Лекции по гидравлике

Введение
Гидравлика представляет собой теоретическую дисциплину, изучающую вопросы,
связанные с механическим движением жидкости в различных природных и
техногенных условиях. Поскольку жидкость (и газ) рассматриваются как
непрерывные и неделимые физические тела, то гидравлику часто рассматривают
как один из разделов механики так называемых сплошных сред, к каковым
принято относить и особое физическое тело -жидкость. По этой причине
гидравлику часто называют механикой жидкости или гидромеханикой; предметом
её исследований являются основные законы равновесия и движения жидкостей и
газов. Как в классической механике в гидравлике можно выделить общепринятые
составные части: гидростатику, изучающую законы равновесия жидкости;
кинематику, описывающую основные элементы движущейся жидкости и
гидродинамику, изучающую основные законы движения жидкости и раскрывающую
причины её движения.
Гидравлику можно назвать базовой теоретической дисциплиной для обширного
круга прикладных наук, с помощью которых исследуются процессы,
сопровождающие работу гидравлических машин, гидроприводов. С помощью
основных уравнений гидравлики и разработанных ею методов исследования,
решаются важные практические задачи, связанные с транспортом жидкостей и
газов по трубопроводам, а также с транспортом твёрдых тел по трубам и
другим руслам. Гидравлика также решает важнейшие практические задачи,
связанные с равновесием твёрдых тел в жидкостях и газах, т.е. изучает
вопросы плавания тел.
Широкое использование в практической деятельности человека различных
гидравлических машин и механизмов ставят гидравлику в число важнейших
дисциплин, обеспечивающих научно-технический прогресс.
Большой практический интерес к изучению механики жидкости вызван рядом
объективных факторов. В - первых, наличие в природе значительных запасов
жидкостей, которые легко доступны человеку. Во- вторых, жидкие тела
обладают рядом полезных свойств, делающих их удобными рабочими агентами в
практической деятельности человека. Немаловажным следует считать и тот
фактор, что большинство жизненно важных химических реакций обмена протекают
в жидкой фазе (чаще всего в водных растворах).
По этим причинам особый интерес человек проявил к жидкостям на самой ранней
стадии своего развития. Вода и воздух (иначе жидкость и газ) были отнесены
к числу основных стихий природы уже первобытным человеком. История
свидетельствует об успешном решении ряда практических задач с
использованием жидкостей уже на самих ранних стадиях развития человека.
Первым же научным трудом по гидравлике следует
считать трактат Архимеда «О плавающих телах» (250 г. до н. э.)- Однако в
дальнейшем на протяжении нескольких столетий в развитии человечества
наступила эпоха всеобщего застоя, когда развитие знаний и практического
опыта находились на весьма низком уровне. В последующую за этим эпоху
возрождения началось бурное развитие человеческих знаний, науки, накопление
практического опыта. Наравне с развитием других наук начала развиваться и
наука об изучении взаимодействия жидких тел.
Первыми крупными работами в этой области следует считать работы Леонардо да
Винчи (1548-1620) - в области плавания тел, движения жидкостей по трубам и
каналам. В работах Галилео Галилея (1564 - 1642) были сформулированы
основные принципы равновесия и движения жидкости; работы Эванджелиста
Торичелли (1604 - 1647) были посве-щены решению задач по истечению жидкости
из отверстий, а Блез Паскаль (1623 - 1727) исследовал вопросы по передаче
давления в жидкости. Основополагающие и обобщающие работы в области
механики физических тел, в том числе и жидких, принадлежат гениальному
английскому физику Исааку Ньютону (1643 - 1727), который впервые
сформулировал основные законы механики, закон всемирного тяготения и закон
о внутреннем трении в жидкостях при их движении.
Развитию гидромеханики (гидравлики) как самостоятельной науки в
значительной степени способствовали труды русских учёных Даниила Бернулли
(1700 - 1782), Леонарда Эйлера (1707 - 1783), М.В. Ломоносова (1711 -
1765). Работы этих великих русских учёных обеспечили настоящий прорыв в
области изучения жидких тел: ими впервые были опубликованы дифференциальные
уравнения равновесия и движения жидкости Эйлера, закон сохранения энергии
Ломоносова, уравнение запаса удельной энергии в идеальной жидкости
Бернулли.
Развитию гидравлики как прикладной науки и сближению методов изучения
теоретических и практических вопросов используемых гидравликой и
гидромеханикой способствовали работы французских учёных Дарси, Буссинэ и
др., а также работы Н.Е. Жуковского. Благодаря трудам этих учёных, а также
более поздним работам Шези, Вейсбаха, Прандля удалось объединить
теоретические исследования гидромеханики с практическими и
экспериментальными работами, выполненными в гидравлике. Работы Базена, Пуа-
зейля, Рейнольдса, Фруда, Стокса и др. развили учение о динамике реальной
(вязкой жидкости). Дифференциальное уравнение Навье - Стокса позволило
описать движение реальной жидкости как функцию параметров этой жидкости в
зависимости от внешних условий. Дальнейшие работы в области теоретической и
прикладной гидромеханики были направлены на развитие методов решения
практических задач, развитие новых методов исследования, новых направлений:
теория фильтрации, газо- и аэродинамика и др.
При решении практических вопросов гидравлика оперирует всеми известными
методами исследований: методом анализа бесконечно малых величин, методом
средних величин, методом анализа размерностей, методом аналогий,
экспериментальным методом.
Метод анализа бесконечно малых величин - наиболее удобный из всех методов
для количественного описания процессов равновесия и движения жидкостей и
газов. Этот метод наиболее эффективен в тех случаях, когда приходится
рассматривать движение объектов на атомно-молекулярном уровне, т.е. в тех
случаях, когда для вывода уравнений движения приходится рассматривать
жидкость (или газ) с молекулярно-кинетической теории строения вещества.
Основной недостаток метода - довольно высокий уровень абстракции, что
требует от читателя обширных знаний в области теоретической физики и умение
пользоваться различными методами математического анализа, включая векторный
анализ.
Метод средних величин - является более доступным методом, поскольку его
основные положения базируется на простых (близких к обыденным)
представлениях о строении вещества. При этом выводы основных уравнений в
большинстве случаев не требуют знаний молекулярно-кинетической теории, а
результаты, полученные при исследованиях, этим методом не противоречат
«здравому смыслу» и кажутся обоснованными. Недостаток этого метода
исследований связан с необходимостью иметь некоторые априорные
представления о предмете исследований.
Метод анализа размерностей может рассматриваться в качестве одного из
дополнительных методов исследований и предполагает всестороннее знания
изучаемых физических процессов.
Методом аналогий - используется в тех случаях, кода имеются в наличии
детально изученные процессы, относящиеся к тому же типу взаимодействия
вещества, что и изучаемый процесс.
Экспериментальный метод является основным методом изучения, если другие
методы по каким- либо причинам не могут быть применены. Этот метод также
часто используется как критерий для подтверждения правильности результатов
полученных другими методами.
В конечном счёте, метод изучения движения жидкости, а также уровень
изучения (макро или микро) выбирается из условий практической постановки
задач и соотношения характерных размеров. Основным мерилом для этих
характерных размеров может быть длина свободного пробега молекул. Так для
изучения движения жидкости на макро уровне необходимо, чтобы характерные
размеры: L (некоторая длина) и d (ширина) по отношению к длине свободного
пробега молекул А, находились в соответствии:
                                    [pic]
1. Общие сведения о жидкости 1.1. Жидкость как физическое тело
Чтобы представить и правильно понять характер поведения жидкости в
различных условиях необходимо обратиться к некоторым представлениям
классической физики о жидкости как физическом теле. Не ставя перед собой
цель детального и всестороннего описания жидких тел, что подробно
рассматривается в классическом курсе физики, напомним лишь некоторые
положения, которые могут пригодиться при изучении гидравлики как
самостоятельной дисциплины.
Так, согласно молекулярно-кинетической теории строения вещества все
физические тела в природе (независимо от их размеров) находятся в
постоянном взаимодействии между собой. Степень (интенсивность)
взаимодействия зависит от масс этих тел и от расстояния между телами.
Количественной мерой взаимодействия тел является сила, которая
пропорциональна массе тел и всегда будет убывать при увеличении расстояния
между телами. В зависимости от размеров тел (элементарные частицы, атомы и
молекулы, макротела) характер взаимодействия будет различным. Согласно
классическим представлениям физики можно выделить четыре вида
взаимодействия тел. Каждый вид взаимодействия обусловлен наличием своего
переносчика взаимодействия. Два вида взаимодействия относятся к типу
дальнодействующих и повседневно наблюдаются человеком: гравитационное и
электромагнитное. При электромагнитном взаимодействии происходит процесс
излучения и поглощения фотонов. Именно этот процесс порождает
электромагнитные силы, под действием которых протекают практически все
процессы в природе, которые мы наблюдаем. Характерной особенностью этого
(электромагнитного) взаимодействия является то, что его проявление зависит
от многих внешних условий, которые приводят к различным наблюдаемым
результатам. Так имея одну и туже природу взаимодействия (электромагнитную)
мы изучаем, на первый взгляд, совершенно разные физические процессы:
движение жидкости, трение, упругость, передачу тепла, движение зарядов в
электрическом поле и т.д. И, как следствие, дифференциальные уравнения,
описывающие эти процессы, одинаковые.
Согласно молекулярно-кинетической теории строения вещества молекулы
находятся в равновесии и, как материальные объекты постоянно
взаимодействуют друг с другом. Такое равновесие нельзя считать абсолютным,
т.к. молекулы находятся в состоянии хаотического движения (колебания)
вокруг центра своего равновесия. Расстояния между молекулами вещества будет
зависеть от величин сил действующих на молекулы. Независимо от природы
действующих сил их можно сгруппировать на силы притяжения и силы
отталкивания.
Условие равновесия этих сил определяет оптимальные расстояния между
молекулами. Однако, в связи с тем, что такое равновесие между действующими
силами является динамическим равновесием, молекулы находятся в постоянном
колебательном движении относительно друг друга, испытывая при этом действие
некоторой равнодействующей силы порождаемой силами притяжения и
отталкивания. Поэтому особенности состояния вещества будут зависеть от
соотношения между кинетической энергией колебательного движения молекул
вещества и энергией взаимодействия между молекулами вещества. Так при
больших массах молекул энергия взаимодействия между молекулами многократно
превышает кинетическую энергию колебательного движения вещества, вследствие
чего молекулы вещества занимают устойчивое положение относительно друг
друга, обеспечивая тем самым постоянство формы и размеров макротела. Такие
вещества, как известно, относятся к категории твёрдых тел. Противоположными
особенностями характеризуются вещества, состоящие из «лёгких» молекул
(молекул обладающих малой массой). Такие вещества обладают кинетической
энергией колебательного движения молекул вещества превышающей многократно
энергию взаимодействия между молекулами, из которых вещество состоит. По
этой причине молекулы такого вещества имеют очень слабую связь между собой
и легко перемещаются в пространстве на любые расстояния. Такое свойство
вещества носит название диффузии (летучести). Вещества, обладающие эти
свойством, относятся к категории газов. В тех случаях, когда энергия
взаимодействия имеет тот же порядок, что и величина кинетической энергии
колебательного движения молекул, последние обладают свойством относительной
подвижности, но, при этом, сохраняют целостность самого макротела. Такое
тело обладает способностью легко деформироваться при минимальных
касательных напряжениях, т. е. такое тело обладает текучестью. На самом
деле колебательный процесс среди молекул жидких тел достаточно сложен, и с
целью простого описания данного процесса можно нарисовать упрощенную
картину взаимодействия молекул жидкости. Так в отличие от молекул в твёрдых
телах, при колебательном процессе в жидкости центры взаимодействия молекул
могут смещаться в пространстве на
о
столько, на сколько это допускают расстояния между молекулами (до величины
1x10 " см). Смещение центра равновесия сил в пространстве называется
релаксацией. Время, за которое происходит такое смещение, называется
временем релаксации, t0. При этом смещение центра равновесия осуществляется
не постепенно, а скачком. Таким образом, время релаксации характеризует
продолжительность «оседлой жизни» молекул жидкости. Если на жидкость будет
действовать некоторая сила F, то при совпадении линии действия этой силы с
направлением скачка, жидкость начнёт перемещаться. При этом необходимо
выполнение дополнительного условия: продолжительность действия силы должна
быть
больше длительности времени релаксации t0, т.к. в противном случае жидкость
не успеет
начать своё движение, и будет испытывать упругое сжатие подобно твёрдому
телу. Тогда процесс движения жидкости будет характеризовать свойство
текучести присущее практически только жидким телам. Тела с такими
свойствами относятся к категории жидких тел.
При этом следует отметить, что чётких и жёстких границ между твёрдыми,
жидкими и газообразными телами нет. Имеется большая группа тел занимающих
промежуточное положение между твёрдыми телами и жидкостями и между
жидкостями и газами. Вообще говорить о состоянии вещества можно только при
вполне определённых внешних условиях. В качестве стандартных условий
приняты условия при температуре 20 °С и атмосферном давлении. Стандартные
(нормальные) условия вполне соотносятся с понятием благоприятных внешних
условий для существования человека. Понятие о состоянии вещества необходимо
дополнить. Так при увеличении кинетической энергии молекул вещества (нагрев
вещества) твёрдые тела могут перейти в жидкое состояние (плавление твёрдого
тела) и твёрдые тела приобретут при этом некоторые свойства жидкостей.
Подобно этому увеличение кинетической энергии молекул жидкого вещества
может привести жидкость в газообразное состояние (парообразование) и при
этом жидкость будет иметь свойства соответствующие газам. Аналогичным
способом можно превратить расплавленное твёрдое тело в пар, если в большей
степени увеличить кинетическую энергию колебательного движения молекул
первоначально твёрдого вещества. Уменьшение кинетической энергии молекул
(охлаждение вещества) приведёт процесс в обратном направлении. Газ может
быть превращён в жидкое, а, затем и в твёрдое состояние
Изучение реальных жидкостей и газов связано со значительными трудностями,
т.к. физические свойства реальных жидкостей зависят от их состава, от
различных компонентов, которые могут образовывать с жидкостью различные
смеси как гомогенные (растворы) так и гетерогенные (эмульсии, суспензии и
др.) По этой причине для вывода основных уравнений движения жидкости
приходится пользоваться некоторыми абстрактными моделями жидкостей и газов,
которые наделяются свойствами неприсущими природным жидкостям и газам.
Идеальная жидкость - модель природной жидкости, характеризующаяся
изотропностью всех физических свойств и, кроме того, характеризуется
абсолютной несжимаемостью, абсолютной текучестью (отсутствие сил
внутреннего трения), отсутствием процессов теплопроводности и
теплопереноса.
Реальная жидкость - модель природной жидкости, характеризующаяся
изотропностью всех физических свойств, но в отличие от идеальной модели,
обладает внутренним трением при движении.
Идеальный газ - модель, характеризующаяся изотропностью всех физических
свойств и абсолютной сжимаемостью.
Реальный газ - модель, при которой на сжимаемость газа при условиях близких
к нормальным условиям существенно влияют силы взаимодействия между
молекулами.
При изучении движения жидкостей и газов теоретическая гидравлика
(гидромеханика) широко пользуется представлением о жидкости как о сплошной
среде. Такое допущение вполне оправдано, если учесть, что размеры
пространства занимаемого жидкостью, во много раз превосходят
межмолекулярные расстояния (исключением можно считать лишь разряженный
газ). При изучении движения жидкостей и газов последние часто
рассматриваются как жидкости с присущими им некоторыми особыми свойствами.
Всвязи с этим принято различать две категории жидкостей: капельные жидкости
(практически несжимаемые тела, или собственно жидкости) и сжимаемые
жидкости (газы).
1.2. Основные физические свойства жидкостей
Плотность и удельный вес. К основным физическим свойствам жидкостей следует
отнести те её свойства, которые определяют особенности поведения жидкости
при её движении. Такими являются свойства, характеризующие концентрацию
жидкости в пространстве, свойства, определяющие процессы деформации
жидкости, определяющие величину внутреннего трения в жидкости при её
движении, поверхностные эффекты.
Важнейшим физическим свойством жидкости, определяющим её концентрацию в
пространстве, является плотность жидкости. Под плотностью жидкости
понимается масса единицы объёма жидкости:
                                    [pic]
где:        М - масса жидкости,
W - объём, занимаемый жидкостью.
В международной системе единиц СИ масса вещества измеряется в кг, объём
жидкого тела в м 3 , тогда размерность плотности жидкости в системе единиц
СИ - кг/м 3. В системе единиц СГС плотность жидкости измеряется в г/см 3.
Величины плотности реальных капельных жидкостей в стандартных условиях
изменяются в системе единиц СИ в широких пределах от 700 кг/м 3 до 1800
кг/м 3, а плотность ртути достигает 13550 кг/м , плотность чистой воды
составляет 998 кг/м 3. В системе единиц СГС пределы изменения плотности
жидкости от 0,7 г/см до 1,8 г/см 3, плотность чистой воды 0,998 г/см .
Величины плотности газов меньше плотности капельных жидкостей
приблизительно на три порядка, т.е. в системе единиц СИ плотности газов при
атмосферном давлении и температуре О °С изменяются в пределах от 0,09 кг/м
3 до 3,74 кг/м , плотность воздуха составляет 1,293 кг/м 3.
|Плотность капельных жидкостей   |Плотность газов при атмосферном   |
|при стандартных условиях, р кг/м|давлении и температуре 0 °С, р    |
|3                               |кг/м 3                            |
|Азотная кислота     |1510       |Азот                   |1,251     |
|Анилин              |1020       |Аммиак                 |0,771     |
|Ацетон              |791        |Аргон                  |1,783     |
|Бензин              |680-720    |Ацетилен               |1,173     |
|Бензол              |879        |Водород                |0,090     |
|Бром                |3120       |Воздух                 |1,293     |
|Вода, Н2О           |998        |Гелий                  |0,178     |
|Вода тяжёлая, DaO   |1109       |Кислород               |1,429     |
|Глицерин            |1260       |Криптон                |3,740     |
|Морская вода        |1010-1030  |Неон                   |0,900     |
|Нефть               |760-995    |Озон                   |2,139     |
|Серная кислота      |1830       |Углекислота, СОа       |1,977     |
|Этиловый спирт      |790        |Хлор                   |3,220     |


Плотность капельных жидкостей и газов зависит от температуры и давления.
Зависимость величины плотности жидкости и газа при температуре отличной от
20 °С определяется по формуле Д.И. Менделеева:
                                    [pic]
где: р и р20 - плотности жидкости (газа) при температурах соответственно
ГиГо=20°С,
?i      - коэффициент температурного расширения.
Исключительными особенностями обладает вода, максимальная плотность которой
отмечается при 4 °С
|Плотность воды при различных температурах и атмосферном давлении|
|Т,°С      |р кг/м   |Т,°С     |р кг/м   |Т, °С    |р кг/м    |
|-10       |998,15   |10       |999,73   |200      |869,00    |
|-5        |999,30   |20       |998,23   |250      |794,00    |
|0         |999,87   |50       |988,07   |300      |710,00    |
|2         |999,97   |100      |958,38   |350      |574,00    |
|4         |1000,00  |150      |917,30   |374,15   |307,00    |


Плотность капельных жидкостей в зависимости от давления может быть
определена в соответствии с уравнением состояния упругой жидкости:
[pic] 5
•   где:         - плотность капельной жидкости при атмосферном давлении
рат ,
 - коэффициент объёмного сжатия капельной жидкости.
Плотность идеальных газов при давлениях отличных от атмосферного можно
определить по известному закону газового состояния Менделеева-Клайперона:
                                    [pic]

давление,
удельный объём газа
универсальная газовая постоянная
температура газа
при[pic]
Кроме абсолютной величины плотности капельной жидкости, на практике
пользуются и величиной её относительной плотности, которая представляет
собой отношение ве-
личины абсолютной плотности жидкости к плотности чистой воды при
температуре 4 °С: [pic] . Относительная плотность жидкости - величина
безразмерная.
Имеется аналогичная характеристика и для газов. Под относительной
плотностью газа (по воздуху) понимается отношение величины абсолютной
плотности газа к плотности воздуха при стандартных условиях.
О плотности жидкости косвенно можно судить по весовому показателю, -
удельному весу жидкости. Под удельным весом жидкости (газа) понимается вес
единицы объёма жидкости (газа):[pic]
G     вес жидкости (газа),
где:                     ..
W    объем, занимаемый жидкостью (газом).
Связь между плотностью и удельным весом жидкости такая же как и между
массой тела и её весом:
[pic]
Размерность удельного веса жидкости в системе единиц СИ н/м 3 , удельный
вес чистой воды составляет 9810 н/м3. Аналогично вводится понятие об
относительном удельном весе жидкости,[pic]
На практике величина плотности жидкости определяется с помощью простейшего
прибора - ареометра. По глубине погружения прибора в жидкость судят о её
плотности.
Упругость. Капельные жидкости относятся к категории плохо сжимаемых тел.
Причины незначительных изменений объёма жидкости при увеличении давления
очевидны, т.к. межмолекулярные расстояния в капельной жидкости малы и при
деформации жидкости приходится преодолевать значительные силы отталкивания,
действующие между молекулами, и даже испытывать влияние сил, действующих
внутри атома. Тем не менее, сжимаемость жидкостей в 5 - 10 раз выше, чем
сжимаемость твёрдых тел, т.е. можно считать, что все капельные жидкости
обладают упругими свойствами.
Оценка упругих свойств жидкостей может осуществляться по ряду специальных
параметров.
коэффициент объёмного сжатия жидкости представляет собой относительное
изменение объёма жидкости при изменении давления на единицу. По существу
это известный закон Гука для модели объёмного сжатия:
                                    [pic]
начальный объём жидкости, (при начальном давлении),
 коэффициент объёмного (упругого) сжатия жидкости.
Считается,  что коэффициент объёмного  сжатия жидкости  зависит с
достаточно большой точностью только от свойств самой жидкости и не зависит
от внешних условий. Коэффициент объёмного сжатия жидкости имеет размерность
обратную размерности давления, т.е. м/н.
адиабатический модуль упругости жидкости К, зависящий от термодинамического
состояния жидкости (величина обратная коэффициенту объёмного сжатия
жидкости):
                     ,
[pic]
Величина модуля упругости жидкости имеет размерность напряжения, т.е. н/м .
об упругих свойствах капельной жидкости можно судить по скорости
распространения продольных волн в жидкой среде, которая равна скорости
звука в покоящейся жидкости:
[pic]
С упругими свойствами капельных жидкостей также связаны представления о
сопротивлении жидкостей растяжению. Теоретически в чистых жидкостях могут
быть достигнуты довольно значительные напряжения. Однако, в реальных
жидкостях при наличии в них даже весьма незначительных примесей (твёрдые
частицы, газ) уменьшает величину сопротивления жидкости растяжению
практически до 0. По этой причине можно считать, что в капельных жидкостях
напряжения растяжению невозможны.
Об упругих свойствах газов можно судить исходя из классического уравнения
Пуассона:
[pic] ;
где:        п         - показатель адиабаты равный отношению теплоёмкости
газа при постоянном давлении к величине теплоёмкости газа при постоянном
объёме.
[pic]
Для оценки упругих свойств движущегося газа пользуются не абсолютной
величиной скорости звука сзв, а отношением скорости потока газа v к
скорости звука в газе. Этот показатель носит название числа Маха;
[pic]
Вязкость. При движении реальных (вязких) жидкостей в них возникают
внутренние напряжения, обусловленные силами внутреннего трения жидкости.
Природа этих сил довольно сложна; возникающие в жидкости напряжения связаны
с процессом переноса импульса[pic](вектора массовой скорости движения
жидкости). При этом возникающие в жидкости напряжения обусловлены двумя
факторами: напряжениями, возникающими при деформации сдвига и напряжениями,
возникающими при деформации объёмного сжатия.
Наличие сил вязкостного трения в движущейся жидкости подтверждается простым
и наглядным опытом. Если в цилиндрическую ёмкость, заполненную жидкостью
опустить вращающийся цилиндр, то вскоре придёт в движение (начнёт вращаться
вокруг своей оси в том же направлении, что и вращающийся цилиндр) и сама
ёмкость с жидкостью. Этот факт свидетельствует о том, что вращательный
момент от вращающегося цилиндра был передан через вязкую жидкость самой
ёмкости, заполненной жидкостью.
Напряжения, возникающие при деформации сдвига согласно гипотезе Ньютона
пропорциональны градиенту скорости в движущихся слоях жидкости, а сила
трения между слоями движущейся жидкости будет пропорциональна площади
поверхности движущихся слоев жидкости:
[pic]
где:сила трения между слоями движущейся жидкости,
- площадь поверхности слоев движущейся жидкости,
[pic] - касательные напряжения, возникающие в жидкости при деформации
сдвига,
[pic] коэффициент динамической вязкости жидкости.
Величина коэффициента динамической вязкости жидкости при постоянной
температуре и постоянном давлении зависит от внутренних (химических)
свойств самой жидкости. Размерность коэффициента динамической вязкости в
системе единиц СИ: н с/м 2, в системе СГС - д-с/см . Последняя размерность
носит название пуаза (пз). Таким образом, \пз =1 д-с/см , а соотношение
между единицами вязкости. 1да=0,1 н с/м 2.
Помимо коэффициента динамической вязкости жидкости широко используется
коэффициент кинематической вязкости жидкости v, представляющий собой
отношение коэффициента динамической вязкости к плотности жидкости:
[pic]
В системе единиц СИ коэффициент кинематической вязкости измеряется в м /с,
в системе единиц СГС единицей измерения коэффициента кинематической
вязкости жидкости является стоке (cm), т.е. 1 cm = 1 см /с.
Коэффициент динамической вязкости чистой воды составляет 1-10~3 н-с/м (или
0,01 пз), коэффициент кинематической вязкости чистой воды составляет МО" м
/с (или 0,01 cm).                    - -
Коэффициенты вязкости жидкостей варьируют в весьма широких пределах от
0,0003 доО,139н-с/л/2.
Вязкость жидкости в значительной степени зависит от температуры и давления.
При увеличении температуры капельной жидкости коэффициенты её вязкости (как
динамический, так и кинематический) резко снижается в десятки и сотни раз,
что обусловлено увеличением внутренней энергии молекул жидкости по
сравнению с энергией межмолекулярной связи в жидкости.
Зависимость вязкости капельной жидкости от температуры может быть выражена
в виде экспоненциальной зависимости:
[pic] ?
где:         - вязкость капельной жидкости при стандартной температуре TQ -
20 °С,
[pic] - экспериментальный температурный коэффициент. Зависимость вязкости
жидкости от давления в широком диапазоне давлений остаётся практически
линейной:
[pic]
где: [pic]- вязкость жидкости при атмосферном давлении, ар -
экспериментальный
коэффициент пропорциональности.
Газы обладают несравнимо более низкими коэффициентами вязкости от 0,0000084
до 0,0000192 н-с/м 2, и в отличие от капельных жидкостей вязкость газов
увеличивается при увеличении температуры, т.к. с увеличением температуры
газа возрастают скорости теплового движения молекул и, соответственно,
увеличивается число соударений молекул газа, что делает газ более вязким.
Зависимость вязкости газа от давления ничем не отличается от аналогичной
зависимости для капельных жидкостей.
|Коэффициент динамической вязкости жидкостей и газов               |
|Капельные жидкости|[pic]        |Газы при Т= 0 °С  |[pic]        |
|приГ=18°С         |             |                  |             |
|Анилин            |0,00460      |Азот              |0,0000167    |
|Ацетон            |,            |Аммиак            |0,0000093    |
|                  |0,00034      |                  |             |
|Бром         -.-. |0,00102      |Водород           |0,0000084    |
|•                 |             |                  |             |
|Вода              |.*   0,00105 |Воздух            |0,0000172    |
|Глицерин          |1,39300      |Кислород          |0,0000192    |
|Масло машинное    |0,11300      |Метан             |0,0000104    |
|Нефть             |0,0080-0,1000|Углекислота COi   |0,0000140    |
|Спирт этиловый    |0,00122      |Хлор              |0,0000129    |


Измерение вязкости жидкостей осуществляется с помощью вискозиметров,
работающих на принципе истечения жидкости через малое калиброванное
отверстие; вязкость вычисляется по скорости истечения.
Кроме деформации сдвига внутреннее сопротивление в жидкости возникает и при
объёмном сжатии жидкости, т.е. сжимаемая жидкость стремится восстановить
состояние первоначального равновесия. Этот процесс, в некоторой степени,
аналогичен проявлению сил сопротивления при деформации сдвига, хотя сам
процесс и отличается по своей сути. По этой причине говорят, что в жидкости
проявляется так называемая вторая вязкость Ј,
обусловленная деформацией объёмного сжатия жидкости.
Поверхностное натяжение. Когда мы говорим о жидкости как о сплошной среде,
это вовсе не означает, что эта среда бесконечна и безгранична. Жидкое тело
всегда имеет границы, это либо твёрдые стенки каналов, либо границы раздела
с газообразной средой, либо это граница раздела между различными
несмешивающимися жидкостями. Такие границы можно с полным правом называть
естественными границами.
В некоторых случаях границы могут выделяться условно внутри самой
движущейся жидкости. На естественных границах в пограничном слое жидкости
между молекулами самой жидкости и молекулами окружающей жидкость среды
существуют силы притяжения, которые, в общем случае, могут оказаться не
равными. В то же время силы взаимодействия между остальными молекулами
жидкости, находящимися внутри объёма, ограниченного пограничным слоем эти
силы взаимно уравновешены. Таким образом, остаются не уравновешеными силы
взаимодействия между молекулами, находящимися лишь во внешнем (пограничном
слое). Тогда в пограничном слое возникают напряжения, которые автоматически
балансируют не сбалансированные силы притяжения. Такие напряжения
называются поверхностным натяжением жидкости. Этому напряжению будут
соответствовать силы поверхностного натяжения. Под действием этих сил малые
объёмы жидкости принимают сферическую форму (форму капли), соответствующей
минимуму внутренней энергии; в трубках малого диаметра жидкость поднимается
(или опускается) на некоторую высоту по отношению к уровню покоящейся
жидкости. Последнее явление носит на-
звание капиллярности. Жидкость в трубке малого диаметра (капилляре) будет
подниматься, если жидкость по отношению к стенке капилляра будет
смачивающей жидкостью, и наоборот, будет опускаться, если жидкость для
стенки капилляра окажется не смачивающей. Высоту h подъёма (опускания)
жидкости в капилляре с диаметром d можно определить из соотношения:
[pic] ? где: А - постоянная зависящая от свойств жидкости.
Для водымм,
Для ртути     [pic], мм.
Силы поверхностного натяжения малы и проявляются при малых объёмах
жидкости. Величина напряжений на границе раздела зависит от температуры
жидкости; при увеличении температуры внутренняя энергия молекул возрастает
и, естественно, уменьшается напряжение в пограничном слое жидкости и,
следовательно, уменьшаются силы поверхностного натяжения.
Растворимость газов в капельных жидкостях. В реальных жидкостях всегда
находится в растворённом состоянии газ. Это может быть воздух, азот,
углеводородный газ, углекислота[pic]сероводороди[pic] др. Наличие газа
растворённого в жидкости может
оказывать как благоприятное воздействие (снижается вязкость жидкости,
плотность и т.д.), так и неблагоприятные факторы. Так при снижении давления
из жидкости выделяется свободный газ, который может стать источником такого
нежелательного явления как кавитация; выделяющийся газ может оказаться не
безопасным для окружающей среды (HiS), огнеопасным и взрывоопасным
(углеводородный газ). Газ, растворённый в жидкости, как и газ в свободном
состоянии может также способствовать коррозии стенок труб и оборудования,
вызывать химические реакции, ведущие к образованию отложений твёрдых солей
на стенках труб, накипей и др. По этой причине знание особенностей и
законов растворения газа в жидкости крайне желательно.
Количество газа, которое может раствориться в капельной жидкости, зависит
от физико-химических свойств самой жидкости и растворяемого в ней газа, а
также от температуры и давления. Максимальное количество газа, которое
может быть растворено в данной жидкости носит название предельной
газонасыщенности для данного газа s0. Естественно, что величины предельной
газонасыщенности для разных газов будут разными. Другой характеристикой
процесса растворения газа в жидкости является давление насы-
чении температуры внутренняя энергия молекул возрастает и, естественно,
уменьшается напряжение в пограничном слое жидкости и, следовательно,
уменьшаются силы поверхностного натяжения.
Растворимость газов в капельных жидкостях. В реальных жидкостях всегда
находится в растворённом состоянии газ. Это может быть воздух, азот,
углеводородный газ, углекислота[pic], сероводород HiS и др. Наличие газа
растворённого в жидкости может оказывать как благоприятное воздействие
(снижается вязкость жидкости, плотность и т.д.), так и неблагоприятные
факторы. Так при снижении давления из жидкости выделяется свободный газ,
который может стать источником такого нежелательного явления как кавитация;
выделяющийся газ может оказаться не безопасным для окружающей среды [pic] ,
огнеопасным и взрывоопасным (углеводородный газ). Газ, растворённый в
жидкости, как и газ в свободном состоянии может также способствовать
коррозии стенок труб и оборудования, вызывать химические реакции, ведущие к
образованию отложений твёрдых солей на стенках труб, накипей и др. По этой
причине знание особенностей и законов растворения газа в жидкости крайне
желательно.
Количество газа, которое может раствориться в капельной жидкости, зависит
от физико-химических свойств самой жидкости и растворяемого в ней газа, а
также от температуры и давления. Максимальное количество газа, которое
может быть растворено в данной жидкости носит название предельной
газонасыщенности для данного газа s0. Естественно, что величины предельной
газонасыщенности для разных газов будут разными. Другой характеристикой
процесса растворения газа в жидкости является давление насыщения [pic], это
такое минимальное давление в жидкости, при котором достигается насыщение
капельной жидкости газом. При невысоких давлениях значительно уступающих
величине давления насыщения справедлив закон растворимости Генри:
[pic]
Количество газа растворимого в единице объёма жидкости пропорционально
давлению. При увеличении дав[pic] ления до давления насыщения величина
Кривая растворимости газа в жидкости s(p).      коэффициента
растворимости   газа[pic]
— давление насыщения, sn — величина
[pic] снижается, ппегтеттьнои гязонясьттттенноети
В  жидкости  может  одновременно
растворяться целая группа различных газов; нередки случаи, когда капельная
жидкость и растворяемый в ней газ имеют одинаковую природу (нефть и
углеводородные газы); в последнем случае между жидкостью и газом может
существовать весьма условная граница, зависящая от температуры смеси и
других прочих условий.
Испаряемость. При повышении температуры жидкости и, в некоторых случаях,
при снижении давления часть массы капельной жидкости постепенно переходит в
газообразное состояние (пар). Интенсивность процесса парообразования
зависит от температуры кипения жидкости при нормальном атмосферном
давлении: чем выше температура кипения жидкости, тем меньше её
испаряемость. Однако, более полной характеристикой испаряемости следует
считать давление (упругость) насыщенных паров, данное в функции
температуры. Чем больше насыщенность паров при данной температуре, тем
больше испаряемость жидкости.                с_
Адсорбция Адсорбцией принято называть концентрацию одного из веществ,
происходящую в его поверхностном слое, т.е. на границе раздела двух фаз
(например, жидкость и поверхность твёрдого тела). Такая концентрация
молекул жидкости на поверхности твёрдого тела обуславливается силами
межмолекулярного взаимодействия. Так сила притяжения молекул жидкости со
стороны молекул твёрдого тела неизмеримо выше, силы притяжения оказываемой
со стороны молекул самой жидкости. По этой причине на поверхности твёрдого
тела образуется устойчивая пленка, состоящая из молекул жидкости, которая
способна удерживаться на поверхности твёрдого тела даже в том случае, когда
вдоль поверхности твёрдого тала перемещается поток жидкости. Сильное
притяжение со стороны молекул твёрдого тела могут испытывать также и
молекулы второго и третьего слоев молекул жидкости, т.е. образующаяся на
поверхности твердого тела плёнка из частиц жидкости может быть
многослойной. Поскольку сила взаимодействия между молекулами убывает с
увеличением расстояния между ними, то молекулы удалённых от поверхности
твёрдого тела слоев легко разрушаются под действием различных сил, т.е.
внешние слои молекул жидкости крайне неустойчивы. Процесс разрушения
образованной плёнки из жидких молекул называется десорбцией. Как правило,
эти два процесса идут одновременно, образуя состояние неустойчивого
равновесия.
Адсорбируемое вещество (в нашем случае это жидкость) называется адсорбатом,
а адсорбирующее вещество (в нашем случае это твёрдое тело) называется
адсорбентом. Процесс собственно адсорбции происходит на поверхности
твёрдого тела без внедрения молекул адсорбата в твёрдое тело.
В тех случаях, когда молекулы адсорбата проникают в поверхностный слой
адсорбента, то такой процесс приято называть абсорбцией. Если же при этом
будет происхо-
дить химические реакции между веществами, то такой процесс носит название
хемсорб-ции. Следует отметить, что скорость сорбционных процессов зависит
от внешних условий (температура и давление) а также от свойств самих
веществ. На практике с сорбционными процессами мы встречаемся при
гидроизоляции зданий и сооружений, при уплотнении сальников в различных
механизмах и машинах.
1.3. Многокомпонентные жидкости
В природе химически чистых жидкостей нет, технических рафинированных тоже
немного. Обычно в основной жидкости всегда имеются незначительные или
весьма существенные добавки (примеси). Для капельной жидкости примесями
могут быть другие жидкости, газы и твёрдые тела. В таких случаях жидкость с
примесями может образовать гомогенную или гетерогенную смесь.
Гомогенные смеси образуются в тех случаях, когда в основной жидкости (в
таких случаях эта жидкость называется растворителем) примеси распределяются
по всему объёму растворяющей жидкости равномерно на уровне молекул. В таких
случаях смесь физически представляет собой однородную среду, называемую
раствором. Сами же примеси носят название компонент. Физические свойства
такой гомогенной смеси (плотность и удельный вес) можно определить по
компонентному составу:
[pic]
где:- плотность смеси,
- плотность i - той компоненты, [pic] количество / - той компоненты.
Величины других параметров смеси (вязкость и др.) зависят от многих физико-
химических факторов, что является самостоятельным объектом изучения.
В тех случаях, когда примеси в основной жидкости находятся не на
молекулярном уровне, а в виде частиц, представляющих собой многочисленные
ассоциации молекул вещества примеси, то такие смеси не могут считаться
однородными растворами. Физические свойства таких смесей (включая плотность
и удельный вес) будут зависеть от того, какое вещество будет находиться в
точке измерения. Такие смеси будут неоднородными (гетерогенными) смесями. В
литературе такие смеси часто называют многофазными жидкостями.
Отличительной особенностью многофазных жидкостей является наличие в них
внутренних границ раздела между фазами, вдоль этих поверхностей раздела
действуют силы поверхностного натяжения, которые могут оказаться
значительными при большой площади поверхности границ между фазами. Силы
поверхностного натяжения вкупе с
другими силами, действующими в многофазной жидкости, увеличивают силы
сопротивления движению жидкости.
Примеров многофазных жидкостей в природе достаточно: эмульсии - смеси двух
и более нерастворимых друг в друге жидкостей; газированные жидкости - смеси
жидкости со свободным газом, окклюзии - смеси жидких и газообразных
углеводородов; суспензии и пульпы - смеси жидкостей и твёрдых частиц,
находящихся в жидкости во взвешенном состоянии и т.д.
1.4. Неньютоновские жидкости
Многокомпонентные жидкости как гомогенные, так и гетерогенные, в большей
степени, могут содержать в своём составе компоненты, значительно изменяющие
вязкость жидкости, и даже кардинально меняющие саму физическую основу и
природу внутреннего трения. В таких жидкостях гипотеза вязкостного трения
Ньютона (пропорциональность напряжений градиенту скорости относительного
движения жидкости) неприменима. Соответственно такие жидкости принято
называть неньютоновскими жидкостями.
Среди неньютоновских жидкостей принято выделять вязкопластичные жидкости,
псевдопластичные жидкости и дилатантные жидкости. Для вязкопластичных
жидкостей характерной особенностью является то, что они до достижения
некоторого критического внутреннего напряжения т0 ведут себя как твёрдые
тела и лишь при превышении внутреннего напряжения выше критической величины
начинают двигаться как обычные жидкости. Причиной такого явления является
то, что вязкопластичные жидкости имеют пространственную жёсткую внутреннюю
структуру, сопротивляющуюся любым внутренним напряжениям меньшим
критической величины, это критическое напряжение в литературе называют
статическим напряжением сдвига. Для вязкопластичных жидкостей справедливы
следующие соотношения Бингама:
[pic]
Для псевдопластичных жидкостей зависимость между внутренним напряжением
сдвига и градиентом скорости относительного движения слоев жидкости в
логарифмических координатах оказывается на некотором участке линейной.
Угловой коэффициент соответствующей прямой линии заключён между 0 и 1
Поэтому зависимость между напряжением и градиентом скорости можно записать
в следующем виде:
[pic]
где:        k - мера консистенции жидкости,
п - показатель, характеризующий отличие свойств псевдопластичной
жидкости от ньютоновской.
Для псевдопластичных жидкостей полезно ввести понятие кажущейся вязкости
жидкости[pic]
тогда:  [pic], т.е. величина кажущейся вязкости псевдопластичной жидко-
сти убывает с возрастанием градиента скорости.
Дилатантные жидкости описываются тем же самым уравнением, что и
псевдопластичные жидкости, но при показателе п > 1 .У таких жидкостей
кажущаяся вязкость увеличивается при возрастании градиента скорости. Такая
модель жидкости может быть применена при описании движения суспензий.
Неньютоновские жидкости обладают ещё одним свойством, их вязкость
существенным образом зависит от времени. По этой причине (например, для
вязкопластичных жидкостей) величина статического напряжения сдвига зависит
от предыстории: чем более длительное время жидкость находилась в состоянии
покоя, тем выше величина неё статического напряжения сдвига. Если прервать
движение такой жидкости (остановить её), то для начала движения такой
жидкости потребуется развить в жидкости меньшее напряжение, чем и том
случае, когда она находилась в покое длительное время. Следовательно,
необходимо различать величину начального статического напряжения сдвига и
динамическую величину этого показателя. Жидкости, которые обладают такими
свойствами, называются тиксотропными. Жидкости, у которых наоборот
динамические характеристики выше, чем начальные называются реопектическими
неньютоновскими жидкостями. Такие явления объясняются тем, что внутренняя
структура таких жидкостей способна упрочняться с течением времени, или (в
другом случае) для восстановления начальных свойств им требуется некоторое
время.
2 .Основы гидростатики 2.1. Силы, действующие в жидкости
Поскольку жидкость обладает свойством текучести и легко деформируется под
действием минимальных сил, то в жидкости не могут действовать
сосредоточенные силы, а возможно существование лишь сил распределённых по
объёму (массе) или по поверхности. В связи с этим действующие на жидкости
распределённые силы являются по отношению к жидкости внешними. По характеру
действия силы можно разделить на две категории: массовые силы и
поверхностные.
Массовые силы пропорциональны массе тела и действуют на каждую жидкую
частицу этой жидкости. К категории массовых сил относятся силы тяжести и
силы инерции переносного движения. Величина массовых сил, отнесённая к
единице массы жидкости, носит название единичной массовой силы. Таким
образом, в данном случае понятие о единичной массовой силе совпадает с
определением ускорения. Если жидкость, находится под действием только сил
тяжести, то единичной силой является ускорение свободного падения:
[pic]
где М' - масса жидкости
Если жидкость находится в сосуде, движущимся с некоторым ускорением а, то
жидкость в сосуде будет обладать таким же ускорением (ускорением
переносного движения):
[pic]
Поверхностные силы равномерно распределены по поверхности и пропорциональны
площади этой поверхности. Эти силы, действуют со стороны соседних объёмов
жидкой среды, твёрдых тел или газовой среды. В общем случае поверхностные
силы имеют две составляющие нормальную и тангенциальную. Единичная
поверхностная сила называется напряжением. Нормальная составляющая
поверхностных сил называется силой давления Р, а напряжение (единичная
сила) называется давлением:
[pic] 5
где:        S - площадь поверхности.
Напряжение тангенциальной составляющей поверхностной силы Т (касательное
напряжение[pic]) определяется аналогичным образом (в покоящейся жидкости
Т=0).
[pic]
Величина давления (иногда в литературе называется гидростатическим
давлением) в системе СИ измеряется в паскалях.
[pic]
Поскольку эта величина очень мала, то величину давления принято измерять в
мега-паскалях МПа
1МПа = \ 106 Па.
В употребляемой до сих пор технической системе единиц давление измеряется в
технических атмосферах, am.
                                        С,
1 am = \кГ/см2 = 0,1 МПа,               1 МПа = 10 am.
В технической системе единиц давление кроме технической атмосферы
измеряется также в физических атмосферах, А.
\А = 1,033 am.
Различают давление абсолютное, избыточное и давление вакуума. Абсолютным
давлением называется давление в точке измерения, отсчитанное от нуля. Если
за уровень отсчёта принята величина атмосферного давления, то разница между
абсолютным давлением и атмосферным называется избыточным давлением.
[pic]
Если давление, измеряемое в точке ниже величины атмосферного давления, то
разница между замеренным давлением и атмосферным называется давлением
вакуума
[pic]
Избыточное давление в жидкостях измеряется манометрами. Это весьма обширный
набор измерительных приборов различной конструкции и различного исполнения.
2.2. Свойства гидростатического давления
В неподвижной жидкости возможен лишь один вид напряжения - напряжение
сжатия. Как отмечалось ранее, жидкость в общем случае может находиться под
действием двух сил - силы давления равномерно распределённой по всей
внешней поверхности выделенного жидкого тела и массовых сил, определяемых
характером переносного движения. Под внешней границей жидкого тела могут
пониматься как соседние тела: твёрдые (стенки сосуда или трубы, в которые
помещена жидкость), газообразные (поверхность раздела между жидкостью и
газовой средой), так и условные поверхности, мысленно выделяемые внутри
самой жидкости. Действующее на внешнюю поверхность жидкости давление
обладает двумя основными свойствами:         t
1. Давление всегда направлено по внутренней нормали к выделенной
поверхности. Это свойство вытекает из самой сущности давления и
доказательств не требует. Тем не менее, поясним этот постулат простым
примером. Отсечём от жидкого тела часть его объ-
ёма и для сохранения равновесия оставшейся части жидкости приложим к
образовавшемуся сечению систему распределённых сил. По своей величине и
напрвлению действия эти силы должны обеспечить эк[pic] вивалентное влияние
на оставшийся объём жидкости со стороны отсечённой части жидкого тела.
Поскольку в покоящейся
жидкости не могут существовать касательные напряжения, то приложенные к
сечению силы могут быть направлены лишь по внутренней нормали к площади
сечения.
2. В любой точке внутри жидкости давление по всем направлениям одинаково.
Другими словами величина давления в точке не зависит от ориентации
площадки, на которую действует давление.
Для доказательства этого положения выделим в районе произвольно выбранной
точки находящейся внутри жидкости малый отсек жидкости в виде тетраэдра.
Три взаимно перпендикулярные грани отсека будут параллельны координатным
плоскостям, четвёртая грань расположена под произвольным углом (по
отношению к одной из координатных плоскостей). От[pic] бросим массу
жидкости, находящуюся с внешней стороны поверхности тетраэдра, а действие
отброшенной массы жидкости на выделенный отсек заменим силами, которые
обеспечат равновесие в покоящейся жидкости. При такой замене мы сделали
некоторое допущение, ввели сосредоточенные силы, действующие на грани
отсека. Однако это допущение мож- . но считать справедливым ввиду малости
отсека. Тогда для обеспечения равновесия на отсек жидкости должны
действовать силы давления нормальные к граням отсека [pic] ; корме того, на
этот же отсек жидкости будут действовать массовые силы
характер действия которых определяется переносным движением, т.е. движением
сосуда, относительно которого покоится жидкость. Величина массовых сил
будет
пропорциональна массе жидкости в отсеке:[pic]
Запишем уравнение равновесия отсека жидкости в проекциях на оси координат.
[pic]
Выразив силы через напряжения, уравнения равновесия будут иметь следующий
вид:
[pic]
где:    [pic]- площадь наклонной грани отсека,        [pic]- проекции
ускоре-
ния переносного движения на оси координат.
учитывая, что:[pic]
Уравнения равновесия примут вид:
[pic]
Пренебрегая малыми величинами, получим:[pic]
3. Для жидкости находящейся в состоянии равновесия справедлив так
называемый закон Паскаля утверждающий, что всякое изменение давления в
какой-либо точке жидкости передаётся мгновенно и без изменения во все
остальные точки жидкости.
2.3. Основное уравнение гидростатики
Рассмотрим случай равновесия жидкости в состоянии «абсолютного покоя», т.е.
когда на жидкость действует только сила тяжести. Поскольку объём жидкости в
сосуде мал по сравнению с объёмом Земли, то уровень свободной поверхности
жидкости в сосуде можно считать горизонтальной плоскостью. Давление на
свободную поверхность жидкости равно атмосферному давле[pic] нию р0.
Определим давление р в произвольно выбранной точке М, расположенной на
глубине h. Выделим
около точки М горизонтальную площадку площадью dS . Построим на данной
площадке вертикальное тело, ограниченное снизу самой площадкой, а сверху (в
плоскости свободной поверхности жидкости) её проекцией. Рассмотрим
равновесие полученного жидкого тела. Давление на основание выделенного
объёма будет внешним по отношению к жидкому телу и будет направлено
вертикально вверх. Запишем уравнение равновесия в проекции на вертикальную
ось тела.
[pic]
Сократив все члены уравнения на dS, получим:
[pic]
Давление во всех точках свободной поверхности одинаково и равно р0,
следовательно, давление во всех точках жидкости на глубине h также
одинаково согласно основному уравнения гидростатики. Поверхность, давление
на которой одинаково, называется поверхностью уровня. В данном случае
поверхности уровня являются горизонтальными плоскостями.
Выберем некоторую горизонтальную плоскость сравнения, проходящую на
расстоянии z0 от свободной поверхности, тогда можно записать уравнение
гидростатики в виде:
[pic]
Все члены уравнения имеют линейную размерность и носят название:
-  геометричкская высота,
[pic] -  пьезометрическая высота
Величина[pic]носит название гидростатического напора.
Основное уравнение гидростатики, доказанное на примере жидкости находящейся
под действием только сил тяжести, будет справедливо и для жидкости, которое
испытывает на себе ускорение переносного движения. Под действием сил
инерции переносного движения будет меняться положение свободной поверхности
жидкости и поверхностей равного давления относительно стенок сосуда и
относительно горизонтальной плоскости. Вид этих поверхностей целиком
зависти от комбинации ускорений переносного движения и ускорения сил
тяжести. В литературе состояние равновесия жидкости при наличии переносного
движения называется относительным покоем жидкости. Любые комбинации
ускорений сводятся к двум возможным видам равновесия жидкости
Равновесие жидкости при равномерно ускоренном прямолинейном движении
сосуда. Примером может быть равновесие жидкости в цистерне, движущейся с
некоторым ускорением а. В этом случае на жидкость будут действовать силы
тяжести [pic] и сила инерции равномерно укоренного движения цистерны[pic].
Тогда равно-
действующая единичная массовая сила определиться как сумма векторов
ускорения переносного движения и ускорения свободного падения.
[pic]
При данных условиях вектор единичной массовой силы переносного движения а
будет направлен в сторону противоположную движению цистерны, ускорение
свободного падения g, как всегда ориентировано вертикально вниз, т.е. как
показано на рисунке. При движении цистерны начальное положение свободной
поверхности жидкости изменится. Новое положение свободной поверхности
жидкости, согласно основному условию равновесия жидкости будет направлена
перпендикулярно вектору[pic], т.к., равнодействующий вектор массовых сил
должен быть направлен по внутренней нормали к свободной поверхности
жидкости. Наклон свободной поверхности жидкости к горизонтальной плоскости
определяется соотношением ускорений[pic]
Выберем некоторую точку М расположенную внутри жидкости на глубине[pic]под
уровнем свободной поверхности (расстояние до свободной поверхности жидкости
измеряется по нормали к этой поверхности). В точке М выделим малую площадку
[pic]параллельную свободной поверхности жидкости. Тогда уравнение
равновесия жидкости запишется в следующем виде:
[pic]
Величину[pic]заменим эквивалентной величиной[pic], где h -погружение точки
М под уровень свободной поверхности жидкости (измеряется по вертикали). Эти
две величины
одинаковы, т.к. [pic]. После этих преобразований уравнение равновесия
жидкости в цистерне примет привычный вид, соответствующий записи основного
закона гидростатики:
[pic]
Таким образом, давление в любой точке жидкости будет зависеть только от
положения этой точки относительно уровня свободной поверхности жидкости.
Поверхности равного давления будут параллельны свободной поверхности
жидкости, и иметь такой же уклон[pic]
Равновесие жидкости в равномерно вращающемся сосуде. Свободная поверхность
жидкости, залитой в цилиндрический сосуд и находящейся под действием сил
тяжести примет форму горизонтальной плоскости на некотором
уровне[pic]относительно дна сосуда. После того как мы приведём сосуд во
вращение вокруг его вертикальной оси с некоторой постоянной угловой
скоростью со = const, начальный уровень свободной поверхности жидкости
изменится: в центре сосуда он понизится, а по краям сосуда повысится. При
этом форма свободной поверхности примет явно вид криволинейной поверхности
вращения. Это явление объясняется тем, что [pic] при вращении сосуда вокруг
своей оси жидкость в нём будет испытывать ускорение переносного
движения[pic] направленное в сторону стенок сосуда. Поскольку
равнодействующая двух сил: силы тяжести и центробежной силы должна быть
направлена по нормали к свободной поверхности жидкости в каждой точке
поверхности, то эта равнодействующая будет иметь, как быль сказано выше,
две составляющие соответственно силу тяжести, направленную вертикально вниз
и центробежную, направленную в горизонтальной плоскости.
[pic]
В каждой точке свободной поверхности жидкости АОВ вектор углового ускорения
[pic] будет направлен под некоторым углом а по отношению к касательной
плоскости, проходящей через данную точку свободной поверхности.
[pic]
Отсюда:
[pic]
В центре на оси вращения, на расстоянии [pic]от дна сосуда будет
расположена
самая низкая точка свободной поверхности жидкости, т.е.[pic]
[pic]
Отсюда: свободная поверхность жидкости находящейся в равномерно вращающемся
вокруг его вертикальной оси сосуде будет иметь вид параболоида вращения
(кривая АОВ-парабола).
Выберем любую точку жидкости на глубине под свободной поверхностью h (в
частности точка находится на дне сосуда), тогда давление в ней будет равно:
[pic]
Этот вывод можно распространить и на более сложные случаи вращения сосуда,
наклоняя ось его вращения под углом к горизонту; результат получим тот же,
что подтверждает универсальность формулы основного уравнения гидростатики.
2.4. Дифференциальное уравнение равновесия жидкости
После рассмотрения некоторых частных случаев равновесия жидкости рассмотрим
общее диф[pic] ференциальное равновесия в самом общем виде. Для этой цели
выделим отсек жидкости малых размеров в виде параллелепипеда. Масса
жидкости в выделенном объёме:
[pic]
На боковые грани параллелепипеда действуют силы давления: (на левую и
правую грани соответственно):[pic]. На переднюю и заднюю грани: [pic], на
нижнюю
и верхнюю грани:[pic]
[pic]
Поскольку давление на правую грань больше, то i[pic]
По аналогии можно записать силы давления на остальные пары граней.
на переднюю [pic], на заднюю [pic], на нижнюю
[pic] , на верхнюю[pic] Проекции массовых сил на координатные оси:
на ось ОХ будет на ось ОУ будет
на ось OZ будет[pic] Тогда сумма сил действующих вдоль оси ОХ:
[pic]
сумма сил действующих вдоль оси 07:
[pic]
сумма сил действующих вдоль оси OZ:
[pic]
где:[pic],         проекции ускорения массовых сил на координатные оси.
После преобразования получим систему дифференциальных уравнений равновесия
жидкости:
[pic] i i     >
2.5. Сообщающиеся сосуды
В своей практической деятельности человек часто сталкивается с вопросами
равновесия жидкости в сообщающихся сосудах, когда два сосуда А и В
соединены между собой жёстко или гибким шлангом. Сами сосуды (А и В) обычно
называются коленами. Такой гидравлический элемент часто используется в
различных гидравлических машинах (гидравлические прессы и др.), системах
гидропривода и гидроавтоматики, различных измерительных приборах и в ряде
других случаев. С природ[pic] ными сообщающимися сосудами человек
встречается с давних пор: сообщающимися сосудами больших размеров являются
водонасыщенные пласты горных пород с системой колодцев, играющих роль
отдельных колен природной гидродинамической системы.
В открытых сообщающихся сосудах, заполненных однородной жидкостью свободный
уровень жидкости устанавливается на одном и том же уровне в обоих коленах.
Если в коленах сосудов залиты две несмешивающиеся жидкости с различной
плотностью, то свободные уровни жидкости в правом и левом коленах
устанавливаются на разных высотах в зависимости от соотношения плотностей
жидкостей.
Для типичного случая, изображённого на рисунке, запишем уравнение
равновесия жидкости относительно уровня раздела жидкостей.
или:[pic]
В закрытых сообщающихся сосудах давления на свободную поверхность могут
быть шными, тогда уравнение равновесия будет иметь следующий вид:
[pic]
2.6.       Сила давления жидкости па плоскую поверхность, погружённую в
жидкость
Согласно основному закону гидростатики величина давления р определяется
глубиной погружения точки под уровень свободной поверхности h жидкости и
величиной
плотности жидкости р.
Для горизонтальной поверхности величина давления одинакова во всех точках
этой поверхности, т.к.:
[pic] Отсюда:[pic]
[pic]
Таким образом, Сила давления жидкости на горизонтальную поверхность (дно
сосуда) равно произведению площади этой поверхности на величину давления на
глубине погружения этой поверхности. На рисунке показан так называемый
«гидравлический парадокс», здесь величины силы давления на дно всех сосудов
одинаковы, независимо от формы стенок сосудов и их физической высоты, т.к.
площади доньев у всех сосудов одинаковы, одинаковы и величины давлений.
Сила давления на наклонную поверхность, погруженную в жидкость.
Практическим примером такой поверхности может служить наклонная стенка
сосуда. Для вывода урав-
нения и вычисления силы давления на стенку выберем следующую систему
координат: ось ОХ направим вдоль пересечения плоскости свободной
поверхности жидкости с наклонной стенкой, а ось OZ направим вдоль этой
стенки перпендикулярно оси ОХ. Тогда в качестве координатной плоскости XOZ
будет выступать сама наклонная стенка. На плоскости стенки выделим малую
площадку[pic], которую, в связи с малыми размерами можем считать
горизонтальной. Величина давления на глубине площадки будет равна:
[pic]
где: h - глубина погружения площадки относительно свободной поверхности
жидкости (по вертикали).
[pic] Сила[pic]давления[pic]dP на площадку:
Для определения силы давления
на всю смоченную часть наклонной стенки (часть площади стенки сосуда,
расположенная ниже уровня свободной поверхности жидкости) необходимо
проинтегрировать это уравнение по всей смоченной части площади стенки S .
[pic]
Интеграл[pic] представляет собой статический момент площади S относительно
оси ОХ. Он, как известно, равен произведению этой площади на координату её
центра тяжести zc. Тогда окончательно:
[pic]
Таким образом, сила давления на наклонную плоскую поверхность, погружённую
в жидкость равна смоченной площади этой поверхности на величину давления в
центре тяжести этой площади. Сила давления на плоскую стенку кроме величины
и направления характеризуется также и точкой приложения этой силы, которая
называется центром давления.
Центр давления силы атмосферного давления p0S будет находиться в центре
тяжести площадки, поскольку атмосферное давление передаётся на все точки
жидкости одинаково. Центр давления самой жидкости на площадку можно
определить исходя из теоремы о моменте равнодействующей силы. Согласно этой
теореме момент равнодействующей
силы относительно оси ОХ будет равен сумме моментов составляющих сил
относительно этой же оси.
[pic]
откуда:[pic]
где:- положение центра избыточного давления на вертикальной оси,
[pic] - момент инерции площадки S относительно оси ОХ.
Отсюда центр давления (точка приложения равнодействующей силы избыточного
давления) расположен всегда ниже центра тяжести площадки. В сучаях, когда
внешнней действующей силой на свободную поверхность жидкости является сила
атмосферного давления, то на стенку сосуда будут одновременно действовать
две одинаковые по величине и противоположные по направлению силы
обусловленные атмосферным давлением (на внутреннюю и внешнюю стороны
стенки). По этой причине реальной действующей несбалансированной силой
остаётся сила избыточного давления.
2.7. Сила давления на криволинейную поверхность, погружённую в жидкость
Выберем внутри покоящейся жидкости криволинейную поверхность ABCD, которая
может быть частью поверхности некоторого тела погруженного в жидкость.
Построим проекции этой поверхности на координатные плоскости. Тогда в
координатной плоскости XOZ проекцией этой поверхности будет плоская
поверхность [pic], в координатной
плоскости YOZ — плоская поверхность[pic] и в плоскости свободной
поверхности
жидкости (координатная плоскость ХОТ) - плоская поверхность [pic]. На
криволи-
нейной поверхности выделим малую площадку dS, проекции которой на
координатные
плоскости будут соответственно [pic] . Сила давления на криволинейную
поверхность dP будет направлена по внутренней нормали к этой поверхности и
может быть представлена в виде:
Горизонтальные составляющие могут быть определены, как силы давления
'[pic]' -                                                на
проекции[pic]малой площадки dS на соот-
ветствующие координатные плоскости:
[pic]
[pic]
Интегрируя эти уравнения, получим (как в случае с давлением на наклонную
поверхность):
[pic]
Вертикальная составляющая силы давления:
^[pic]
Второй интеграл в этом равенстве представляет собой объём образованный
рассматриваемой криволинейной поверхностью ABCD и её проекцией на свободную
поверхность жидкости[pic]. Этот объём принято называть телом давления[pic]
[pic]
Таким образом, горизонтальные составляющие силы давления на криволинейную
поверхность равны давлениям на вертикальные проекции этой поверхности, а
вертикальная составляющая равна весу тела давления, и силе внешнего
давления на горизонтальную проекцию криволинейной поверхности.
Основные уравнения гидростатики широко используются на практике. Примероми
могут служить простейшие гидравлические машины - гидравлический пресс,
построенный по принципу сообщающихся сосудов и гидравлический аккумулятор.
Гидравлический пресс состоит из двух цилиндров приводного (1) и рабочего
(2) со-
единеных между собой трубопроводом и представляет систему сообщающихся
сосудов. В приводном цилиндре перемещается плунжер малого диаметра d, в
рабочем цилиндре находится поршень с большим диаметром D. Связь между
плунжером и рабочим поршнем осуществ[pic] ляется через рабочую жидкость,
заполняющую гидравлическую систему (сообщающиеся сосуды). Усилие F через
рычаг передаются рабочей жидкости.
Сила давления на жидкость под плунжером Р] передаёт жидкости давление р,
которое, в свою очередь, передаётся во все точки рабочего поршня.
[pic]
Тогда сила давления на поверхность рабочего поршеня будет равна'
[pic]
Таким образом, с помощью гидравлического пресса, приложенная к концу рычага
^ сила, увеличивается в[pic]раз.
2.8. Равновесие твёрдого тела в жидкости
Определим силу давления на твёрдое тело, погружённое в жидкость. На
замкнутую криволинейную поверхность, являющуюся поверхностью твердого тела
погружённого в
жидкость будут действовать массовые силы (в данном случае силы тяжести) и
поверхностные, силы давления на поверхность тела. Рассмотрим действие сил
давления. Как известно, горизонтальные составляющие силы давления будут
взаимно уравновешены. Так как проекции тела на координатную плоскость XOZ с
его левой и правой сторон [pic] совпадут; то совпадут и координаты центров
тяжести этих проекций. Тогда проекции сил давления на ось
ОХ будут одинаковыми по величине, но противоположными по направлению[pic]
Аналогично можно записать и для проекций сил давления на ось OY (давление
на проекции поверхностей в координатной плоскости YOZ),[pic].
Неуравновешенными будут
лишь вертикальные составляющие силы давления, действующие на верхнюю и
нижнюю стороны поверхности тела.
Вертикальными сечениями выделим на верхней и нижней половинах тела малые
площадки. Тогда вертикальные составляющие на верхнюю и нижнюю площадки
будут равны:
[pic]
После интегрирования по объёму тела найдём равнодействующую сил давления.
Она окажется равной разности весов двух тел давления, ограниченных
свободной поверхностью жидкости и верхней и нижней поверхностями тела.
[pic]
Равнодействующая сил давления носит название выталкивающей силы, эта сила
направлена вертикально вверх и численно равна весу жидкости в объёме
вытесненной телом. Последнее положение получило название закона Архимеда.
Закон Архимеда часто формулируют несколько иначе: «тело, погружнное в
жидкость теряет в своём весе столько сколько весит вытесненная им
жидкость».
Таким образом, На погружённое в жидкость тело действуют две силы:
вес тела[pic]и выталкивающая сила[pic]
Если[pic]Тело будет тонуть.
Если[pic]Тело будет всплывать до тех пор пока вес тела и величина
выталкивающей силы, действующей на погруженную часть объёма тела не
уравновесятся.
Если[pic]Тело будет находиться во взвешенном состоянии в жидкости,
т.е. плавать внутри жидкости на любой заданной глубине.
Для тела плавающего на поверхности жидкости должно, таким образом
выполняться условие:
[pic]
Другими словами, степень погружения плавающего на поверхности тела под
уровень жидкости заваисит от со[pic] отношения плотности тела[pic]и
жидкости:
Если тело однородное, то точка приложения силы тяжести тела и точка
приложения выталкивающей силы совпадают. В тех случаях, когда плавающее на
поверхности жидкости тело не однородно по своему составу (корабль с грузом)
в условиях равновесия точки приложения действующих на тело сил
располагаются в разных местах на прямой вертикальной линии. В таких случаях
на плавающее в жидкости тело действует пара сил, от
действия которой зависит положение тела относительно жидкости Такие
плавающие тела могут находиться в остойчивом и не остойчивом состоянии Так
тело 1 под действием пары сил находится в состоянии равновесия На тело 2
действует пара сил, стремящаяся уменьшить угол крена (угол между осью
плавания тела и плоскостью сво[pic] бодной поверхности жидкости) Такое
положение плавающего тела называется остойчивым На тело 3 действует пара
сил, стремящаяся увеличить угол крена (перевернуть тело), такое положение
тела называется не остойчивым положением
;                 t*                  3. Элементы кинематики жидкости
Кинематикой называют раздел механики, изучающий движение физических тел
вообще, вне связи с источником движения (силами). Это определение
справедливо и для кинематики жидкости как отдельного раздела гидравлики.
3.1. Методы изучения движения жидкости.
Жидкость представляет собой физическое тело, состоящее из бесконечно
большого числа бесконечно малых частиц. С большой степенью точности мы
можем рассматривать жидкое тело как сплошную среду, эта модель позволяет
значительно упростить решение большинства гидравлических задач. Тем не
менее, нередки случаи, когда уровень исследования движения жидкого тела
требует глубокого знания физических процессов происходящих в движущейся
жидкости на молекулярном уровне. В таких случаях вполне удобная модель
сплошной среды может оказаться неприемлемой.
Исходя из практики изучения гидравлики как прикладной дисциплины, можно
упомянуть два метода изучения движения жидкости: метод Лагранжа и метод
Эйлера.
Описание движения жидкости методом Лагранжа сводится к рассмотрению
положения частиц жидкости (в полном смысле слова) в любой момент времени.
Так в начальный момент времени частицы находились в точках 1, 2, 3 и 4. По
истечении некоторого времени они переместились в точки: Г, 2',3'и4', причём
это перемещение сопровождалось изменением объёмов и форм частиц (упругой
деформацией). Тогда можно утверждать, что частицы жидкости при [pic] своём
движении участвуют в трёх видах движения (поступательном, вращательном и
деформации). Для описания такого сложного движения жидкости необходимо,
таким образом, определить как траектории частиц, так и гидравлические
характеристики частиц (плотность р, температуру Т и скорость и) в функции
времени и координат.
[pic]
Переменные а, Ь, с, и / носят название переменных Лагранжа. Задача сводится
к решению систем дифференциальных уравнений в частных производных для
каждой части-
цы жидкости. Метод Лагранжа ввиду громоздкости и трудности решения может
использоваться в случаях детального изучения поведения лишь отдельных
частиц жидкости. Использование этого метода для инженерных расчётов не
рентабельно.
Суть другого метода, метода Эйлера заключается в том, что движение жидкости
подменяется изменением поля скоростей. Под полем скоростей понимают
некоторую достаточно большую совокупность точек бесконечного пространства
занятого движущейся жидкостью, когда в каждой точке пространства в каждый
момент времени находится частица жидкости с определённой скоростью
(вектором скорости). Припишем неподвижным точкам пространства скорость
частиц жидкости, которые в данный момент времени находятся в этих точках.
Поскольку пространство бесконечно и непрерывно, то мы имеем массив данных о
скоростях достаточно полный, чтобы определить (задать) поле в каждой его
точке. Условно, нос достаточной точностью такое поле можно считать
непрерывным.
Несмотря на то, что исходные условия создания модели движущийся жидкости
довольно сложные, тем не менее, метод Эйлера весьма удобен для расчётов.
Построение поля скоростей осуществляется следующим образом:
На некоторый момент времени (например, to) произвольным образом выберем
необходимое число точек, в которых находятся частицы жидкости.
Приписав           их           скорости [pic] точкам неподвижного
пространства (1, 2, 3, 4, 5 и 6) мы сделаем «моментальную фотографию» поля
скоростей на выбранный момент времени. В следующий момент времени [pic]в
тех же выбранных точках
неподвижного пространства будут находиться другие частицы жидкости, имеющие
другие скорости [pic]. Выполнив уже
известную процедуру второй раз, получим но[pic] вую «моментальную
фотографию» поля скоростей на момент времени[pic]. Теперь вместо изучения
траекторий частиц жидкости
будем сравнивать поля скоростей. Тогда система уравнений примет вид:
[pic]
Поле скоростей движения жидкости иногда называют гидродинамическим полем по
аналогии с электромагнитным, тепловым и др. полями. Это определение не
противоречит физической стороне процесса движения жидкости. Анализируя
состояние гидродинамического поля на разные моменты времени[pic], можно
отметить, что с течением времени поле изменилось, несмотря на то, что в
отдельных точках 5 и 6 скорости остались постоянными[pic] Такое поле
называют нестационарным гидродинамическим полем. В частном случае, когда во
всех точках неподвижного пространства с течением времени предыдущие частицы
жидкости сменяются другими с такими же скоростями, то поле скоростей во
времени не меняется. Такое гидродинамическое поле называют стационарным. В
соответствии с этим различают и два вида движения жидкости: установившееся,
когда поле скоростей является стационарным и неустановившееся при
нестационарном гидродинамическом поле.
3.2.Кинематические элементы движущейся жидкости
Основной кинематической характеристикой гидродинамического поля является
линия тока - кривая, в каждой точке которой вектор скорости направлен по
касательной к кривой. И ходя из данного определения можно записать
дифференциальное уравнение линии [pic] тока:
[pic]
Если через некоторую неподвижную в пространстве кривую провести линии тока,
то полученная поверхность называется поверхностью тока, а образованное этой
поверхностью тело будет называться трубкой тока. Жидкость, наполняющая
трубку тока, называется элементарной струйкой. Поскольку линии тока никогда
не пересекаются, то поверхность трубки тока является непроницаемой [pic]
внешней границей для элементарной струйки жидкости. Сечение трубки тока,
нормальное к линиям тока называется живым сечением элементарной струйки dS.
При установившемся движении жидкости понятия линии тока и траектории
движения частицы жидкости совпадают. Объём жидкости протекающий через живое
сечение элементарной струйки в единицу времени называется расходом
элементарной струйки.
[pic] ?
где:     [pic] объём жидкости, протекающий через живое сечение трубки тока
за
время[pic]
[pic] расход жидкости в живом сечении трубки тока. Размерность расхода
жидкости в системе СИ -м/с.
Гидродинамическое поле считается потенциальным (безвихревым), если в этом
поле отсутствует вихревое движение жидкости. В потенциальном поле может
существовать лишь поступательное или криволинейное движение жидкости. 3.3
Уравнение неразрывности жидкости
Если в гидродинамическом поле отсутствуют вихри, то; для такого поля можно
записать уравнение, связывающее параметры движущейся жидкости (плотность
жидкости) с
параметрами, характеризующими условия движения жидкости. Вывод такого
уравнения основан на представлении жидкости как сплошной непрерывной среды,
в силу чего такое уравнение получило название уравнения неразрывности.
Для этой цели выделим в пространстве малый элемент жидкой среды в виде
па[pic] раллелепипеда, стороны которого будут равны соответственно.[pic].
Грани
параллелепипеда пусть будут параллельны координатным плоскостям. В центре
элемента в данный момент времени будет находиться частица жидкости,
плотность которой равна р, а вектор скорости движения и направлен таким
образом, что жидкость втекает внутрь элемента через левую, нижнюю и
переднюю грани элемента и вытекает через противоположные грани. Будем
считать также, что размер элемента достаточно мал, и можно допустить, что в
пределах этого элемента изменение плотности жидкости и скорости её движения
будет прямо пропорционально расстоянию от центра элемента. Одновременно
размеры граней будут достаточно велики по сравнению с точкой, что позволит
утверждать, что плотность жидкости и скорость во всех точках граней будут
одинаковыми, как и плотность жидкости в пределах соответствующих граней.
Тогда произведение плотности жидкости на вектор скорости (импульс) в
специальной литературе часто называют вектором
массовой скорости ри.
В таком случае проекция вектора массовой скорости в центре левой грани
элемента на ось ОХ будет равна:
[pic]
а проекция вектора массовой скорости в центре правой грани элемента на ось
ОХ:
[pic] &
Масса жидкости, поступившая через левую грань элемента за малый интервал
времени dt\
[pic]
масса жидкости, вытекшая через правую грань элемента за малый интервал
времени dt:
[pic]
Изменение массы жидкости внутри элемента при движении жидкости вдоль оси
ОХ:
[pic]
Аналогично, изменение массы жидкости внутри элемента при движении жидкости
вдоль оси OY:
                                   1,
[pic]
и вдоль оси OZ:
[pic]
Окончательно, изменение массы жидкости внутри элемента при движении
жидкости в произвольном направлении:
[pic] ? или
[pic]
Величина плотности жидкости в начальный момент (до начала движения жидкости
t = Q) -   р, а по истечении бесконечно малого интервала времени (т.е.[pic]
[pic]
Масса жидкости в объёме выделенного элемента в начальный момент времени:
[pic]
для времени[pic]:
[pic]
Изменение массы жидкости за бесконечно малый интервал времени dt:
[pic] •> или:
[pic] i
откуда для наиболее общего случая нестационарного поля[pic]дифференциальное
уравнение неразрывности запишется в следующем виде:
[pic]
и для частного случая - стационарного поля[pic]:
[pic] «
В векторной форме уравнения неразрывности жидкости запишутся в следующем
виде:
[pic] ?
3.4 Уравнение неразрывности для элементарной струйки жидкости
Выделим в элементарной струйке жидкости двумя сечениями 1 - Г и 2 - 2'
малый отсек жидкости длиной dl. Объём жидкости внутри выделенного
отсека[pic]
[pic] Масса жидкости, вошедшая в элементарную трубку тока за временной
интервал dt, будет равна:
[pic]
Масса жидкости, вытекшая за это же время через противоположное сечение
отсека:
1 В данном разделе для удобства записи вместо принятых ранее обозначений
площади сечения элементарной струйки жидкости dS и элементарного расхода
жидкости dQ используются обозначения: S и Q.
[pic]
За тот же интервал времени масса жидкости внутри отсека изменится на
величину:
^    * откуда
[pic] *
Окончательно формула может быть представлена в виде
[pic]
При установившемся движении жидкости (р = const) уравнение неразрывности
примет вид:
[pic]
3.5 Элементы кинематики вихревого движения жидкости
Поступательному движению жидкости часто сопутствует вихревое движение,
вызванное вращением элементарного объёма жидкости вокруг некоторой оси
Такое вращение жидкости называется вихрем; угловая скорость этого
элементарного объёма является основной характеристикой вихря Касательная в
любой точке вектора вихря - вихревая линия Поверхность образованная
вихревыми линиями, проведенными через точки замкнутого контура, называется
вихревой трубкой Прямолинейную вихревую трубку с бесконечно малой площадью
сечения можно рассматривать как вращающийся твердый цилиндр, окружная
скорость которого пропорциональна радиусу. Кинематической характеристикой
вихревого течения жидкости является циркуляция скорости, которая служит
мерой завихренности.                                   '
[pic] 5
где:       Г - циркуляция вектора скорости,
- проекция вектора скорости на касательную к этому контуру в i-той точ-
ке
[pic] - элемент длины контура
В тех случаях, когда вращение жидкости в определённых точках пространства
происходит с постоянной скоростью и положение вихря с течением времени не
меняется, то такое вихревое движение принято называть стационарным вихрем В
иных случаях вихревое движение следует считать не стационарным.
3.6.         Поток жидкости
Поток жидкости представляет собой совокупность элементарных струек
жидкости. По этой причине основные кинематические характеристики потока во
многом совпадают по своему смыслу с аналогичными характеристиками для
элементарной струйки жидкости. Тем не менее, различия всё же имеются. Так в
отличие от элементарной струйки, которая отделена от остальной жидкости
поверхностью трубки тока, образованной линиями тока, поток жидкости имеет
реальные границы в виде твёрдой среды, газообразной или жидкой сред. По
типу границ потоки можно разделить на следующие виды:
напорные, когда поток ограничен твёрдой средой по всему периметру сечения,
безнапорные, когда часть сечения потока представляет собой свободную
поверхность жидкости,
гидравлические струи, когда поток ограничен только жидкой или газообразной
средой. Если гидравлическая струя ограничена со всех сторон жидкостью, то
она называется затопленной гидравлической струёй, если гидравлическая струя
ограничена со всех сторон газовой средой, то такая струя называется
незатопленной.
Поперечное сечение потока, расположенное нормально к линиям тока,
называется живым сечением потока. Площадь живого сечения потока
определяется соотношением:
[pic]
Расход жидкости в потоке определяется как отношение объёма жидкости
протекающее через живое сечение потока к интервалу времени или определяется
следующим соотношением:
[pic]
Кроме известной размерности расхода в системе СИ м3/с имеется целый набор
внесистемных единиц для измерения расхода жидкости в потоке: м3/сут, л/чс,
л/с, и др.
Средней скоростью в живом сечении потока называется величина:
[pic]
Смоченным периметром живого сечения потока П называется часть контура
живого сечения потока, которая ограничена твёрдой средой. (На рисунке
смоченный пери[pic] метр выделен жирной линией).
Отношение площади живого сечения потока к длине
смоченного периметра называется гидравлическим радиусом живого сечения.
[pic]
Величина гидравлического радиуса круглого сечения радиуса г:
[pic]
равна половине величины его геометрического радиуса. Величина
гидравлического радиуса трубы квадратного сечения со стороной а, (полностью
заполненной жидкостью)
равна[pic]
4. Динамика идеальной жидкости
4.1. Дифференциальное уравнение движения идеальной жидкости (при
установившемся движении) и его интегрирование
Для вывода уравнения движения жидкости обратимся к записанному ранее
уравнению равновесия жидкости (в проекциях на координатные оси), иначе
говоря: [pic] . Поскольку в идеальной жидкости никаких сосредоточенных сил
действовать не может, то последнее уравнение чисто условное. Когда
равнодействующая отлична от 0, [pic]то жидкость начнёт двигаться с
некоторой скоростью, т.е. в соответствии со вторым законом Ньютона, частицы
жидкости, составляющие жидкое тело получат ускорение.
[pic]
Тогда уравнение движения жидкости в проекциях на координатные оси можно
записать в следующем виде:
[pic]
Согласно основному положению о поле скоростей (метод Эйлера) для проекций
скоростей движения жидкости можно записать следующее:
[pic]
или (для установившегося движения жидкости):
[pic]
Найдём первые производные от скоростей по времени, т.е. определим ускорения
вдоль осей координат:
[pic]
отметим, что:[pic]
[pic]
'         *
                                                                     /
Теперь подставив выражения для ускорений в исходную систему
дифференциальных уравнений движения жидкости, получим систему уравнений
Эйлера в окончательном ви-де2:
[pic]
Теперь вновь обратимся к системе дифференциальных уравнений движения
жидкости, умножив обе части 1-го уравнения на dx, 2-го уравнения на dy, 3-
го уравнения на dz, получим:
[pic]
и просуммировав эти уравнения по частям, получим:
[pic]
2 При неустановившемся движении жидкости уравнения Эйлера дополняются
первыми слагаемыми.
[pic]
Преобразуем       левую       часть       полученного       уравнения,
 полагая,       что
[pic] в результате запишем
[pic]
Слагаемые в правой части уравнения являются полными дифференциалами
функций.
[pic]
Теперь уравнение примет вид
[pic]
Если из массовых сил на жидкость действует только сила тяжести, то[pic], и
>       ,*
тогда получим:
[pic]
После интегрирования получим:
[pic] ?
разделив почленно все члены уравнения на g, получим так называемое
уравнение Бернулли
[pic]
Здесь величина Н называется гидродинамическим напором Величина
гидродинамического напора постоянна для всех живых сечений элементарной
струйки идеальной жидкости.
4.2. Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости
Выделим двумя нормальными к линиям тока сечениями 1 - 1 и 2 - 2 отсек
жидкости, который будет находиться под действием сил давления[pic]и сил
тяжести dG Под действием этих сил через малый промежуток времени отсек
жидкости из своего первоначального положения переместится в положение между
__сечениями[pic] Силы давления, приложен[pic] ные к живым сечениям отсека с
правой и с левой сто-
рон имеют противоположные друг другу направления.
[pic]
Перемещение всего отсека жидкости можно заменить перемещением массы
жидкости между сечениями: 1-1иГ-Г в положение 2-2и2'-2', при этом
центральная часть отсека жидкости (можно утверждать) своего первоначального
положения не меняет и в движении жидкости участия не принимает.
Тогда работа сил давления по перемещению жидкости[pic]можно определить
следующим образом:
[pic]
Работа сил тяжести будет равна работе по перемещению веса отсека жидкости
на разницу уровней[pic]
При перемещении отсека жидкости кинетическая энергия изменится на величину:
[pic] f
Теперь запишем общее уравнение баланса энергии:
[pic]
Разделив все элементы уравнения на dG и, переместив в левую часть уравнения
величины с индексами «1» а в правую - с индексом «2», получим:
[pic]
Это последнее уравнения носит название уравнения Бернулли для элементарной
струйки идеальной жидкости.
4.3. Интерпретация уравнения Бернулли
Все члены уравнения Бернулли имеют линейную размерность и представляют
собой напоры:
z - называется геометрическим напором (геометрической высотой),
представляет собой место положения центра тяжести живого сечения
элементарной струйки относительно плоскости сравнения,
[pic]
[pic] -  называется  пьезометрическим  напором  (пьезометрической
высотой),
представляет собой высоту, на которую могла бы подняться жидкость при
отсутствии движения
[pic] - носит название скоростного напора.
[pic] - носит название гидродинамического напора
Уравнение Бернулли является выражением закона сохранения механической
энергии движущейся жидкости, по этой причине все части уравнения
представляют собой величины удельной энергии жидкости:
z - удельная энергия положения,
[pic] - удельная энергия давления,
[pic] - удельная потенциальная энергия,
[pic] - удельная кинетическая энергия
[pic] - удельная механическая энергия.
5. Динамика реальной (вязкой жидкости)
При изучении движения реальной (вязкой жидкости) можно пойти двумя разными
путями:
воспользоваться готовыми дифференциальными уравнениями и их решениями,
полученными для идеальной жидкости. Учёт проявления вязких свойств
осуществляется с помощью введения в уравнения дополнительных поправочных
членов уравнения, вывести новые уравнения для вязкой жидкости.
Для практической инженерный деятельности более приемлемым следует считать
первый полуэмпирический путь, второй следует использовать лишь в тех
случаях, когда требуется детальное изучение процесса движения вязкой
жидкости. По этой причине ограничимся лишь записью систем дифференциальных
уравнений Навье - Стокса и поверхностным анализом этих уравнений.
5.1. Система дифференциальных уравнений Навье - Стокса
[pic]
При[pic]= const и[pic]= const система уравнений значительно упростятся:
[pic]
Пренебрегая величинами вторых вязкостей[pic]и считая жидкость несжимаемой
(р = const), уравнения Навье - Стокса запишутся в следующем виде:
[pic]
К уравнениям Навье - Стокса в качестве дополнительного уравнения
принимается уравнение неразрывности. Учитывая громоздкость и трудность
прямого решения задачи в практической деятельности (в случаях, когда это
считается допустимым) решение достигается первым методом (по аналогии с
движением идеальной жидкости).
5.2. Уравнение Бернулли для элементарной струйки вязкой жидкости
Выделим в элементарной струйке жидкости двумя сечениями 1 - 1 и 2 - 2 отсек
жидкости. Отсек жидкости находится под действием сил давления[pic]и сил
тяжести на жидкость в отсеке действуют также силы инерции самой движущейся
жидкости, а также силы трения, препятствующие перемещению [pic] жидкости. В
результате действия сил внутреннего трения часть механической энергии
жидкости расходуется на преодоление возникающих сопротивлений. По этой
причине величины гидродинамических напоров в сечениях будут неодинаковы.
Естественно, что[pic] //2 .Тогда разность гидродинамических напоров в
крайних сечениях отсеков[pic] будут как раз характеризовать потери напора
на преодоление сил трения. Эта величина носит название потерь напора на
трение[pic]
В этом случае уравнение Бернулли примет следующий вид:
[pic]
[pic] - потери удельной энергии (преобразование потенциальнойэнергии
жидкости в тепловую энергию при трении).
Величина[pic]носит название гидравлического уклона.
5.3. Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости
При массовом расходе в живом сечении элементарной струйки .[pic] кинети-
ческая энергия жидкости проходящей через это сечение в единицу времени
будет равна:
[pic]
Суммируя величины кинетической энергии всех элементарных струек проходящих
через живое сечение потока жидкости, найдём полную кинетическую энергию для
всего
д
живого сечения потока
[pic]
С другой стороны, полагая, что скорости во всех элементарных струйках
одинаковы и равны средней скорости движения жидкости в живом сечении
потока, таким же образом вычислим полную кинетическую энергию в этом же
живом сечении потока.            ' '
[pic]
Вполне очевидно, что величины этих энергий не равны, т.е.
[pic]
Тогда коэффициент, учитывающий неравномерность распределения скоростей по
сечению (коэффициент Кориолиса) можно определить как соотношение
кинетических энергий:
т?[pic]
Внося эту поправку в уравнение для элементарной струйки жидкости, получим
уравнение для потока конечных размеров. Практически а= 1.0- 2,0.
[pic]
Кроме коэффициента Кориолиса, учитывающего неравномерность распределения
кинетической энергии по живому сечкнию потока, существует аналогичный
показатель для величины количества движения, коэффициент Буссинэ[pic]
Секундное количество движения для потока жидкости можно определить как
интегральную сумму количества движения элементарных масс жидкости,
протекающих через бесконечно малые площадки ds в пределах площади всего
живого сечения S, т.е.
[pic]
Аналогичным образом, величина количества движения жидкости в живом сечении
при условии равномерного распределения сколостей по сечению потока будет:
[pic]
Отсюда коэффициент Буссинэ определится следующим образом:
[pic]
В связи с тем, что величина коэффициента количества движения (коэффициент
Буссинэ) невелика и не превышает 1,05, поправкой в расчётах обычно
пренебрегают,
5.4. Гидравлические сопротивления
Потери удельной энергии в потоке жидкости, безусловно, связаны с вязкостью
жидкости, но сама вязкость - не единственный фактор, определяющий потери
напора. Но можно утверждать, что величина потерь напора почти всегда
пропорциональны квадрату средней скорости движения жидкости. Эту гипотезу
подтверждают результаты большинства опытных работ и специально поставленных
экспериментов. По этой причине потери напора принято исчислять в долях от
скоростного напора (удельной кинетической энергии потока). Тогда:
[pic]
Потери напора принято подразделять на две категории:
потери напора, распределённые вдоль всего канала, по которому перемещается
жидкость (трубопровод, канал, русло реки и др.), эти потери пропорциональны
длине канала и называются потерями напора по длине[pic] сосредоточенные
потери напора: потери напора на локальной длине потока (достаточно малой по
сравнению с протяжённостью всего потока). Этот вид потерь во многом зависит
от особенностей преобразования параметров потока (скоростей, формы линий
тока и др.). Как правило, видов таких потерь довольно много и их
расположение по длине потока зачастую далеко не закономерно. Такие потери
напора называют местными потерями или потерями напора на местных
гидравлических сопротивлениях. Это вид потерь напора
также принято исчислять в долях от скоростного напора[pic]
Тогда полные потери напора можно представить собой как сумму всех видов
потерь напора:
[pic]
Оценка величины местных потерь напора практически всегда базируются на
результатах экспериментов, по результатам таких экспериментов определяются
величины коэффициентов потерь. Для вычисления потерь напора по длине
имеются более или менее надёжные теоретические предпосылки, позволяющие
вычислять потери с помощью привычных формул.
5.5. Потери напора на местных гидравлических сопротивлениях Несмотря на
многообразие видов местных гидравлических сопротивлений, их всё же можно
при желании сгруппировать:
потери напора в руслах при изменении размеров живого сечения, потери напора
на местных гидравлических сопротивлениях, связанных с изменением
направления движения жидкости, потери напора при обтекании преград.
Внезапное расширение русла. Внезапное расширение русла чаще всего
наблюдается
на стыке участков трубопроводов, когда один трубопровод сочленяется с
магистральным трубопроводом большего диаметра. Величина коэффициента потерь
напора в данном случае определяется с достаточной точностью на
теоретическом уровне. Поток жидкости движущейся в трубопроводе меньшего
диаметра d, попадая в трубу [pic] большего диаметра, касается стенок нового
участка трубопровода не сразу, а лишь в сечении 2-2'. На участке между
сечениями 1 - Г и 2-2' образуется зона, в которой жидкость практически не
участвует в движении по трубам, образуя локальный вихревой поток, где
претерпевает деформацию. По этой причине часть кинетической энергии
движущейся жидкости тратиться на поддержание «паразитного» сращения и
деформации жидкости. Величины средних скоростей жидкости в сечениях можно
определить из условия неразрывности.
[pic]
Тогда величина потерь напора при внезапном расширении русла определится:
[pic]
Таким образом, можно сказать, что потеря напора при внезапном расширении
потока равна скоростному напору, соответствующему потерянной скорости.
[pic]
Плавное расширение русла (диффузор). Плавное расширение русла называется
диффузором. Течение жидкости в диффузоре име-
'ет сложный характер. Поскольку живое сече-
ние потока постепенно увеличивается, то, соответственно, снижается скорость
движения [pic] жидкости и увеличивается давление. Поскольку, в этом случае,
в слоях жидкости у стенок
диффузора кинетическая энергия минимальна (мала скорость), то возможна
остановка жидкости и интенсивное вихреобразование. По этой причине потери
энергии напора в диффузоре будут зависеть от потерь напора на трение и за
счёт потерь при расширении:
[pic]
[pic] 2
где:    [pic]- площадь живого сечения на входе в диффузор,
S2 - площадь живого сечения на выходе из диффузора, а - угол конусности
диффузора,
[pic] - поправочный коэффициент, зависящий от условий расширения потока в
диффузоре.
Внезапное сужение канала. При внезапном сужении канала поток жидкости
отрывается от стенок входного участка и лишь затем (в сечении 2 -
2)касается стенок канала
меньшего размера. В этой области потока — * образуются две зоны
интенсивного вихре-образования (как в широком участке трубы, так и в
узком), в результате чего, как и в предыдущем случае, потери напора
скла[pic] дываются из двух составляющих (потерь на трение и при сужении).
Коэффициент
потерь напора при гидравлическом сопротивлении внезапного сужения потока
можно определить по эмпирической зависимости, предложенной И.Е. Идельчиком:
[pic]
или взять по таблице:
Плавное[pic]сужение канала. Плавное сужение канала достигается с помощью
конического участка называемого конфузором. Потери напора в конфузоре
образуются практически за счёт трения, т.к. вихреобразование в конфузоре
практически отсутствует. Коэффициент потерь напора в конфузоре можно
определить по формуле:
,    t                           f ~                       *[pic]
При большом угле конусности а >50° коэффициент потерь напора можно
определять по формуле с внесением поправочного коэффициента.[pic]
Нормальный вход в трубу. Из резервуаров, где хранятся жидкости вход в
выкидной трубопровод осуществляется в так называемом нормальном исполнении,
т.е. когда осевая линия патрубка трубопровода располагается по нормали к
боковой стенку резервуара. Этот вид гидравлических сопротивлений также
можно отнести к сопротивлениям связанным с изменением размеров русла,
просто здесь размеры нового русла [pic] бесконечно малы по сравнению с

Copyright © 2004—2005 «РефСтар»