и [pic]то есть уравнение моментов относительно
движущегося центра масс имеет такой же вид, что и относительно неподвижной
точки. Скорости всех точек тела при определении [pic]следует брать
относительно центра масс тела.
Ранее было показано, что произвольное движение твердого тела можно
разложить на поступательное (вместе с системой x0y0z0, начало которой
находится в некоторой точке - полюсе, жестко связанной с телом) и
вращательное (вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс). С точки
зрения кинематики выбор полюса особого значения не имеет, с точки же зрения
динамики полюс, как теперь понятно, удобно поместить в центр масс. Именно в
этом случае уравнение моментов (3.2) может быть записано относительно
центра масс (или оси, проходящей через центр масс) как относительно
неподвижного начала (или неподвижное оси).
Если [pic]не зависит от угловой скорости тела, а [pic]- от скорости
центра масс, то уравнения (3.1) и (3.2) можно рассматривать независимо друг
от друга. В этом случае уравнение (3.1) соответствует просто задаче из
механики точки, а уравнение (3.2) - задаче о вращении твердого тела вокруг
неподвижной точки или неподвижной оси. Пример ситуации, когда уравнения
(3.1) и (3.2) нельзя рассматривать независимо - движение вращающегося
твердого тела в вязкой среде.
Далее в этой лекции мы рассмотрим уравнения динамики для трех частных
случаев движения твердого тела: вращения вокруг неподвижной оси, плоского
движения и, наконец, движения твердого тела, имеющего ось симметрии и
закрепленного в центре масс.
I. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
В этом случае движение твердого тела определяется уравнением
|[pic] |
Здесь [pic]- это момент импульса относительно оси вращения, то есть
проекция на ось момента импульса, определенного относительно некоторой
точки, принадлежащей оси. [pic]- это момент внешних сил относительно оси
вращения, то есть проекция на ось результирующего момента внешних сил,
определенного относительно некоторой точки, принадлежащей оси, причем выбор
этой точки на оси, как и в случае с [pic]значения не имеет. Действительно
(рис. 3.4), [pic]где [pic]- составляющая силы, приложенной к твердому телу,
перпендикулярная оси вращения, [pic]- плечо силы [pic]относительно оси.
|[pic] |
|Рис. 3.4. |
Поскольку [pic]([pic] - момент инерции тела относительно оси вращения),
то вместо [pic]можно записать
|[pic] |(3.8) |
или
|[pic] |(3.9) |
поскольку в случае твердого тела [pic]
Уравнение (3.9) и есть основное уравнение динамики вращательного
движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Его векторная. форма имеет
вид:
|[pic] |(3.10) |
Вектор [pic]всегда направлен вдоль оси вращения, а [pic]- это
составляющая вектора момента силы вдоль оси.
В случае [pic]получаем [pic]соответственно и момент импульса
относительно оси [pic]сохраняется. При этом сам вектор L, определенный
относительно какой-либо точки на оси вращения, может меняться. Пример
такого движения показан на рис. 3.5.
|[pic] |
|Рис. 3.5. |
Стержень АВ, шарнирно закрепленный в точке А, вращается по инерции
вокруг вертикальной оси таким образом, что угол [pic]между осью и стержнем
остается постоянным. Вектор момента импульса L, относительно точки А
движется по конический поверхности с углом полураствора [pic]однако
проекция L на вертикальную ось остается постоянной, поскольку момент силы
тяжести относительно этой оси равен нулю.
Кинетическая энергия вращающегося тела и работа внешних сил (ось
вращения неподвижна).
Скорость i -й частицы тела
|[pic] |(3.11) |
где [pic]- расстояние частицы до оси вращение Кинетическая энергия
|[pic] |(3.12) |
так как угловая скорость вращения для всех точек одинакова.
В соответствии с законом изменения механической энергии системы
элементарная работа всех внешних сил равна приращению кинетической энергии
тела:
|[pic] |(3.13) |
Работа внешних сил при повороте тела на конечный угол [pic]равна
|[pic] |(3.14) |
опустим, что диск точила вращается по инерции с угловое скоростью
[pic]и мы останавливаем его, прижимая какой-либо предмет к краю диска с