Лекции по ТОЭ
Лекции по ТОЭ
Введение
1. Элементы электрических цепей.
2. Топология электрических цепей.
3. Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных.
4. Элементы цепи синусоидального тока, векторные диаграммы и комплексные
соотношения для них.
5. Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых
потенциалов.
6. Основы матричных методов расчета электрических цепей.
7. Мощность в электрических цепях.
8. Резонансные явления в цепях синусоидального тока.
9. Векторные и топографические диаграммы. Преобразование линейных
электрических цепей.
10. Анализ цепей с индуктивно связанными элементами.
11. Особенности составления матричных уравнений при наличии индуктивных
связей и ветвей с идеальными источниками.
12. Методы расчета, основанные на свойствах линейных цепей.
13. Метод эквивалентного генератора. Теорема вариаций.
14. Пассивные четырехполюсники.
15. Электрические фильтры.
16. Трехфазные электрические цепи: основные понятия и схемы соединения.
17. Расчет трехфазных цепей.
18. Применение векторных диаграмм для анализа несимметричных режимов.
Мощность в трехфазных цепях.
19. Метод симметричных составляющих.
20. Теорема об активном двухполюснике для симметричныхсоставляющих.
21. Вращающееся магнитное поле. Принцип действия асинхронного и
синхронного двигателей.
22. Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах.
23. Резонансные явления в цепях несинусоидального тока. Высшие гармоники в
трехфазных цепях.
24. Переходные процессы в линейных электрических цепях. Классический метод
расчета переходных процессов.
25. Методика и примеры расчета переходных процессов классическим методом.
26. Определение постоянной времени. Переходные процессы в R-L-C-цепи.
27. Операторный метод расчета переходных процессов.
28. Последовательность расчета переходных процессов операторным методом.
Формулы включения. Переходные проводимость и функция по напряжению.
29. Интеграл Дюамеля. Метод переменных состояния.
30. Нелинейные цепи постоянного тока. Графические методы расчета.
31. Расчет нелинейных цепей методом эквивалентного генератора.
Аналитические и итерационные методы расчета цепей постоянного тока.
32. Нелинейные магнитные цепи при постоянных потоках.
33. Общая характеристика задач и методов расчета магнитных цепей.
34. Особенности нелинейных цепей переменного тока. Графический метод
расчета с использованием характеристик для мгновенных значений.
35. Графические методы расчета с использованием характеристик по первым
гармоникам и действующим значениям. Феррорезонанс. Аналитические
методы расчета.
36. Метод кусочно-линейной аппроксимации. Метод гармонического баланса.
37. Понятие об эквивалентном эллипсе, заменяющем петлю гистерезиса. Потери
в стали. Катушка и трансформатор с ферромагнитными сердечниками.
38. Переходные процессы в нелинейных цепях. Аналитические методы расчета.
39. Понятие о графических методах анализа переходных процессов в
нелинейных цепях. Методы переменных состояния и дискретных моделей.
40. Цепи с распределенными параметрами в стационарных режимах: основные
понятия и определения.
41. Линия без искажений. Уравнения линии конечной длины. Определение
параметров длинной линии. Линия без потерь. Стоячие волны.
42. Входное сопротивление длинной линии. Переходные процессы в цепях с
распределенными параметрами.
43. Сведение расчета переходных процессов в цепях с распределенными
параметрами к нулевым начальным условиям. Правило удвоения волны.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
[pic]
Ивановский государственный энергетический университет
Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии
Доктор техн. наук, профессор А.Н. Голубев
Введение
Теоретические основы электротехники (ТОЭ) являются базовым общетехническим
курсом для электротехнических и электроэнергетических специальностей вузов.
Курс ТОЭ рассчитан на изучение в течение трех семестров и состоит из двух
основных частей: теории цепей (два семестра) и теории электромагнитного
поля (один семестр). Данный лекционный курс посвящен первой из указанных
частей ТОЭ -теории линейных и нелинейных электрических и магнитных цепей.
Содержание курса и последовательность изложения материала в нем в целом
соответствуют программе дисциплины ТОЭ для электротехнических и
электроэнергетических специальностей вузов.
Цель данного курса состоит в том, чтобы дать студентам достаточно полное
представление об электрических и магнитных цепях и их составных элементах,
их математических описаниях, основных методах анализа и расчета этих цепей
в статических и динамических режимах работы, т.е. в создании научной базы
для последующего изучения различных специальных электротехнических
дисциплин.
Задачи курса заключаются в освоении теории физических явлений, положенных в
основу создания и функционирования различных электротехнических устройств,
а также в привитии практических навыков использования методов анализа и
расчета электрических и магнитных цепей для решения широкого круга задач.
В результате изучения курса студент должен знать основные методы анализа и
расчета установившихся процессов в линейных и нелинейных цепях с
сосредоточенными параметрами, в линейных цепях несинусоидального тока, в
линейных цепях с распределенными параметрами, основные методы анализа и
расчета переходных процессов в указанных цепях и уметь применять их на
практике.
Знания и навыки, полученные при изучении данного курса, являются базой для
освоения таких дисциплин, как: математические основы теории автоматического
управления, теория автоматического управления, электропривод, промышленная
электроника, электроснабжение промышленных предприятий, переходные процессы
в электрических системах, электрические измерения и т. д.
При изучении дисциплины предполагается, что студент имеет соответствующую
математическую подготовку в области дифференциального и интегрального
исчислений, линейной и нелинейной алгебры, комплексных чисел и
тригонометрических функций, а также знаком с основными понятиями и законами
электричества и магнетизма, рассматриваемыми в курсе физики.
Курс рассчитан на 86 лекционных часов и включает в себя следующие основные
разделы:
-теория линейных цепей синусоидального и, как частный случай, постоянного
тока;
-основы теории пассивных четырехполюсников и фильтров;
-трехфазные электрические цепи;
-линейные цепи при периодических несинусоидальных токах;
-переходные процессы в линейных электрических цепях;
-нелинейные электрические и магнитные цепи при постоянных и переменных
токах и магнитных потоках в стационарных режимах;
-переходные процессы в нелинейных цепях;
-установившиеся и переходные процессы в цепях с распределенными
параметрами.
При подготовке лекционного курса были использованы известные учебники,
сборники и пособия [1…12], а также методические разработки кафедры ТОЭЭ
ИГЭУ.
Рекомендуемая учебно-методическая литература по дисциплине:
1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи.
Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и
приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп.
–М.: Высш. шк., 1978. –528с.
2. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин,
А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат,
1989. -528с.
3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под
общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические
цепи с сосредоточенными постоянными. М.:Энергия, 1972. –240с.
4. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под
общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б.
Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.:
Энергия- 1972. –200с.
5. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи: Учеб.
для электротехн. и радиотехн. спец. вузов. –3-е изд., перераб. и доп.
–М.: Высш. шк., 1990. –400 с.
6. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Нелинейные цепи:
Учеб. для электротехн. спец. вузов. –2-е изд., перераб. и доп. –М.:
Высш. шк., 1986. –352 с.
7. Каплянский А.Е. и др. Теоретические основы электротехники. Изд. 2-е.
Учеб. пособие для электротехнических и энергетических специальностей
вузов. –М.: Высш. шк., 1972. -448 с.
8. Теоретические основы электротехники. Т. 1. Основы теории линейных
цепей. Под ред. П.А. Ионкина. Учебник для электротехн. вузов. Изд. 2-
е, перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1976. –544 с.
9. Теоретические основы электротехники. Т. 2. Нелинейные цепи и основы
теории электромагнитного поля. Под ред. П.А. Ионкина. Учебник для
электротехн. вузов. Изд. 2-е, перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1976.
–383 с.
10. Сборник задач и упражнений по теоретическим основам электротехники:
Учеб. пособие для вузов/ Под. ред. проф. П.А.Ионкина. –М.:
Энергоиздат, 1982. –768 с.
11. Сборник задач и упражнений по теоретическим основам электротехники:
Учеб. пособие для вузов/ Под. ред. проф. П.А.Ионкина. –М.:
Энергоиздат, 1982. –768 с.
12. Сборник задач и упражнений по теоретическим основам электротехники:
Учеб. пособие/ Бессонов Л.А., Демидова И.Г., Заруди М.Е. и др.; Под
ред. Бессонова Л.А. . –2-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1980.
–472 с.
13. Основы анализа и расчета линейных электрических цепей: Учеб. пособие/
Н.А.Кромова. –2-е изд., перераб. и доп.; Иван. гос. энерг. ун-т.
–Иваново, 1999. -360 с.
14. Голубев А.Н. Методы расчета нелинейных цепей: Учеб. пособие/ Иван.
гос. энерг. ун-т. –Иваново, 2002. -212 с.
|Теория / ТОЭ / Лекция N 1. Элементы электрических цепей. |
|Электромагнитные процессы, протекающие в электротехнических устройствах, как правило,|
|достаточно сложны. Однако во многих случаях, их основные характеристики можно описать|
|с помощью таких интегральных понятий, как: напряжение, ток, электродвижущая сила |
|(ЭДС). При таком подходе совокупность электротехнических устройств, состоящую из |
|соответствующим образом соединенных источников и приемников электрической энергии, |
|предназначенных для генерации, передачи, распределения и преобразования электрической|
|энергии и (или) информации, рассматривают как электрическую цепь. Электрическая цепь |
|состоит из отдельных частей (объектов), выполняющих определенные функции и называемых|
|элементами цепи. Основными элементами цепи являются источники и приемники |
|электрической энергии (сигналов). Электротехнические устройства, производящие |
|электрическую энергию, называются генераторами или источниками электрической энергии,|
|а устройства, потребляющие ее – приемниками (потребителями) электрической энергии. |
|У каждого элемента цепи можно выделить определенное число зажимов (полюсов), с |
|помощью которых он соединяется с другими элементами. Различают двух –и многополюсные |
|элементы. Двухполюсники имеют два зажима. К ним относятся источники энергии (за |
|исключением управляемых и многофазных), резисторы, катушки индуктивности, |
|конденсаторы. Многополюсные элементы – это, например, триоды, трансформаторы, |
|усилители и т.д. |
|Все элементы электрической цепи условно можно разделить на активные и пассивные. |
|Активным называется элемент, содержащий в своей структуре источник электрической |
|энергии. К пассивным относятся элементы, в которых рассеивается (резисторы) или |
|накапливается (катушка индуктивности и конденсаторы) энергия. К основным |
|характеристикам элементов цепи относятся их вольт-амперные, вебер-амперные и |
|кулон-вольтные характеристики, описываемые дифференциальными или (и) алгебраическими |
|уравнениями. Если элементы описываются линейными дифференциальными или |
|алгебраическими уравнениями, то они называются линейными, в противном случае они |
|относятся к классу нелинейных. Строго говоря, все элементы являются нелинейными. |
|Возможность рассмотрения их как линейных, что существенно упрощает математическое |
|описание и анализ процессов, определяется границами изменения характеризующих их |
|переменных и их частот. Коэффициенты, связывающие переменные, их производные и |
|интегралы в этих уравнениях, называются параметрами элемента. |
|Если параметры элемента не являются функциями пространственных координат, |
|определяющих его геометрические размеры, то он называется элементом с |
|сосредоточенными параметрами. Если элемент описывается уравнениями, в которые входят |
|пространственные переменные, то он относится к классу элементов с распределенными |
|параметрами. Классическим примером последних является линия передачи электроэнергии |
|(длинная линия). |
|Цепи, содержащие только линейные элементы, называются линейными. Наличие в схеме хотя|
|бы одного нелинейного элемента относит ее к классу нелинейных. |
|Рассмотрим пассивные элементы цепи, их основные характеристики и параметры. |
|1. Резистивный элемент (резистор) |
|Условное графическое изображение резистора приведено на рис. 1,а. Резистор – это |
|пассивный элемент, характеризующийся резистивным сопротивлением. Последнее |
|определяется геометрическими размерами тела и свойствами материала: удельным |
|сопротивлением ? (ОмЧ м) или обратной величиной – удельной проводимостью [pic](См/м).|
| |
|В простейшем случае проводника длиной [pic]и сечением S его сопротивление |
|определяется выражением |
|[pic]. |
|В общем случае определение сопротивления связано с расчетом поля в проводящей среде, |
|разделяющей два электрода. |
|Основной характеристикой резистивного элемента является зависимость [pic](или [pic]),|
|называемая вольт-амперной характеристикой (ВАХ). Если зависимость [pic]представляет |
|собой прямую линию, проходящую через начало координат (см.рис. 1,б), то резистор |
|называется линейным и описывается соотношением |
|[pic] |
|или |
|[pic], |
|где [pic]- проводимость. При этом R=const. |
|Нелинейный резистивный элемент, ВАХ которого нелинейна (рис. 1,б), как будет показано|
|в блоке лекций, посвященных нелинейным цепям, характеризуется несколькими |
|параметрами. В частности безынерционному резистору ставятся в соответствие |
|статическое [pic]и дифференциальное [pic]сопротивления. |
|2. Индуктивный элемент (катушка индуктивности) |
|Условное графическое изображение катушки индуктивности приведено на рис. 2,а. Катушка|
|– это пассивный элемент, характеризующийся индуктивностью. Для расчета индуктивности |
|катушки необходимо рассчитать созданное ею магнитное поле. |
|[pic] |
|Индуктивность определяется отношением потокосцепления к току, протекающему по виткам |
|катушки, |
|[pic]. |
|В свою очередь потокосцепление равно сумме произведений потока, пронизывающего витки,|
|на число этих витков [pic], где [pic]. |
|Основной характеристикой катушки индуктивности является зависимость [pic], называемая|
|вебер-амперной характеристикой. Для линейных катушек индуктивности зависимость |
|[pic]представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат (см. рис. |
|2,б); при этом |
|[pic]. |
|Нелинейные свойства катушки индуктивности (см. кривую [pic]на рис. 2,б) определяет |
|наличие у нее сердечника из ферромагнитного материала, для которого зависимость |
|[pic]магнитной индукции от напряженности поля нелинейна. Без учета явления магнитного|
|гистерезиса нелинейная катушка характеризуется статической [pic]и дифференциальной |
|[pic]индуктивностями. |
|3. Емкостный элемент (конденсатор) |
|Условное графическое изображение конденсатора приведено на рис. 3,а. |
|[pic] |
|Конденсатор – это пассивный элемент, характеризующийся емкостью. Для расчета |
|последней необходимо рассчитать электрическое поле в конденсаторе. Емкость |
|определяется отношением заряда q на обкладках конденсатора к напряжению u между ними |
|[pic] |
|и зависит от геометрии обкладок и свойств диэлектрика, находящегося между ними. |
|Большинство диэлектриков, используемых на практике, линейны, т.е. у них относительная|
|диэлектрическая проницаемость[pic] =const. В этом случае зависимость |
|[pic]представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат, (см. рис. |
|3,б) и |
|[pic]. |
|У нелинейных диэлектриков (сегнетоэлектриков) диэлектрическая проницаемость является |
|функцией напряженности поля, что обусловливает нелинейность зависимости [pic](рис. |
|3,б). В этом случае без учета явления электрического гистерезиса нелинейный |
|конденсатор характеризуется статической [pic]и дифференциальной [pic]емкостями. |
| |
|Схемы замещения источников электрической энергии |
|Свойства источника электрической энергии описываются ВАХ [pic], называемой внешней |
|характеристикой источника. Далее в этом разделе для упрощения анализа и |
|математического описания будут рассматриваться источники постоянного напряжения |
|(тока). Однако все полученные при этом закономерности, понятия и эквивалентные схемы |
|в полной мере распространяются на источники переменного тока. ВАХ источника может |
|быть определена экспериментально на основе схемы, представленной на рис. 4,а. Здесь |
|вольтметр V измеряет напряжение на зажимах 1-2 источника И, а амперметр А – |
|потребляемый от него ток I, величина которого может изменяться с помощью переменного |
|нагрузочного резистора (реостата) RН. |
|[pic] |
|В общем случае ВАХ источника является нелинейной (кривая 1 на рис. 4,б). Она имеет |
|две характерные точки, которые соответствуют: |
|а – режиму холостого хода [pic]; |
|б – режиму короткого замыкания [pic]. |
|Для большинства источников режим короткого замыкания (иногда холостого хода) является|
|недопустимым. Токи и напряжения источника обычно могут изменяться в определенных |
|пределах, ограниченных сверху значениями, соответствующими номинальному режиму |
|(режиму, при котором изготовитель гарантирует наилучшие условия его эксплуатации в |
|отношении экономичности и долговечности срока службы). Это позволяет в ряде случаев |
|для упрощения расчетов аппроксимировать нелинейную ВАХ на рабочем участке m-n (см. |
|рис. 4,б) прямой, положение которой определяется рабочими интервалами изменения |
|напряжения и тока. Следует отметить, что многие источники (гальванические элементы, |
|аккумуляторы) имеют линейные ВАХ. |
|Прямая 2 на рис. 4,б описывается линейным уравнением |
|[pic], |
|(1) |
| |
|где [pic]- напряжение на зажимах источника при отключенной нагрузке (разомкнутом |
|ключе К в схеме на рис. 4,а); [pic]- внутреннее сопротивление источника. |
|Уравнение (1) позволяет составить последовательную схему замещения источника (см. |
|рис. 5,а). На этой схеме символом Е обозначен элемент, называемый идеальным |
|источником ЭДС. Напряжение на зажимах этого элемента [pic]не зависит от тока |
|источника, следовательно, ему соответствует ВАХ на рис. 5,б. На основании (1) у |
|такого источника [pic]. Отметим, что направления ЭДС и напряжения на зажимах |
|источника противоположны. |
|[pic] |
|Если ВАХ источника линейна, то для определения параметров его схемы замещения |
|необходимо провести замеры напряжения и тока для двух любых режимов его работы. |
|Существует также параллельная схема замещения источника. Для ее описания разделим |
|левую и правую части соотношения (1) на [pic]. В результате получим |
|[pic] |
|или |
|[pic], |
|(2) |
| |
|где [pic]; [pic]- внутренняя проводимость источника. |
|Уравнению (2) соответствует схема замещения источника на рис. 6,а. |
|[pic] |
|На этой схеме символом J обозначен элемент, называемый идеальным источником тока. Ток|
|в ветви с этим элементом равен [pic]и не зависит от напряжения на зажимах источника, |
|следовательно, ему соответствует ВАХ на рис. 6,б. На этом основании с учетом (2) у |
|такого источника [pic], т.е. его внутреннее сопротивление [pic]. |
|Отметим, что в расчетном плане при выполнении условия [pic]последовательная и |
|параллельная схемы замещения источника являются эквивалентными. Однако в |
|энергетическом отношении они различны, поскольку в режиме холостого хода для |
|последовательной схемы замещения мощность равна нулю, а для параллельной – нет. |
|Кроме отмеченных режимов функционирования источника, на практике важное значение |
|имеет согласованный режим работы, при котором нагрузкой RН от источника потребляется |
|максимальная мощность |
|[pic], |
|(3) |
| |
|Условие такого режима |
|[pic], |
|(4) |
| |
|В заключение отметим, что в соответствии с ВАХ на рис. 5,б и 6,б идеальные источники |
|ЭДС и тока являются источниками бесконечно большой мощности. |
|Литература |
|Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, |
|С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. |
|Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для |
|студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей |
|вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. |
|Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. |
|К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными |
|постоянными. –М.: Энергия, 1972. –240 с. |
|Каплянский А.Е. и др. Теоретические основы электротехники. Изд. 2-е. Учеб. пособие |
|для электротехнических и энергетических специальностей вузов. –М.: Высш. шк., 1972. |
|–448 с. |
|Контрольные вопросы и задачи |
|Может ли внешняя характеристик источника проходить через начало координат? |
|Какой режим (холостой ход или короткое замыкание) является аварийным для источника |
|тока? |
|В чем заключаются эквивалентность и различие последовательной и параллельной схем |
|замещения источника? |
|Определить индуктивность L и энергию магнитного поля WМкатушки, если при токе в ней |
|I=20А потокосцепление ? =2 Вб. |
|Ответ: L=0,1 Гн; WМ=40 Дж. |
|Определить емкость С и энергию электрического поля WЭконденсатора, если при |
|напряжении на его обкладках U=400 В заряд конденсатора q=0,2Ч 10-3 Кл. |
|Ответ: С=0,5 мкФ; WЭ=0,04 Дж. |
|У генератора постоянного тока при токе в нагрузке I1=50Анапряжение на зажимах U1=210 |
|В,а притоке, равном I2=100А, оно снижается до U2=190 В. |
|Определить параметры последовательной схемы замещения источника и ток короткого |
|замыкания. |
|Ответ: [pic] |
|Вывести соотношения (3) и (4) и определить максимальную мощность, отдаваемую |
|нагрузке, по условиям предыдущей задачи. |
|Ответ: [pic] |
|Теория / ТОЭ / Лекция N 2. Топология электрической цепи. |
|Электрическая цепь характеризуется совокупностью элементов, из которых она состоит, и|
|способом их соединения. Соединение элементов электрической цепи наглядно отображается|
|ее схемой. Рассмотрим для примера две электрические схемы (рис. 1, 2), введя понятие |
|ветви и узла. |
|[pic] |
|Рис.1 |
|Рис.2 |
| |
|Ветвью называется участок цепи, обтекаемый одним и тем же током. |
|Узел – место соединения трех и более ветвей. |
|Представленные схемы различны и по форме, и по назначению, но каждая из указанных |
|цепей содержит по 6 ветвей и 4 узла, одинаково соединенных. Таким образом, в смысле |
|геометрии (топологии) соединений ветвей данные схемы идентичны. |
|Топологические (геометрические) свойства электрической цепи не зависят от типа и |
|свойств элементов, из которых состоит ветвь. Поэтому целесообразно каждую ветвь схемы|
|электрической цепи изобразить отрезком линии. Если каждую ветвь схем на рис. 1 и 2 |
|заменить отрезком линии, получается геометрическая фигура, показанная на рис. 3. |
|Условное изображение схемы, в котором каждая ветвь заменяется отрезком линии, |
|называется графом электрической цепи. При этом следует помнить, что ветви могут |
|состоять из каких-либо элементов, в свою очередь соединенных различным образом. |
|Отрезок линии, соответствующий ветви схемы, называется ветвью графа. Граничные точки |
|ветви графа называют узлами графа. Ветвям графа может быть дана определенная |
|ориентация, указанная стрелкой. Граф, у которого все ветви ориентированы, называется |
|ориентированным. |
|Подграфом графа называется часть графа, т.е. это может быть одна ветвь или один |
|изолированный узел графа, а также любое множество ветвей и узлов, содержащихся в |
|графе. |
|В теории электрических цепей важное значение имеют следующие подграфы: |
|1. Путь – это упорядоченная последовательность ветвей, в которой каждые две соседние |
|ветви имеют общий узел, причем любая ветвь и любой узел встречаются на этом пути |
|только один раз. Например, в схеме на рис. 3 ветви 2-6-5; 4-5; 3-6-4; 1 образуют пути|
|между одной и той же парой узлов 1 и 3. Таким образом, путь – это совокупность |
|ветвей, проходимых непрерывно. |
|2. Контур – замкнутый путь, в котором один из узлов является начальным и конечным |
|узлом пути. Например, для графа по рис. 3 можно определить контуры, образованные |
|ветвями 2-4-6; 3-5-6; 2-3-5-4. Если между любой парой узлов графа существует связь, |
|то граф называют связным. |
|3. Дерево – это связный подграф, содержащий все узлы графа, но ни одного контура. |
|Примерами деревьев для графа на рис. 3 могут служить фигуры на рис. 4. |
|[pic] |
|Рис.4 |
|4. Ветви связи (дополнения дерева) – это ветви графа, дополняющие дерево до исходного|
|графа. |
|Если граф содержит m узлов и n ветвей, то число ветвей любого дерева [pic], а числа |
|ветвей связи графа [pic]. |
|5. Сечение графа – множество ветвей, удаление которых делит граф на два изолированных|
|подграфа, один из которых, в частности, может быть отдельным узлом. |
|Сечение можно наглядно изобразить в виде следа некоторой замкнутой поверхности, |
|рассекающей соответствующие ветви. Примерами таких поверхностей являются для нашего |
|графа на рис. 3 S1 иS2 . При этом получаем соответственно сечения, образованные |
|ветвями 6-4-5 и 6-2-1-5. |
|С понятием дерева связаны понятия главных контуров и сечений: |
|главный контур – контур, состоящий из ветвей дерева и только одной ветви связи; |
|главное сечение – сечение, состоящее из ветвей связи и только одной ветви дерева. |
|Топологические матрицы |
|Задать вычислительной машине топологию цепи рисунком затруднительно, так как не |
|существует эффективных программ распознавания образа. Поэтому топологию цепи вводят в|
|ЭВМ в виде матриц, которые называют топологическими матрицами. Выделяют три таких |
|матрицы: узловую матрицу, контурную матрицу и матрицу сечений. |
|1. Узловая матрица (матрица соединений) – это таблица коэффициентов уравнений, |
|составленных по первому закону Кирхгофа. Строки этой матрицы соответствуют узлам, а |
|столбцы – ветвям схемы. |
|Для графа на рис. 3 имеем число узлов m=4 и число ветвей n=6. Тогда запишем матрицу |
|АН , принимая, что элемент матрицы [pic](i –номер строки; j –номер столбца) равен 1, |
|если ветвь j соединена с узлом i и ориентирована от него, -1, если ориентирована к |
|нему, и 0, если ветвь j не соединена с узломi . Сориентировав ветви графа на рис. 3, |
|получим |
| |
| |
| [pic] |
| |
|[pic] |
|[pic] |
|[pic] |
| |
|.Данная матрица АН записана для всех четырех узлов и называется неопределенной. |
|Следует указать, что сумма элементов столбцов матрицы АН всегда равна нулю, так как |
|каждый столбец содержит один элемент +1 и один элемент -1, остальные нули. |
|Обычно при расчетах один (любой) заземляют. Тогда приходим к узловой матрице А |
|(редуцированной матрице), которая может быть получена из матрицы АН путем |
|вычеркивания любой ее строки. Например, при вычеркивании строки “4” получим |
| |
| |
| [pic] |
| |
|[pic] |
|[pic] |
|[pic] |
| |
|.Число строк матрицы А равно числу независимых уравнений для узлов [pic], т.е. числу |
|уравнений, записываемых для электрической схемы по первому закону Кирхгофа. Итак, |
|введя понятие узловой матрицы А, перейдем к первому закону Кирхгофа. |
|Первый закон Кирхгофа |
|Обычно первый закон Кирхгофа записывается для узлов схемы, но, строго говоря, он |
|справедлив не только для узлов, но и для любой замкнутой поверхности, т.е. |
|справедливо соотношение |
|[pic] |
|(1) |
| |
|где [pic]- вектор плотности тока; [pic]- нормаль к участку dS замкнутой поверхности |
|S. |
|Первый закон Кирхгофа справедлив и для любого сечения. В частности, для сечения S2 |
|графа на рис. 3, считая, что нумерация и направления токов в ветвях соответствуют |
|нумерации и выбранной ориентации ветвей графа, можно записать |
|[pic]. |
|Поскольку в частном случае ветви сечения сходятся в узле, то первый закон Кирхгофа |
|справедлив и для него. Пока будем применять первый закон Кирхгофа для узлов, что |
|математически можно записать, как: |
|[pic] |
|(2) |
| |
|т.е. алгебраическая сумма токов ветвей, соединенных в узел, равна нулю. |
|При этом при расчетах уравнения по первому закону Кирхгофа записываются для (m-1) |
|узлов, так как при записи уравнений для всех m узлов одно (любое) из них будет |
|линейно зависимым от других, т.е. не дает дополнительной информации. |
|Введем столбцовую матрицу токов ветвей |
|I= |
|[pic] |
| |
|Тогда первый закон Кирхгофа в матричной форме записи имеет вид: |
|АI=O |
|(3) |
| |
|– где O - нулевая матрица-столбец. Как видим, в качестве узловой взята матрица А, а |
|не АН, т.к. с учетом вышесказанного уравнения по первому закону Кирхгофа записываются|
|для (m-1) узлов. |
|В качестве примера запишем для схемы на рис. 3 |
|[pic] |
|[pic] |
| |
|Отсюда для первого узла получаем |
|[pic], |
|что и должно иметь место. |
|2. Контурная матрица (матрица контуров) – это таблица коэффициентов уравнений, |
|составленных по второму закону Кирхгофа. Строки контурной матрицы Всоответствуют |
|контурам, а столбцы – ветвям схемы. |
|Элемент bij матрицы В равен 1, если ветвь j входит в контур i и ее ориентация |
|совпадает с направлением обхода контура, -1, если не совпадает с направлением обхода |
|контура, и 0, если ветвьj не входит в контурi. |
|Матрицу В, записанную для главных контуров, называют матрицей главных контуров. При |
|этом за направление обхода контура принимают направление ветви связи этого контура. |
|Выделив в нашем примере (см. рис. 5) дерево, образуемое ветвями 2-1-4, запишем |
|коэффициенты для матрицы В. |
| |
| |
|[pic] |
| |
|[pic] |
|[pic] |
|[pic] |
| |
| |
|. |
|Перейдем теперь ко второму закону Кирхгофа. |
|Под напряжением на некотором участке электрической цепи понимается разность |
|потенциалов между крайними точками этого участка, т.е. |
|[pic] |
|(4) |
| |
|Просуммируем напряжения на ветвях некоторого контура: |
|[pic] |
|Поскольку при обходе контура потенциал каждой i-ой точки встречается два раза, причем|
|один раз с “+”, а второй – с “-”, то в целом сумма равна нулю. |
|Таким образом, второй закон Кирхгофа математически записывается, как: |
|[pic] |
|(5) |
| |
|- и имеет место следующую формулировку: алгебраическая сумма напряжений на зажимах |
|ветвей (элементов) контура равна нулю. При этом при расчете цепей с использованием |
|законов Кирхгофа записывается [pic]независимых уравнений по второму закону Кирхгофа, |
|т.е. уравнений, записываемых для контуров, каждый из которых отличается от других |
|хотя бы одной ветвью. Значение топологического понятия “дерева”: дерево позволяет |
|образовать независимые контуры и сечения и, следовательно, формировать независимые |
|уравнения по законам Кирхгофа. Таким образом, с учетом (m-1) уравнений, составленных |
|по первому закону Кирхгофа, получаем систему из [pic]уравнений, что равно числу |
|ветвей схемы и, следовательно, токи в них находятся однозначно. |
|Введем столбцовую матрицу напряжений ветвей |
|U= |
|[pic] |
| |
|Тогда второй закон Кирхгофа в матричной форме записи имеет вид |
|BU = 0. |
|(6) |
| |
|В качестве примера для схемы рис. 5 имеем |
|[pic], |
|откуда, например, для первого контура получаем |
|[pic], |
|что и должно иметь место. |
|Если ввести столбцовую матрицу узловых потенциалов |
|= |
|[pic] |
| |
|причем потенциал последнего узла [pic], то матрица напряжений ветвей и узловых |
|потенциалов связаны соотношением |
|U=AТ[pic] |
|(7) |
| |
|где AТ - транспонированная узловая матрица. |
|Для определения матрицы В по известной матрице А=АДАС , где АД – подматрица, |
|соответствующая ветвям некоторого дерева, АС- подматрица, соответствующая ветвям |
|связи, может быть использовано соотношение В= (-АТС А-1ТД1). |
|3. Матрица сечений – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому |
|закону Кирхгофа для сечений. Ее строки соответствуют сечениям, а столбцы – ветвям |
|графа. |
|Матрица Q , составленная для главных сечений, называется матрицей главных сечений. |
|Число строк матрицы Q равно числу независимых сечений. |
|Элемент qij матрицы Q равен 1, если ветвьвходит в i-е сечение и ориентирована |
|согласно направлению сечения (за положительное направление сечения принимают |
|направление ветви дерева, входящей в него), -1, если ориентирована противоположно |
|направлению сечения, и 0, если ветвьj не входит в i-е сечение. |
|В качестве примера составим матрицу Q главных сечений для графа на рис. 5. При |
|указанной на рис. 5 ориентации ветвей имеем |
| |
| |
|[pic] |
| |
|[pic] |
|[pic] |
|[pic] |
| |
|В заключение отметим, что для топологических матриц А, В и Q, составленных для одного|
|и того же графа, выполняются соотношения |
|АВТ= 0; |
|(8) |
| |
| |
|QВТ= 0, |
|(9) |
| |
|которые, в частности, можно использовать для проверки правильности составления этих |
|матриц. Здесь 0 – нулевая матрица порядка [pic]. |
|Приведенные уравнения позволяют сделать важное заключение: зная одну из |
|топологических матриц, по ее структуре можно восстановить остальные. |
|Литература |
|1. Теоретические основы электротехники. Т.1. Основы теории линейных цепей./Под ред. |
|П.А.Ионкина. Учебник для электротехн. вузов. Изд.2-е , перераб. и доп. –М.: Высш. |
|шк., 1976.-544с. |
|2. Матханов Х.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи.: Учеб. для |
|электротехн. и радиотехн. спец. 3-е изд. переработ. и доп. –М.: Высш. шк., 1990. |
|–400с. |
|3. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, |
|С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. |
| |
|Контрольные вопросы и задачи |
|Сформулируйте основные топологические понятия для электрических цепей. |
|Что такое узловая матрица? |
|Что такое контурная матрица? |
|Что такое матрица сечений? |
|Токи ветвей некоторой планарной цепи удовлетворяют следующей полной системе |
|независимых уравнений: |
|[pic]. |
|Восстановив граф цепи, составить матрицы главных контуров и сечений, приняв, что |
|ветвям дерева присвоены первые номера. |
|Ответ: |
|B= |
|[pic] |
|Q= |
|[pic] |
| |
|Составить матрицу главных контуров для графа на рис. 3, приняв, что дерево образовано|
|ветвями 2, 1 и 5 |
|Ответ: |
|B= |
|[pic] |
| |
|Решить задачу 5, используя соотношения (8) и (9). |
| Теория / ТОЭ / Лекция N 3. Представление синусоидальных величин с помощью |
|векторов и комплексных чисел. |
|Переменный ток долгое время не находил практического применения. Это было связано с |
|тем, что первые генераторы электрической энергии вырабатывали постоянный ток, который|
|вполне удовлетворял технологическим процессам электрохимии, а двигатели постоянного |
|тока обладают хорошими регулировочными характеристиками. Однако по мере развития |
|производства постоянный ток все менее стал удовлетворять возрастающим требованиям |
|экономичного электроснабжения. Переменный ток дал возможность эффективного дробления |
|электрической энергии и изменения величины напряжения с помощью трансформаторов. |
|Появилась возможность производства электроэнергии на крупных электростанциях с |
|последующим экономичным ее распределением потребителям, увеличился радиус |
|электроснабжения. |
|В настоящее время центральное производство и распределение электрической энергии |
|осуществляется в основном на переменном токе. Цепи с изменяющимися – переменными – |
|токами по сравнению с цепями постоянного тока имеют ряд особенностей. Переменные токи|
|и напряжения вызывают переменные электрические и магнитные поля. В результате |
|изменения этих полей в цепях возникают явления самоиндукции и взаимной индукции, |
|которые оказывают самое существенное влияние на процессы, протекающие в цепях, |
|усложняя их анализ. |
|Переменным током (напряжением, ЭДС и т.д.) называется ток (напряжение, ЭДС и т.д.), |
|изменяющийся во времени. Токи, значения которых повторяются через равные промежутки |
|времени в одной и той же последовательности, называются периодическими, а наименьший |
|промежуток времени, через который эти повторения наблюдаются, - периодом Т. Для |
|периодического тока имеем |
|[pic], |
| (1) |
| |
|Величина, обратная периоду, есть частота, измеряемая в герцах (Гц): |
|[pic], |
|(2) |
| |
|Диапазон частот, применяемых в технике: от сверхнизких частот (0.01ё10 Гц – в |
|системах автоматического регулирования, в аналоговой вычислительной технике) – до |
|сверхвысоких (3000 ё 300000 МГц – миллиметровые волны: радиолокация, |
|радиоастрономия). В РФ промышленная частота f = 50Гц. |
|Мгновенное значение переменной величины есть функция времени. Ее принято обозначать |
|строчной буквой: |
|i - мгновенное значение тока [pic]; |
|u – мгновенное значение напряжения [pic]; |
|е - мгновенное значение ЭДС [pic]; |
|р- мгновенное значение мощности [pic]. |
|Наибольшее мгновенное значение переменной величины за период называется амплитудой |
|(ее принято обозначать заглавной буквой с индексом m). |
|[pic] - амплитуда тока; |
|[pic] - амплитуда напряжения; |
|[pic] - амплитуда ЭДС. |
|Действующее значение переменного тока |
|Значение периодического тока, равное такому значению постоянного тока, который за |
|время одного периода произведет тот же самый тепловой или электродинамический эффект,|
|что и периодический ток, называют действующим значением периодического тока: |
|[pic], |
|(3) |
| |
|Аналогично определяются действующие значения ЭДС и напряжения. |
| |
|Синусоидально изменяющийся ток |
|Из всех возможных форм периодических токов наибольшее распространение получил |
|синусоидальный ток. По сравнению с другими видами тока синусоидальный ток имеет то |
|преимущество, что позволяет в общем случае наиболее экономично осуществлять |
|производство, передачу, распределение и использование электрической энергии. Только |
|при использовании синусоидального тока удается сохранить неизменными формы кривых |
|напряжений и токов на всех участках сложной линейной цепи. Теория синусоидального |
|тока является ключом к пониманию теории других цепей. |
|Изображение синусоидальных ЭДС, напряжений |
|и токов на плоскости декартовых координат |
|Синусоидальные токи и напряжения можно изобразить графически, записать при помощи |
|уравнений с тригонометрическими функциями, представить в виде векторов на декартовой |
|плоскости или комплексными числами. |
|Приведенным на рис. 1, 2 графикам двух синусоидальных ЭДС е1 и е2 соответствуют |
|уравнения: |
|[pic][pic]. |
|[pic] |
|Значения аргументов синусоидальных функций [pic] и [pic] называются фазами синусоид, |
|а значение фазы в начальный момент времени (t=0): [pic] и [pic] - начальной фазой ( |
|[pic][pic]). |
|Величину [pic], характеризующую скорость изменения фазового угла, называют угловой |
|частотой. Так как фазовый угол синусоиды за время одного периода Т изменяется на |
|[pic] рад., то угловая частота есть [pic], где f– частота. |
|При совместном рассмотрении двух синусоидальных величин одной частоты разность их |
|фазовых углов, равную разности начальных фаз, называют углом сдвига фаз. |
|Для синусоидальных ЭДС е1 и е2 угол сдвига фаз: |
|[pic]. |
| |
|Векторное изображение синусоидально |
|изменяющихся величин |
|На декартовой плоскости из начала координат проводят векторы, равные по модулю |
|амплитудным значениям синусоидальных величин, и вращают эти векторы против часовой |
|стрелки (в ТОЭ данное направление принято за положительное) с угловой частотой, |
|равной w. Фазовый угол при вращении отсчитывается от положительной полуоси абсцисс. |
|Проекции вращающихся векторов на ось ординат равны мгновенным значениям ЭДС е1 и е2 |
|(рис. 3). Совокупность векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, |
|напряжения и токи, называют векторными диаграммами. При построении векторных диаграмм|
|векторы удобно располагать для начального момента времени (t=0), что вытекает из |
|равенства угловых частот синусоидальных величин и эквивалентно тому, что система |
|декартовых координат сама вращается против часовой стрелки со скоростью w. Таким |
|образом, в этой системе координат векторы неподвижны (рис. 4). Векторные диаграммы |
|нашли широкое применение при анализе цепей синусоидального тока. Их применение делает|
|расчет цепи более наглядным и простым. Это упрощение заключается в том, что сложение |
|и вычитание мгновенных значений величин можно заменить сложением и вычитанием |
|соответствующих векторов. |
| |
|[pic] |
| |
|Пусть, например, в точке разветвления цепи (рис. 5) общий ток [pic] равен сумме токов|
|[pic] и [pic] двух ветвей: |
|[pic]. |
|Каждый из этих токов синусоидален и может быть представлен уравнением |
|[pic]и[pic] . |
|Результирующий ток также будет синусоидален: |
|[pic]. |
|Определение амплитуды[pic] и начальной фазы [pic] этого тока путем соответствующих |
|тригонометрических преобразований получается довольно громоздким и мало наглядным, |
|особенно, если суммируется большое число синусоидальных величин. Значительно проще |
|это осуществляется с помощью векторной диаграммы. На рис. 6 изображены начальные |
|положения векторов токов, проекции которых на ось ординат дают мгновенные значения |
|токов для t=0. При вращении этих векторов с одинаковой угловой скоростью w их |
|взаимное расположение не меняется, и угол сдвига фаз между ними остается равным |
|[pic]. |
|Так как алгебраическая сумма проекций векторов на ось ординат равна мгновенному |
|значению общего тока, вектор общего тока равен геометрической сумме векторов токов: |
|[pic]. |
|Построение векторной диаграммы в масштабе позволяет определить значения [pic] и |
|[pic] из диаграммы, после чего может быть записано решение для мгновенного значения |
|[pic] путем формального учета угловой частоты: [pic]. |
| |
|Представление синусоидальных ЭДС, напряжений |
|и токов комплексными числами |
|Геометрические операции с векторами можно заменить алгебраическими операциями с |
|комплексными числами, что существенно повышает точность получаемых результатов. |
|Каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное |
|число, которое может быть записано в : |
|показательной [pic] |
|тригонометрической [pic] или |
|алгебраической [pic] - формах. |
|Например, ЭДС [pic], изображенной на рис. 7 вращающимся вектором, соответствует |
|комплексное число |
|[pic]. |
|Фазовый угол [pic] определяется по проекциям вектора на оси “+1” и “+j” системы |
|координат, как |
|[pic] . |
|В соответствии с тригонометрической формой записи мнимая составляющая комплексного |
|числа определяет мгновенное значение синусоидально изменяющейся ЭДС: |
|[pic], |
|(4) |
| |
| |
|Комплексное число [pic] удобно представить в виде произведения двух комплексных |
|чисел: |
|[pic], |
|(5) |
| |
| |
|Параметр [pic], соответствующий положению вектора для t=0 (или на вращающейся со |
|скоростью w комплексной плоскости), называют комплексной амплитудой: [pic], а |
|параметр [pic] - комплексом мгновенного значения. |
|Параметр [pic]является оператором поворота вектора на угол wt относительно начального|
|положения вектора. |
|Вообще говоря, умножение вектора на оператор поворота [pic] есть его поворот |
|относительно первоначального положения на угол ±a. |
|Следовательно, мгновенное значение синусоидальной величины равно мнимой части без |
|знака “j” произведения комплекса амплитуды [pic] и оператора поворота [pic]: |
|[pic]. |
|Переход от одной формы записи синусоидальной величины к другой осуществляется с |
|помощью формулы Эйлера: |
|[pic], |
|(6) |
| |
|Если, например, комплексная амплитуда напряжения задана в виде комплексного числа в |
|алгебраической форме: |
|[pic], |
|- то для записи ее в показательной форме, необходимо найти начальную фазу [pic], т.е.|
|угол, который образует вектор [pic] с положительной полуосью +1: |
|[pic]. |
|Тогда мгновенное значение напряжения: |
|[pic], |
|где [pic]. |
|При записи выражения для определенности было принято, что [pic], т.е. что |
|изображающий вектор находится в первом или четвертом квадрантах. Если [pic], то при |
|[pic] (второй квадрант) |
|[pic], |
|(7) |
| |
|а при [pic] (третий квадрант) |
|[pic] |
|(8) |
| |
|или |
|[pic] |
|(9) |
| |
|Если задано мгновенное значение тока в виде [pic], то комплексную амплитуду |
|записывают сначала в показательной форме, а затем (при необходимости) по формуле |
|Эйлера переходят к алгебраической форме: |
|[pic]. |
|Следует указать, что при сложении и вычитании комплексов следует пользоваться |
|алгебраической формой их записи, а при умножении и делении удобна показательная |
|форма. |
|Итак, применение комплексных чисел позволяет перейти от геометрических операций над |
|векторами к алгебраическим над комплексами. Так при определении комплексной амплитуды|
|результирующего тока [pic] по рис. 5 получим: |
|[pic] |
|где [pic]; |
|[pic]. |
| |
|Действующее значение синусоидальных ЭДС, напряжений и токов |
|В соответствии с выражением (3) для действующего значения синусоидального тока |
|запишем: |
|[pic]. |
|Аналогичный результат можно получить для синусоидальных ЭДС и напряжений. Таким |
|образом, действующие значения синусоидальных тока, ЭДС и напряжения меньше своих |
|амплитудных значений в [pic] раз: |
|[pic]. |
|(10) |
| |
|Поскольку, как будет показано далее, энергетический расчет цепей переменного тока |
|обычно проводится с использованием действующих значений величин, по аналогии с |
|предыдущим введем понятие комплекса действующего значения |
|[pic]. |
| |
|Литература |
|1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, |
|А.В. Нетушил, С.В. Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. |
|2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические |
|цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных |
|специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. |
|Контрольные вопросы и задачи |
|1. Какой практический смысл имеет изображение синусоидальных величин с помощью |
|векторов? |
|2. Какой практический смысл имеет представление синусоидальных величин с |
|использованием комплексных чисел? |
|3. В чем заключаются преимущества изображения синусоидальных величин с помощью |
|комплексов по сравнению с их векторным представлением? |
|4. Для заданных синусоидальных функций ЭДС и тока [pic] записать соответствующие |
|им комплексы амплитуд и действующих значений, а также комплексы мгновенных значений. |
|5. На рис. 5 [pic], а [pic]. Определить [pic]. |
|Ответ: [pic] |
| Теория / ТОЭ / Лекция N 4. Элементы цепи синусоидального тока. Векторные |
|диаграммы и комплексные соотношения для них. |
|1. Резистор |
|Идеальный резистивный элемент не обладает ни индуктивностью, ни емкостью. Если к нему|
|приложить синусоидальное напряжение [pic] (см. рис. 1), то ток i через него будет |
|равен |
|[pic]. |
|(1) |
| |
|Соотношение (1) показывает, что ток имеет ту же начальную фазу, что и напряжение. |
|Таким образом, если на входе двухлучевого осциллографа подать сигналы u и i, то |
|соответствующие им синусоиды на его экране будут проходить (см. рис. 2) через нуль |
|одновременно, т.е. на резисторе напряжение и ток совпадают по фазе. |
|Из (1) вытекает: |
|[pic]; |
|[pic]. |
| |
| |
|[pic] |
|Переходя от синусоидальных функций напряжения и тока к соответствующим им комплексам:|
| |
|[pic]; |
|[pic], |
|- разделим первый из них на второй: |
|[pic] |
|или |
|[pic]. |
|(2) |
| |
|Полученный результат показывает, что отношение двух комплексов есть вещественная |
|константа. Следовательно, соответствующие им векторы напряжения и тока (см. рис. 3) |
|совпадают по направлению. |
| |
|2. Конденсатор |
|Идеальный емкостный элемент не обладает ни активным сопротивлением (проводимостью), |
|ни индуктивностью. Если к нему приложить синусоидальное напряжение [pic] (см. рис. |
|4), то ток i через него будет равен |
|[pic]. |
|(3) |
| |
| |
|Полученный результат показывает, что напряжение на конденсаторе отстает по фазе от |
|тока на [pic]/2. Таким образом, если на входы двухлучевого осциллографа подать |
|сигналы u и i, то на его экране будет иметь место картинка, соответствующая рис. 5.|
| |
|Из (3) вытекает: |
|[pic]; |
| |
|[pic]. |
| |
| |
|[pic] |
|Введенный параметр [pic] называют реактивным емкостным сопротивлением конденсатора. |
|Как и резистивное сопротивление, [pic] имеет размерность Ом. Однако в отличие от R |
|данный параметр является функцией частоты, что иллюстрирует рис. 6. Из рис. 6 |
|вытекает, что при [pic] конденсатор представляет разрыв для тока, а при [pic] [pic].|
| |
|Переходя от синусоидальных функций напряжения и тока к соответствующим им комплексам:|
| |
|[pic]; |
|[pic], |
|- разделим первый из них на второй: |
|[pic] |
|или |
|[pic]. |
|(4) |
| |
| |
|В последнем соотношении [pic] - комплексное сопротивление конденсатора. Умножение на |
|[pic] соответствует повороту вектора на угол [pic] по часовой стрелке. Следовательно,|
|уравнению (4) соответствует векторная диаграмма, представленная на рис. 7. |
| |
|3. Катушка индуктивности |
|Идеальный индуктивный элемент не обладает ни активным сопротивлением, ни емкостью. |
|Пусть протекающий через него ток (см. рис. 8) определяется выражением [pic]. Тогда |
|для напряжения на зажимах катушки индуктивности можно записать |
|[pic]. |
|(5) |
| |
|Полученный результат показывает, что напряжение на катушке индуктивности опережает по|
|фазе ток на [pic]/2. Таким образом, если на входы двухлучевого осциллографа подать |
|сигналы u и i, то на его экране (идеальный индуктивный элемент) будет иметь место |
|картинка, соответствующая рис. 9. |
|Из (5) вытекает: |
|[pic] |
| |
| |
| |
| |
|[pic] |
| |
| |
|[pic]. |
|Введенный параметр [pic] называют реактивным индуктивным сопротивлением катушки; его |
|размерность – Ом. Как и у емкостного элемента этот параметр является функцией |
|частоты. Однако в данном случае эта зависимость имеет линейный характер, что |
|иллюстрирует рис. 10. Из рис. 10 вытекает, что при [pic] катушка индуктивности не |
|оказывает сопротивления протекающему через него току, и при [pic] [pic]. |
|Переходя от синусоидальных функций напряжения и тока к соответствующим комплексам: |
|[pic]; |
|[pic], |
|разделим первый из них на второй: |
|[pic] |
|или |
|[pic]. |
|(6) |
| |
|В полученном соотношении [pic] - комплексное |
|сопротивление катушки индуктивности. Умножение на [pic] соответствует повороту |
|вектора на угол [pic] против часовой стрелки. Следовательно, уравнению (6) |
|соответствует векторная диаграмма, представленная на рис. 11 |
| |
|. 4. Последовательное соединение резистивного и индуктивного элементов |
| |
|Пусть в ветви на рис. 12 [pic]. Тогда |
|[pic]где |
|[pic], причем пределы изменения [pic]. |
|Уравнению (7) можно поставить в соответствие соотношение |
|[pic], |
|[pic] |
| |
| |
|которому, в свою очередь, соответствует векторная диаграмма на рис. 13. Векторы на |
|рис. 13 образуют фигуру, называемую треугольником напряжений. Аналогично выражение |
|[pic] |
|графически может быть представлено треугольником сопротивлений (см. рис. 14), который|
|подобен треугольнику напряжений. |
| |
|5. Последовательное соединение резистивного и емкостного элементов |
| |
|Опуская промежуточные выкладки, с использованием соотношений (2) и (4) для ветви на|
|рис. 15 можно записать |
|. [pic], |
|(8) |
| |
|где |
|[pic][pic], причем пределы изменения [pic]. |
| |
| |
| |
|[pic] |
| |
| |
|На основании уравнения (7) могут быть построены треугольники напряжений (см. рис. 16)|
|и сопротивлений (см. рис. 17), которые являются подобными. |
| |
| |
|6. Параллельное соединение резистивного и емкостного элементов |
| |
|Для цепи на рис. 18 имеют место соотношения: |
| [pic]; |
|[pic], где [pic] [См] – активная проводимость; |
| [pic], где [pic] [См] – реактивная проводимость конденсатора. |
| |
| |
| |
|[pic] |
| |
| |
| |
|Векторная диаграмма токов для данной цепи, называемая треугольником токов, приведена |
|на рис. 19. Ей соответствует уравнение в комплексной форме |
|[pic], |
|где [pic]; |
| [pic] - комплексная проводимость; |
| [pic]. |
|Треугольник проводимостей, подобный треугольнику токов, приведен на рис. 20. |
|Для комплексного сопротивления цепи на рис. 18 можно записать |
|[pic]. |
|Необходимо отметить, что полученный результат аналогичен известному из курса физики |
|выражению для эквивалентного сопротивления двух параллельно соединенных резисторов. |
|7. Параллельное соединение резистивного и индуктивного элементов |
| |
|Для цепи на рис. 21 можно записать |
|[pic]; |
| [pic], где [pic] [См] – активная проводимость; |
|[pic], где [pic] [См] – реактивная проводимость катушки индуктивности. |
|Векторной диаграмме токов (рис. 22) для данной цепи соответствует уравнение в |
|комплексной форме |
|[pic], |
|где [pic]; |
| [pic] - комплексная проводимость; |
| [pic]. |
|Треугольник проводимостей, подобный треугольнику токов, приведен на рис. 23. |
| |
| |
| |
|[pic] |
| |
| |
|Выражение комплексного сопротивления цепи на рис. 21 имеет вид: |
|[pic]. |
|Литература |
|1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, |
|С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. |
|2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. |
|для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей|
|вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. |
|Контрольные вопросы и задачи |
|1. В чем сущность реактивных сопротивлений? |
|2. Какой из элементов: резистор, катушку индуктивности или конденсатор – можно |
|использовать в качестве шунта для наблюдения за формой тока? |
|3. Почему катушки индуктивности и конденсаторы не используются в цепях |
|постоянного тока? |
|4. В ветви на рис. 12 [pic]. Определить комплексное сопротивление ветви, если |
|частота тока [pic]. |
|Ответ: [pic]. |
|5. В ветви на рис. 15 [pic]. Определить комплексное сопротивление ветви, если |
|частота тока [pic]. |
|Ответ: [pic]. |
|6. В цепи на рис. 18 [pic]. Определить комплексные проводимость и сопротивление |
|цепи для [pic]. |
|Ответ: [pic]; [pic]. |
|7. Протекающий через катушку индуктивности [pic] ток изменяется по закону |
|[pic] А. Определить комплекс действующего значения напряжения на катушке. |
|Ответ: [pic]. |
| Теория / ТОЭ / Лекция N 5. Закон Ома для участка цепи с источником ЭДС. |
| |
| |
| |
|[pic] |
| |
| |
|Возьмем два участка цепи a-b и c-d (см. рис. 1) и составим для них уравнения в |
|комплексной форме с учетом указанных на рис. 1 положительных направлений напряжений и|
|токов. |
| [pic] [pic] |
|Объединяя оба случая, получим |
|[pic] |
|(1) |
| |
|или для постоянного тока |
|[pic]. |
|(2) |
| |
| |
|Формулы (1) и (2) являются аналитическим выражением закона Ома для участка цепи с |
|источником ЭДС, согласно которому ток на участке цепи с источником ЭДС равен |
|алгебраической сумме напряжения на зажимах участка цепи и ЭДС, деленной на |
|сопротивление участка. В случае переменного тока все указанные величины суть |
|комплексы. При этом ЭДС и напряжение берут со знаком “+”, если их направление |
|совпадает с выбранным направлением тока, и со знаком “-”, если их направление |
|противоположно направлению тока. |
| |
|Основы символического метода расчета цепей |
|синусоидального тока |
| |
|Расчет цепей переменного синусоидального тока может производиться не только путем |
|построения векторных диаграмм, но и аналитически – путем операций с комплексами, |
|символически изображающими синусоидальные ЭДС, напряжения и токи. Достоинством |
|векторных диаграмм является их наглядность, недостатком – малая точность графических |
|построений. Применение символического метода позволяет производить расчеты цепей с |
|большой степенью точности. |
|Символический метод расчета цепей синусоидального тока основан на законах Кирхгофа и |
|законе Ома в комплексной форме. |
|Уравнения, выражающие законы Кирхгофа в комплексной форме, имеют совершенно такой же |
|вид, как и соответствующие уравнения для цепей постоянного тока. Только токи, ЭДС, |
|напряжения и сопротивления входят в уравнение в виде комплексных величин. |
|1. Первый закон Кирхгофа в комплексной форме: |
|[pic]. |
|(3) |
| |
| |
|2. Второй закон Кирхгофа в комплексной форме: |
|[pic] |
|(4) |
| |
| |
|или применительно к схемам замещения с источниками ЭДС |
|[pic]. |
|(5) |
| |
| |
|3. Соответственно матричная запись законов Кирхгофа в комплексной форме имеет |
|вид: |
|. первый закон Кирхгофа: |
|.[pic] ; |
|(6) |
| |
| |
|. второй закон Кирхгофа |
|[pic]. |
|(7) |
| |
| |
|Пример. |
|Дано: |
|[pic] |
|[pic][pic][pic] |
| |
| |
|[pic][pic][pic] |
| |
| |
|Определить: |
|1) полное комплексное сопротивление цепи [pic]; |
| |
| |
| |
| |
|2) токи [pic] |
| |
| |
|Рис. 2 |
| |
| |
|Решение: |
| |
|1. [pic]. |
|2. [pic]. |
|3. [pic] |
| [pic]. |
|4. Принимая начальную фазу напряжения за нуль, запишем: |
|[pic]. |
|Тогда |
|[pic]. |
|5. Поскольку ток распределяется обратно пропорционально сопротивлению ветвей (это|
|вытекает из закона Ома), то |
|[pic] |
|6. [pic]. |
|7. Аналогичный результат можно получить, составив для данной схемы уравнения по |
|законам Кирхгофа в комплексной форме |
|[pic] |
| |
|[pic] |
| |
|или после подстановки численных значений параметров схемы |
| |
|Специальные методы расчета |
| |
|Режим работы любой цепи полностью характеризуется уравнениями, составленными на |
|основании законов Кирхгофа. При этом необходимо составить и решить систему с n |
|неизвестными, что может оказаться весьма трудоемкой задачей при большом числе n |
|ветвей схемы. Однако, число уравнений, подлежащих решению, может быть сокращено, если|
|воспользоваться специальными методами расчета, к которым относятся методы контурных |
|токов и узловых потенциалов. |
| |
|Метод контурных токов |
|Идея метода контурных токов: уравнения составляются только по второму закону |
|Кирхгофа, но не для действительных, а для воображаемых токов, циркулирующих по |
|замкнутым контурам, т.е. в случае выбора главных контуров равных токам ветвей связи. |
|Число уравнений равно числу независимых контуров, т.е. числу ветвей связи графа |
|[pic]. Первый закон Кирхгофа выполняется автоматически. Контуры можно выбирать |
|произвольно, лишь бы их число было равно [pic] и чтобы каждый новый контур содержал |
|хотя бы одну ветвь, не входящую в предыдущие. Такие контуры называются независимыми. |
|Их выбор облегчает использование топологических понятий дерева и ветвей связи. |
|Направления истинных и контурных токов выбираются произвольно. Выбор положительных |
|направлений перед началом расчета может не определять действительные направления |
|токов в цепи. Если в результате расчета какой-либо из токов, как и при использовании |
|уравнений по законам Кирхгофа, получится со знаком “-”, это означает, что его |
|истинное направление противоположно. |
|Пусть имеем схему по рис. 3. |
|Выразим токи ветвей через контурные токи: |
| [pic]; |
| [pic]; [pic]; |
| [pic]; [pic]. |
|Обойдя контур aeda, по второму закону Кирхгофа имеем |
|[pic]. |
|Поскольку [pic], |
|то |
|[pic]. |
|Таким образом, получили уравнение для первого контура относительно контурных токов. |
|Аналогично можно составить уравнения для второго, третьего и четвертого контуров: |
|[pic] |
|совместно с первым решить их относительно контурных токов и затем по уравнениям, |
|связывающим контурные токи и токи ветвей, найти последние. |
|Однако данная система уравнений может быть составлена формальным путем: |
|[pic] |
|При составлении уравнений необходимо помнить следующее: |
|[pic] - сумма сопротивлений, входящих в i-й контур; |
|[pic] - сумма сопротивлений, общих для i-го и k-го контуров, причем [pic]; |
|члены на главной диагонали всегда пишутся со знаком “+”; |
|знак “+” перед остальными членами ставится в случае, если через общее сопротивление |
|[pic] i-й и k- й контурные токи проходят в одном направлении, в противном случае |
|ставится знак “-”; |
|если i-й и k- й контуры не имеют общих сопротивлений, то [pic]; |
|в правой части уравнений записывается алгебраическая сумма ЭДС, входящих в контур: со|
|знаком “+”, если направление ЭДС совпадает с выбранным направлением контурного тока, |
|и “-”, если не совпадает. |
|В нашем случае, для первого уравнения системы, имеем: |
|[pic] |
|Следует обратить внимание на то, что, поскольку [pic], коэффициенты контурных |
|уравнений всегда симметричны относительно главной диагонали. |
|Если в цепи содержатся помимо источников ЭДС источники тока, то они учитываются в |
|левых частях уравнений как известные контурные токи: k- й контурный ток, проходящий |
|через ветвь с k- м источником тока равен этому току [pic]. |
| |
|Метод узловых потенциалов |
|Данный метод вытекает из первого закона Кирхгофа. В качестве неизвестных принимаются |
|потенциалы узлов, по найденным значениям которых с помощью закона Ома для участка |
|цепи с источником ЭДС затем находят токи в ветвях. Поскольку потенциал – величина |
|относительная, потенциал одного из узлов (любого) принимается равным нулю. Таким |
|образом, число неизвестных потенциалов, а следовательно, и число уравнений равно |
|[pic], т.е. числу ветвей дерева [pic]. |
|Пусть имеем схему по рис. 4, в которой примем [pic]. |
|Допустим, что [pic] и [pic] известны. Тогда значения токов на основании закона Ома |
|для участка цепи с источником ЭДС |
|[pic] |
|Запишем уравнение по первому закону Кирхгофа для узла а: |
|[pic] |
|и подставим значения входящих в него токов, определенных выше: |
|[pic]. |
|Сгруппировав соответствующие члены, получим: |
|[pic]. |
|Аналогично можно записать для узла b: |
|[pic]. |
|Как и по методу контурных токов, система уравнений по методу узловых потенциалов |
|может быть составлена формальным путем. При этом необходимо руководствоваться |
|следующими правилами: |
|1. В левой части i-го уравнения записывается со знаком “+”потенциал [pic] i-го |
|узла, для которого составляется данное i-е уравнение, умноженный на сумму |
|проводимостей [pic] ветвей, присоединенных к данному i-му узлу, и со знаком |
|“-”потенциал [pic] соседних узлов, каждый из которых умножен на сумму проводимостей |
|[pic] ветвей, присоединенных к i-му и k-му узлам. |
|Из сказанного следует, что все члены [pic], стоящие на главной диагонали в левой |
|части системы уравнений, записываются со знаком “+”, а все остальные – со знаком “-”,|
|причем [pic]. Последнее равенство по аналогии с методом контурных токов обеспечивает |
|симметрию коэффициентов уравнений относительно главной диагонали. |
|2. В правой части i-го уравнения записывается так называемый узловой ток [pic], |
|равный сумме произведений ЭДС ветвей, подходящих к i-му узлу, и проводимостей этих |
|ветвей. При этом член суммы записывается со знаком “+”, если соответствующая ЭДС |
|направлена к i-му узлу, в противном случае ставится знак “-”. Если в подходящих к |
|i-му узлу ветвях содержатся источники тока, то знаки токов источников токов, входящих|
|в узловой ток простыми слагаемыми, определяются аналогично. |
|В заключение отметим, что выбор того или иного из рассмотренных методов определяется |
|тем, что следует найти, а также тем, какой из них обеспечивает меньший порядок |
|системы уравнений. При расчете токов при одинаковом числе уравнений предпочтительнее |
|использовать метод контурных токов, так как он не требует дополнительных вычислений с|
|использованием закона Ома. Метод узловых потенциалов очень удобен при расчетах |
|многофазных цепей, но не удобен при расчете цепей со взаимной индуктивностью. |
| |
|Литература |
| |
|1. Основы теории цепей: Учеб.для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, |
|С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. |
|2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. |
|для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей|
|вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с |
|. |
|Контрольные вопросы и задачи |
| |
|1. В ветви на рис. 1 [pic] [pic] [pic]. Определить ток [pic]. |
|Ответ: [pic]. |
|2. В чем заключается сущность символического метода расчета цепей |
|синусоидального тока? |
|3. В чем состоит сущность метода контурных токов? |
|4. В чем состоит сущность метода узловых потенциалов? |
|5. В цепи на рис. 5 [pic]; [pic]; [pic]; [pic] [pic] [pic] [pic]. Методом |
|контурных токов определить комплексы действующих значений токов ветвей. |
|Ответ: [pic]; [pic]; [pic]. |
|6. В цепи на рис. 6 [pic] [pic][pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] |
|[pic]. Рассчитать токи в ветвях, используя метод узловых потенциалов. |
|Ответ: [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]. |
|[pic] |