реферат Конспект по дискретной математики
Дискретная математика
Введение
Общество 21в. – общество информационное. Центр тяжести в решении задач
переместился от задач вычислительной математики к задачам на дискретных
структурах. Математика нужна не как метод расчета, а как метод мышлению
средство формирования и организации…
Такое владение математикой богатой культуры, понимание важности точных
формулировок.
В дисциплине мало методов, но много определений и терминов. В основе
дискретной математике 4 раздела:
1. Язык дискретной математики;
2. Логические функции и автоматы;
3. Теория алгоритмов;
4. Графы и дискретные экстремальные задачи.
Теория алгоритмов и формальных систем является центральной в дисциплине. В
настоящие время от нее возникли ответвления, например, разработка
алгоритмических языков программирования.
Одной из важнейших проблем в дискретной математики является проблема
сложности вычислений.
Теория сложности вычислений помогает оценить расход времени и памяти при
решении задач на ЭВМ. Теория сложности позволяет выделить объективно
сложные задачи (задачи перебора) и неразрешимые задачи.
Мы будем заниматься решением задач реальной размерности с учетом
ограниченности временных и емкостных ресурсов ЭВМ.
Множества и операции над ними
Одно из основных понятий математики – множество.
Определение:
Множеством называется совокупность, набор предметов, объектов или
элементов.
Множество обозначают: M,N …..
m1, m2, mn – элементы множества.
Символика
A ( M – принадлежность элемента к множеству;
А ( М – непринадлежность элемента к множеству.
Примеры числовых множеств:
1,2,3,… множество натуральных чисел N;
…,-2,-1,0,1,2,… - множество целых чисел Z.
[pic] множество рациональных чисел а.
I – множество иррациональных чисел.
R – множество действительных чисел.
K – множество комплексных чисел.
Множество А называется подмножеством В, если всякий элемент А является
элементом В.
А ( В – А подмножество В (нестрогое включение)
Множества А и В равны, если их элементы совпадают.
A = B
Если А ( В и А ( В то А ( В (строгое включение).
Множества бывают конечные и бесконечные.
|М| - мощность множества (число его элементов).
Конечное множество имеет конечное количество элементов.
Пустое множество не содержит элементов: M = (.
Пример: пустое множество:
1) множество действительных корней уравнения x2+1=0 пустое: M = (.
2) множество (, сумма углов которого ( 1800 пустое: M = (.
Если дано множество Е и множество и мы рассматриваем все его подмножества,
то множество Е называется униварсельным.
Пример: Если за Е взять множество книг то его подмножества: художественные
книги, книги по математике, физики, физики …
Если универсальное множество состоит из n элементов, то число подмножеств
= 2n.
Если [pic], состоящее из элементов E, не принадлежащих А, называется
дополненным.
Множество можно задать:
1) Списком элементов {a,b,c,d,e};
2) Интервалом 1<x<5;
3) Порождающей процедурой: xk=(k sinx=0;
Операции над множествами
1) Объединение множеств А и В (союз или). Множество, состоящие из
элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В
называется объединенным.
А ( В
Отношение множеств наглядно иллюстрируется с помощью диаграмм Венна.
Диаграмма Венна – это замкнутая линия, внутри которой расположены
элементы множества.
Объединение двух множеств
Объединение системы множеств можно записать
[pic] - объединение системы n множеств.
Пример: объединение множеств, когда они
заданы списком.
A = {a,b,d} B = {b,d,e,h} AUB = {a,b,c,d,e,h}
2) Пересечением множеств А и В называется множество, состоящие из
элементов принадлежащих одновременно множествам А и В.
A (B
Пересечение прямой и плоскости
1) если прямые || пл., то множество пересечений – единственная точка;
2) если прямые II пл., то M ((;
3) если прямые совпадают, то множество пересечений = множество прямой.
Пересечение системы множеств: [pic]
4) Разностью 2-х множеств А и В называется множество, состоящее из всех
элементов А, не входящих в В.
С = А \ В
A \ B
А \ В
A = {a,b,d}; B = {b,c,d,h} C = A \ B={a}.
В отличии от предыдущих операций разность: 1) строго двухместна;
2) не коммутативна, т.е. A\B (
B\A.
4) дополнение [pic]
E – универсальное множество.
[pic]-- дополнение
Операции объединения, пересечения и дополнения называются Булевыми.
Основные законы операций над множествами.
Некоторые свойства (, ( похожи на алгебраические операции, однако многие
свойства операций над множествами все же отличаются.
Основные свойства
1) AUB=BUA; A(B=B(A – переместительный закон объединения и пересечения.
2) (АUB)UC = AU(BUC); (A(B)(C=A((B(C) – сочетательный закон.
3) АU(=A, A((=(, A \ (=A, A \ A=(
1,2,3 – есть аналог в алгебре.
3.а) ( \ A = ( - нет аналога.
4) [pic](; E \ A =[pic]; A \ E=(; AUA=A; A(A=A; AUE=E; A(E=A;
5.а) свойства 1-4 очевидны и не нуждаются в доказательствах.
5) A((BUC)=(A(B)(A(C) – есть аналогичный распределительный закон (
относительно U.
Прямые произведения и функции
Прямым декартовым “х” множеством А и В называется множество всех пар (a;b),
таких, что а(А, b(B.
С=AхВ, если А=В то С=А2.
Прямыми «х» n множеств A1x,…,xAn называется множество векторов (a1,…an)
таких, что a1(A1,…, An(An.
Через теорию множеств введем понятие функции.
Подмножество F(Mx x My называется функцией, если для каждого элемента х(Mx
найдется y(Му не более одного.
(x;y)(F, y=F(x).
Соответствие между аргументом и функцией можно изобразить с помощью
диаграммы Венна:
Определение: Между множествами MX и MY установлено взаимноодназночное
соответствие, если каждому х(MX соответствует 1 элемент y(MY и обратное
справедливо.
Пример: 1) (х,у) в круге
2) x = sinx
R( R [pic]
Пусть даны две функции f: A(B и g: B(C, то функция y:A(C называется
композицией функций f и g.
Y=f o g o – композиция.
Способы задания функций:
1) таблицы, определены для конечных множеств;
2) формула;
3) графики;
Способы 1-3 частные случаи выч. процедуры.
Пример процедуры, не относящейся к 3 способам задания функций n!
Взаимнооднозначное соответствие и мощности множеств.
Определение: Множества равномощны |A|=|B| если между ними
взаимнооднозначное соответствие.
Теорема: Если для конечного множества А мощность равна |A| то количество
всех подмножеств 2|A|=2n.
Множества равномощные N называются счетными, т.е. в них можно выполнить
нумерацию элементов. N – множество натуральных чисел.
Множество N2 – счетно.
Доказательство
Разобьем N2 на классы
К 1-ому классу отнесем N1 (1; 1)
Ко 2-му классу N2 {(1;2), (2;1)}
К i-му классу Ni {(a;b)| (a+b=i+1}
Каждый класс будет содержать i пар.
Упорядоченный классы по возрастанию индекса i, а пары внутри класса
упорядоченные по направлению первого элемента а.
Занумеруем последовательность классов, что и доказывает счетность множества
N2.
Аналогично доказывается счетность множеств N3,…,Nk.
Теорема Кантора:
Множество всех действительных чисел на отрезке [0;1] не является счетным.
Доказательство
Допустим это множество счетно изобразим его числа десятичными дробями.
1-я 0, a11, a12 ….
2-я 0, а21, a22 ….
………………….
Возьмем произвольное число 0,b1,b2,b3
b1 ( a11, b2 ( a22, …
Эта дробь не может выйти в последовательность т.к. отличается от
всех чисел, значит нельзя пронумеровать числа на отрезке [0;1].
Множество нечетно и называется континуальным, а его мощность континуум.
Метод, используемый при доказательстве, называется диагональным методом
Кантора.
Отношение
Пусть дано R(Mn – n местное отношение на множество М.
Будем изучать двухместные или бинарные отношения. Если а и b находятся в
отношении R, то записывается а R b.
Проведем отношение на множество N:
А) отношение ( выполняется для пар (7,9) (7,7_
Б) (9,7) не выполняется.
Пример отношения на множество R
А) отношение находится на одинаковом расстоянии от начала координат
выполняется для пар (3; 4) и (2; (21)
Б) (3; 4) и (1; 6) не выполняется.
Для задания бинарных отношений можно использовать любые способы задания
множеств.
Для конечных множеств используют матричный способ задания множеств.
Матрица бинарного отношения на множество M={1;2;3;4}, тогда матрица
отношения С равна
| | |1 |2 |3 |4 |
| | | | | | |
|С= | | | | | |
| |1 |1 |1 |1 |1 |
| |2 |0 |1 |1 |1 |
| |3 |0 |0 |1 |1 |
| |4 |0 |0 |0 |1 |
Отношение Е заданные единичной матрицей
называется отношением равенства.
Отношением назовется обратным к отношением R, если ajRai тогда и только
тогда, когда ajRai обозначают R-1.
Свойства отношений
1. Если aRa ==> очн. рефлексивное и матрица содержит на главной диагонали
единицу
если ни для какого а не … ==> отношение антирефлексивное
главная диагональ содержит нули
Пр. отношнний
( рефлексивное
< антирефлексивное
2. Если из aRb следует bRa, ==> отношение R симметричное. В матрице
отношения элементы
сумм Cij=Cji. Если из aRb и bRa следует a=b ==> отношение R –
антисимметричное.
Пр. Если а ( b и b ( a ==> a=b
3. Если дано ( a,b,c из aRb и aRc следует aRC ==> отношение называемое
транзитивным.
4. Отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно,
симметрично и транзитивно.
Пр. отношение равенства E
5. Отношение называется отношением нестрогого порядка, если оно
рефлексивно,
антисимметрично и транзитивно. Отношение называется отношением
строгого порядка,
если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.
Пр. а) отношение ( u ( для чисел отношение нестрогого
б) отношение < u > для чисел отношение строгого
Лекция: Элементы общей алгебры
Р. Операции на множествах
Множество М вместе с заданной на нем совокупностью операций ( = {(1,…, (m},
т.е. система А = {М1;(1,…, (m} называется алгеброй. ( - сигнатура.
Если M1(M и если значения (( M1), т.е. замкнуто ==> A1={М1;(1,…, (m}
подалгебра A.
Пр. 1. Алгебра (R;+;*) – называется полем действительных чисел обе операции
бинарные и
поэтому тип этой алгебры (2;2)
2. B=(Б;(;() – булева алгебра. тип операций (2;2;1)
Р. Свойства бинарных алгебраических операций
запись a(b.
1. (a(b)(c=a((b(c) – ассоциативная операция
Пр. +,x – сложение и умножения чисел ассоциативно
2. a(b = b(a – коммутативная операция
Пр. +,x – коммутат.
–; : – некоммут.
умножение мат A(B ( B(A – некоммутативно.
3. a((b(c) = (a(b) ((a(c) –дистрибутивность слева
(a(b)(c) = (a(с) ((b(c) –дистрибутивность справа.
Пр. (ab)e=aebe – возведение в степень дистрибутивного отношения
произведения справа
но не abc ( abac
Р. Гомоморфизм и изоморфизм
Алгебры с разными членами имеют различные строения. Алгебры с одинаковыми
членами имеют сходство. Пусть даны две алгебры A=(K; (I) и B=(M; (I) –
одинакового типа.
Пусть отображение Г:K(M при условии Г((I)= (I(Г), (1) т.е. результат не
зависит от последовательности возможных операций: Или сначала вып. операции
(I b А и затем отображении Г, или сначала отображение Г, или сначала
отображение Г и затем отображение (I в В.
Тогда условие (1) называется Гомоморфизмом алгебры А в алгебру В.
Когда существует взаимооднозначный гомоморфизм его называют изоморфизмом.
В этом случае существует обратное отображение Г-1.
Мощности изоморфных алгебр равны.
Пр. Алгебры (QN; +) и (Q2; +) – отображение типа и условие (1)
запишется как 2(а+b)=2а+2b.
Отношение изоморфизма является отношением эквивалентности на множестве
алгебр, т.е вычисление рефлексивное, симметричности и транзитивности.
Изоморфизм важнейшее понятие в математике. Полученные соотношения в алгебре
А автоматически …. на изоморфные алгебры.
-----------------------
А
В
A
C
B
A
B
Объединение трех множеств:
AUB AUB
А
В
А
В
С
В
А
А
В
A
B
A \ B
а) взаимнооднозначное соответствеие (отображение)
а) не взаимнооднозначное соответствеие (отображение)
Мх
My
x=2 ( y=2
y=2 ( x=2..4
не взаимнооднозначное соответствие.
2
2 3 4
y
X
-(/2
(/2
1-ый элемент 1-го множества
1-ый элемент
2-го множества
}
1
1
С=
101
010
001