реферат Атомические разложения функций в пространстве Харди

Міністерство  Освіти  України

                       Одеський державний університет

                              ім. І.І.Мечнікова

                 Інститут математики, економіки та механіки



                        Атомічні розкладення функцій
                              у просторі Харді



                                   Дипломна робота
                                   студентки V курсу
                                   факультету математики
                                   Семенцовой В.А.

                                   Науковий керівник
                                   Вартанян Г.М.



                                Одеса - 2000



                                 Содержание

Введение....................................................................
................   3

Глава I.  Основные сведения об интеграле Пуассона и
                          пространствах            [pic],             [pic]и
[pic].................................  8
§I.1.                                                               Интеграл
Пуассона.....................................................  8
§I.2.                                                           Пространства
[pic].......................................................  12
§I.3.                              Пространства                       [pic]и
[pic].........................................  17
§I.4.        Произведение  Бляшке,  нетангенциальная
                                                                максимальная
функция............................................... 22

Глава II. Атомические разложения функции в пространстве
                                    [pic],                      пространство
ВМО........................................ 26
§II.1.       Пространство  [pic], критерий принадлежности
                       функции        из        [pic]           пространству
[pic]....................... 26
§II.2.       Линейные ограниченные функционалы на [pic],
                            двойственность              [pic]              и
ВМО.................................. 32

Литература..................................................................
................ 37



                                  Введение.

    Целью  настоящей  работы   является   изучение   основных   понятий   и
результатов, полученных  в области пространств Харди, которая  не  изучалась
в рамках университетского  курса.  В  работе  прослежена  взаимосвязь  между
следующими понятиями : интеграл Пуассона, пространства [pic] , [pic],  [pic]
 и  [pic], раскрыта суть  и  структура  этих  объектов.  Описание  указанных
понятий вводится именно в такой последовательности  ,  так  как  определение
каждого последующего объекта дается на основе понятий,  расположенных  левее
в выше перечисленном ряду объектов.
    Работа состоит из двух глав, каждая из которых делится на параграфы.  В
первой главе изучены свойства пространств [pic] , [pic], [pic], а во  второй
мы доказываем коитерий принадлежности функции из [pic] пространству [pic]  и
двойственность пространств [pic] и [pic].
    В  работе   мы   рассматриваем   случай   [pic]периодических   функций.
Используемые обозначения имеют следующий смысл:
    [pic] - пространство [pic]периодических, непрерывных на [pic] функций;
    [pic]- пространство [pic]периодических, бесконечно дифференцируемых  на
[pic]функций;
    [pic] - пространство [pic]периодических, суммируемых  в  степени  р  на
[pic]функций, т.е.для которых [pic], [pic];
    [pic]- пространство [pic]периодических ограниченных на [pic] функций;
    [pic]- носитель функции [pic].


    В  §I.1.вводится  понятие  интеграла  Пуассона:   интегралом   Пуассона
суммируемой на  [-(,(]   2(-периодической  комплекснозначной  функции  [pic]
называется функция
                             (r ( x ) = [pic] ,
где     [pic] ,   t ( ((((((((((- ядро Пуассона.
    Здесь мы доказываем следующие свойства ядра Пуассона, которые мы
неоднократно будем использовать в  ряде доказательств:
       а) [pic] ;
                          б)                     [pic]                     ;

       в) для любого (>0
          [pic]
    Основной целью данного  параграфа  являются  две  теоремы  о  поведении
интеграла Пуассона [pic]при [pic]:
Теорема 1.
Для произвольной (комплекснозначной) функции [pic]( -(, ( ) , 1 ( p  <  (  ,
имеет место равенство[pic]
                                          [pic]  ;
если же ( (x) непрерывна на  [ -(, ( ]  и  ( (-() = ( (() , то
                                          [pic].
Теорема 2 (Фату).
Пусть [pic]- комплекснозначная функция из [pic] . Тогда
                               [pic]             для  п.в.  [pic].
В этом параграфе мы обращались к следующим понятиям:
    Определение1. Функция [pic]называется аналитической в точке [pic], если
она дифференцируема в этой точке и в  некоторой  ее  окрестности.   Говорят,
что функция [pic]аналитична на некотором  множестве,если  она  аналитична  в
каждой точке этого множества.
    Определение2. Действительная  функция  двух  действительных  переменных
[pic] называется гармонической в области [pic], если [pic]  и  удовлетворяет
уравнению Лапласа:
                                   [pic].
    Определение3. Две  гармонические  функции  [pic]  и   [pic],  связанные
условиями  Коши-Римана  :    [pic],      [pic]  ,   называются  гармонически
сопряженными функциями.
    Определение4. Под нормой пространства [pic] понимается
                               [pic] , [pic].
    Определение5.  Под нормой пространства  [pic]понимается
                               [pic] , [pic].
    Определение6. Пусть [pic] ( или [pic],[pic]).  Модуль  непрерывности  (
соответственно   интегральный   модуль   непрерывности)    функции     [pic]
определяется равенством
    [pic],  [pic].
    ([pic],  [pic]).
    Определение7.   Последовательность   [pic]функций,   определенных    на
множестве Х с заданной на нем мерой, называется  сходящейся  почти  всюду  к
функции [pic], если          [pic] для почти всех [pic], т.е. множество  тех
точек [pic], в которых данное соотношение не выполняется, имеет меру нуль.
    В  §I.2  мы  рассматриваем  пространства  [pic]  -   это   совокупность
аналитических в единичном круге  функций  F  (z)  ,   для   которых  конечна
норма
                                   [pic] .
Основным результатом этого параграфа  является  теорема  о  том,  что  любую
функцию [pic]([pic]) можно предсавить в виде
                         [pic],      [pic]  , [pic],
где [pic]  для п.в. [pic] , при этом
      [pic]      [pic] ;
       [pic]         [pic].
    Использованные в данном параграфе  понятия  мы  принимаем  в  следующих
определениях:
    Определение8.  Говорят, что действительная функция  [pic], заданная  на
отрезке  [a,b],  имеет  ограниченную   вариацию,   если   существует   такая
постоянная [pic], что каково бы ни  было  разбиение  отрезка  [a,b]  точками
[pic] выполнено неравенство [pic].
    Определение9.  Действительная   функция   [pic],  заданная  на  отрезке
[a,b], называется абсолютно непрерывной на   [a,b], если  для  любого  [pic]
найдется  число  [pic]такое,  что  какова  бы  ни   была   система   попарно
непересекающихся интервалов [pic], [pic]  с  суммой   длин,  меньшей  [pic]:
[pic], выполняется неравенство [pic].
    В  третьем  параграфе  первой  главы  мы   переходим   к   рассмотрению
пространств [pic] и  [pic].  Пространство  [pic]([pic])  представляет  собой