реферат Матанализ
1Натуральные числа – 1,2,3,4, …., счёт предметов, указание порядкового
номера. Натуральные числа также называют положительными целыми числами.
Числа –1,-2, -3, …, противоположные натуральным называются отрицательными
целыми числами. Число 0 тоже целое. Рациональные числа – целые и дроби (+,-
) Вид М/N, где (N[pic] 0) M и N- взаимно простые целые числа.
Иррациональные - ?2 все вышепереч-е + бесконечные непериодич. дроби. Все
эти числа – действительные. Компл. число Z1=A1+iB1; iІ=-1
2 Z1±Z2=(A1±A2)+i(B1±B2)
Z1*Z2=(A1+iB1)*(A2+iB2)
Z1/Z2=(a1+ib1)(a2-ib2)/(a2+ib2)(a2-ib2)=(a1a2+b1b2)+
i(b1a2-a1b2)\a2І+b2І=(a1a2+b1b2/a2І+b2І)+i* (b1a2-
a1b2/a2І+b2І)
3 Тигонометрическая форма комплексного числа
Z=a+ib=r*cos?+i*r*sin?=r*(cos?+i*sin?)
r – модуль; ? – аргумент. b – y; a – x.
4 ZЄ=rЄ(cos A?+i*sin A?)
5 Є?Z=Є?r(cos ?+2?k/а +i *sin ?+2?k/a) k?(1;2;3…a-1)
Все корни А-ой степени лежат на окружности r=| Z |№\а и являются вершинами
правильного А-угольника, вписанного в эту окружность.
6 Переменная вел. Х, принимающая последовательно ( с возрастанием номера n
) значения х1,х2,х3..хN называется числовой последовательностью
1,1,1,1,1…1
1,1/2,1/3…1/N
1,-1,1,-1…(-1)Є
Xn,n?N
Число А наз. пределом последовательности Хn если для любого сколь угодно
малого положит. числа E>0 найдётся такой номер N(E), что как только n>N(E)
то имеет место неравенство | Xn – A | < E
lim Xn = A
n>?
Число А есть предел последовательности Xn если для любого ? > 0 найдётся
такой номер N, начиная с которого (при n>N) все члены последовательности
будут заключены в ?-окрестности какой бы она узкой ни была. Вне этой
окрестности может быть лишь конечное число членов этой последовательности.
7 Если последовательность Хn монотонна и ограничена, то она имеет предел
(сходится).
Cвойства пределов:
если Хn=С то lim Xn=C
n>?
пусть lim Xn=A, a lim Yn=B тогда lim (Xn±Yn)=A±B
n>? n>? lim (Xn*Yn)=A*B
lim (Xn/Yn)=A/B
; B?0
если Xn?Yn для n?N то lim Xn ? lim Yn
n>? n>?
8 Eсли Хn сходится (имеет предел) то Хn ограничена
Последовательность Xn; n?N наз. ограниченной если существует положительное
число М, что выполняется нер-во | Xn |?M; n?N
Если lim Xn=0, то Xn; n?N наз. БМВ обознач (?n,?n,?n)
n>?
Св-ва БМВ:
lim ?n=0
n>?
lim (?n±?n)=0
n>?
lim (Xn*?n)=0; если Xn-ограничена
n>?
В произведении БМВ можно заменять на эквивалентную БМ. В алгебраической
сумме замену можно производить в том случае если не происходит сокращения
БМ одного порядка с Х:
sin X ~ X eЄ-1 ~ a
tg X ~ X (1+x)Є ~ ax
1 – cos X ~ XІ/2 arctg X ~ X
LOGe(1+X) ~ X xЄ-1 ~ aLNx
9 Сумма эл-тов числовой последовательности наз. числовым рядом.
[pic]
Сумма n членов ряда – n частичная сумма ряда
Если при n>? lim Sn=S, то ряд сходящийся, S сумма ряда .
Ряд наз. сходящимся если сущ. конечный предел последовательности его
частичных сумм.
Прим:
[pic]при каких q сходится и расходится ?
сходится к сумме S=a/1-q при | q |<1 и расход-ся при | q |?1
10 Признак сравнения двух знакоположит-х рядов.
есть 2 знакполож. ряда SAk,SBk так что 0?Ak?Bk k?N
тогда если SBk? то SAk тоже ? и наооборот если меньший ряд не сходится то
и больший тоже.
11 Признак Даламбера
SUn c положительными членами сущ. lim Un+1/Un =l
n>?
то ряд сходится если l<1 и расходится если l>1, если l=1 то вопрос о
сходимости нерешён.
Признак Коши
SAn – знакополож. ряд lim Є?An=q
n>?
q<1 – сходится ; q>1 – расходится.
12 Знакопеременный ряд а1-а2+а3-а4…+ (-1)в степ.(n-1)*An
An>0
Признак Лейбница:
Если члены ряда (знакопер) убывают а1>a2>a3>…An и
предел Аn при n>? =0 то ряд сходится
пример 1-1/2+1/3-1/4…+(-1)(n-1)*1/n
13 Имеет место функциональная зависимость между двумя переменными
величинами х и у если задан закон y=f(x), согласно которому каждому х?Х
соответствует значение y?Y. х-аргумент
y=kx+b – линейная ф-ия
y=axІ+bx+c – квадратичная ф-ия
Обратная ф-ия – ф-ия x=?(y) наз. обратной ф-ией к прямой ф-ии y=f(x) если
x=?(f(x)) для всех х?Х
Графики взаимно обратных ф-ий симметричны относительно прямой у=х.
y=XЄ и y=LOGxA – примеры
14 Число B называется пределом ф-ии в f(x) при x, стремящемуся к x0 (или в
точке x0) если для любого, сколь угодно малого положительного числа ?>0,
найдётся такое положительное число ?(?)>0 что для всех х не равных х0 и
удовлетворяющих условию | x-x0 |<? выполняется нерав-во | f(x)-B | < ?
lim f(x)=B
x>x0
Смысл состоит в том, что для всех значений х, достаточно близких к х0,
значения ф-ии f(x) как угодно мало отличаются от числа В (по модулю)
15 lim f(x)=B
x>x0
Если B=f(x0), то ф-ия f(x) – непрерывна в точке х0.
св-ва :
lim c=c
x>x0
если f(x)=b, ?(x)=c то lim (f(x)±?(x))=b±c
x>x0
lim (f(x)*?(x))=b*c
x>x0
lim (f(x)/?(x))=b/c (c?0)
x>x0
Если f(x)??(x)?g(x) и lim f(x)=lim g(x) =b то lim ?(x)=b
x>x0 x>x0 x>x0
если при этом b=f(x0); c=?(x0) то св-во 2 можно записать:
(Если f(x) или ?(х) непрерывны в т. х0 то в т.х0
непрерывны сумма, разность, произведение и
частное(?(х0))?0 этих функций
Если ф-ия непрерывна в каждой точке отрезка, то она непрерывна на этом
отрезке
16 Линейная ф-ия непрерывна в любой точке А?(-?;+?)
y=kx+b=f(x)
f(A)=kA+b
k?0 ? | f(x)-f(a) |<? | kx-b-ka+b | <?
| k (x-f) | <?
| k |*| x-a | <?
| x-a | < ?/| k |=?(?)
y=axІ+bx+c (-?;+?)
17 y=BЄ (B>0)
Докажем, что y=BЄ непрерывна на (-?;+?)
lim BЄ=1
a>0
| BЄ-1 | <? 1) B=1
2) B>1
-? < BЄ-1 < ? 1-? < BЄ < ?+1
LOGb(1-?)<a<LOGb(1+?)
min {-LOGa(1-?); LOGa(1+?)}= ??
| x | < ??
LOGaB
18 y=cos x (-?; +?)
| cos x – cos a | < ?
| 2 sin (x-a)/2 + sin (x+a)/2 | < ?
2 | sin (x-a)/2 | + | sin (x+a)/2 | < ?
2 | sin (x-a)/2 | < ?
| x-a | < ? =?(?)
y=sin x (-?; +?)
y=tg x=sin x/cos x кроме x=?/2+?k
y=ctg x=cos x/sin x кроме x=?k
19 Первым замечательным пределом называется
lim sin x/x=1
x>x0
20 Второй замечательный предел
lim(1+1/a)Є=e
a>?
Число е (число Эйлера, неперово число) играет важную роль в матанализе.
lim (1+a)№’Є=e
a>0
21 Пусть имеется ф-ия y=f(x), определённая на (а; в), говорят что ф-ия
имеет в т. х0?(а; в) производную f ’(x0) если существует предел
lim (f(x)-f(x0))/(x-x0)
x>x0
Производной ф-ии y=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения ф-
ии к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Ф-ия имеющая производную в каждой точке интервала называется
дифференцируемой на этом интервале.
Геометрический смысл производной: пр-ая f `(x0) есть угловой коэфф. (tg
угла наклона) касательной, проведённой к кривой y=f(x) в точке х0 , k=f
‘(x0)
у=f ‘(x0)(x - x0)
Механический смысл производной: пр-ая пути по времени s ‘(t0) есть
скорость точки в момент t0: V(t0)=s ‘(t0)
Определение для любой точки
[pic]
22 Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых ф-ий
равна такой же сумме производных этих ф-ий
(u±v)`=u`± v`
Производная произведения двух дифференцируемых ф-ий равна произведению пр-
ой первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на
про-ую второго:
(uv)`=u`v + uv`
Постоянный множитель можно выносить за знак
производной
(cu)`=cu`
Производная произведения нескольких
дифференцируемых ф-ий равна сумме произведений
производной каждого из сомножителей на все остальные
(uvw)`=u`vw+uv`w+uvw`
23 Производная частного двух ф-ий u(x)/v(x), если v(x)?0
равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби
на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя есть
квадрат прежнего знаменателя: (u/v)`=(u`v-uv`)/vІ; v?0
(u/c)`=1/c*u`
(c/u)`=-cv`/vІ c=const
24 (xЄ)`=axЄ?№
25 (LNx)`=1/x
(eЄ)`=eЄ
Для дифференцируемой ф-ии с производной, не равной
0, производная обратной ф-ии равна обратной величине
производной данной ф-ии
X`y = 1/Y`x
26 (sin x)`=cos x
(cos x)`=-sin x
(tg x)`=1/cosІx
(ctg x)`=-1/sinІx
27 Если y=f(u) и u=?(x) – дифференцируемые ф-ии от своих аргументов, то
производная сложной ф-ии существует и равна производной данной ф-ии по
промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного
аргумента по незавмсимой переменной х
y`=f`(u)*u`
y=f(u(x)) Fx`=Fu`*Ux`
Пример:
y=(?x+5)і y`=?
y=uі, где u=?x+5
по формуле : y`=3u`*u`=3(?x+5)І(?x+5)`=3(?x+5)І/2?x
28 Дифференциалом ф-ии наз. линейная часть приращения ф-ии (относительно
?х), равная произведению производной на приращение независимой переменной.
dy=f`(x)?x
Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной.
Геометрический смысл: Дифференциал ф-ии есть приращение ординаты
касательной, проведённой к графику ф-ии y=f(x) в данной точке когда х
получает приращение ?х
29 При исследовании ф-ий используется следующий алгоритм:
1 ООФ, ОЗФ
2 Непрерывность ф-ии
3 Нахождение асимптот
4 Экстремумы и интервалы монотонности
5 Интервалы выпуклости и т. перегиба
6 Чётность нечётность, периодичность
7 Т. пересечения с Ох и Оу
(3)Если для некоторого х0 имеет место предел f(x)=? при
х>х0 то говорят, что х=х0 явл. вертикальн. асимптотой
f(x)
Если предел f(x)=b при x>? то говорят, что у=b явл.
горизонтальной асимптотой f(x)
Если предел f(x)/х=k при x>? (k?0;k??) и предел
(f(x)-kx)=b, то y=kx+b является наклонной асимпт-й
(4)Если производная ф-ии положительна (отрицательна)
внутри некоторого промежутка Х то ф-ия возрастает
(убывает) на этом промежутке
Если при переходе через т. х0 производная
дифференцируемой ф-ии меняет свой знак и в т. х0
равна 0 то х0-точка экстремума (минимума или
максимума)
(5)Точкой перегиба непрерывной ф-ии (f``(x)=0) наз. т. в
разделяющая интервалы, в которых ф-ия выпукла вниз и
вверх.
Ф-ия y=f(x) называется выпуклой внизу на интервале
(a;b) если f``(x)>0 на (a;b); ф-ия называется выпуклой
вверх на (a;b) если f``(x)<0 на (a;b)
30 Асимптотой графика ф-ии y=f(x) называется прямая, обладающая тем
свойством, что расстояние от точки (х, f(x)) до этой прямой
стремится к 0 при неограниченном удалении точки графика от начала
координат.
Если для некоторого х0 имеет место предел f(x)=? при
х>х0 то говорят, что х=х0 явл. вертикальн. асимптотой
f(x). Вертикальные асимптоты следует искать в точках
разрыва ф-ии или на концах её ООФ (а; в) если аи в –
конечные числа
Если предел f(x)=b при x>? то говорят, что у=b явл.
горизонтальной асимптотой f(x)
Если предел f(x)/х=k при x>? (k?0;k??) и предел
(f(x)-kx)=b, то y=kx+b является наклонной асимпт-й
Наклонная асимптота как и горизонтальная может быть
правосторонней или левосторонней
31 Степенным рядом наз. ряд вида (1)S Bn*xЄ = b0+b1x+b2xІ…+baxЄ+… это ряд в
котором членами являются ф-ии, в частности степенные. Совокупность тех
значений х, при которых степнной ряд сходится, называется областью
сходимости степнного ряда.
Ряд (1) наз. абсолютно сходящимся рядом, если сходится ряд (2) S | bn |*| x
|Є
Т1. Если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1)
Т2. Для любого степ. ряда (1) сущ-ет такое неотрицат. число R?0 что этот
ряд сходится абсолютно при | x |<R и расходится при | x |>R; R – радиус
сходимости ряда
Даламбер: lim | Bn+1 |/| Bn |<1 (n>?) сходится
>1 (n>?) расходится
32 Разложение ф-ий в ряд:
Если бесконечно дифференцируемая ф-ия f(x0)=a0
f`=A1+2A2(x-x0)+n*An(x-x0)Є?№
f(x)=f(x0)+f1(x0)(x-x0)+…+fЄ(x0)(x-x0)Є/a!
Рядом Тейлора ф-ии f(x) в окрестности т. х0 называется степ. рядом отн.
разности (х-х0)
Особенно часто используется разложение ф-ии в ряд по степеням х, при этом
х0=0; f(x)=f(0)+f`(0)+f Є(0)/a!*xЄ
Ряд Маклорена – частный случай ряда Тейлора
eЄ=1+x+xІ/2!+xі/3!+…+xЄ/a!+…
sin x=1+ x-xі/3+…+(-1)Є*(xІЄ?№)/(2a+1)!+…
cos x=1-xІ/2!+x?/4!+…+(-1)?*xІ?/(2n)!+…
ln(1+x)=x-xІ/2+xі/3-…+(-1)?x??№/n+1…
33 Ф-ия F(x) наз. первообразной для ф-ии f(x) если для всех х (из области
определения) имеет место F`(x)?f(x) нетрудно увидеть что если F(x) является
первообразной для f(x) то и для F(x)+C также явл. первообразной.
Общий вид первообразной F(x)+C называется неопределённым интегралом от ф-ии
f(x) обозначается F(x)+C=?f(x)dx
dF(x)=F`(x)dx=f(x)dx
Св-ва неопр.?
?dF(x)=F(x)+C
(?f(x)dx)`=f(x)
??f(x)dx=??f(x)dx
?(f(x)±g(x))dx=?f(x)dx±?g(x)dx
Таблица интегралов
34 Метод замены переменных:
?f(x)dx=?f(?(t))·?`(t)dt > x=?(t)
?sin 5x dx=?sin t 1/5dt=1/5?sin t dt=-1/5 cost+C =-1/5cos 5x+C
5x=t; x=1/5t; dx=1/5 dt
35 Интегрир-ие по частям:
? U·dV=UV-?VdU
Возможности применения связаны с тем, что дифференцир-ие может существенно
упростить один из сомножителей (при условии что дифф-ие не слишком усложнит
другой)
? xІ·sinx dx
xІ=U dU=2x dx
sin x dx =dV V=-cos x
? = xІ·sin x dx=-xІ·cos x -?(-cos x)2x dx=-xІ·cos x+2?x·cos x dx
x=U dU=dx
cos x dx=dV V=sin x
? = xІ·sin x dx=-xІcos x +2(x·sin x-?sin x dx)= -xІ·cos x+2x·sin x +2cos
x+C
36 Рациональной дробью называется ф-ия, равная отношению двух многочленов
f(x)=Pm(x)/Qn(x), Pm(x)-многочлен степени m, Qn(x)- многочлен степени n.
Рациональная дробь наз. правильной если степень числителя меньше степени
знаменателя, т.е. m<n, в противном случае дробь неправильная.
Интегрирование дробей методом разложения на элементарные дроби:
1 Если дробь неправильна, то представить ее в виде суммы многочлена и
правильной дроби.
2 Разложив знаменатель дроби на множители, представить её в виде суммы
простейших рац. дробей.
3 Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.
37 Определённым интегралом от ф-ии f(x) на отрезке (a; b) называется предел
интегральной суммы Sn, когда n>? (?xi>0)
[pic]
Cв-ва опр. интеграла:
(все интегралы на отрезке от А до В)
1 ?С·f(x)dx=C·?f(x)dx
2 ?(f(x)±g(x))dx=?f(x)dx±?g(x)dx
3 ?f(x)dx=-?f(x)dx
4 Если f(x)?g(x) на (A,B), то ?f(x)dx??g(x)dx
5 Если на (А,В) m=minf(x) M=maxf(x)то m(B-
-A)??f(x)dx?M(B-A)
6 Если f(x) непрерывна на (A,B) то сущ. также точка
С?(A;B) ?f(x)dx=f(C)·(B-A)
7 Если f(x) непрерывна на (А,В) то ?f(x)dx существует
8 ?f(x)dx=?(a>d)f(x)dx+?(d>b)f(x)dx
9 Формула Ньютона-Лейбница:
?f(x)dx=F(B)-F(A)>F`(x)=f(x)
38 Применение опр. ?
1 Вычисление площадей (Н-Лейб)
Если на (А,В) f(x)>0 то S=?f(x)dx
Если на (А,В) f(x)<0 то S=-?f(x)dx
Если на (А,В) f(x)>g(x) то S=?[f(x)-g(x)]dx
(действительно для всех вариантов расп. ф-ий)
2 Вычисление объёмов тел вращения
V=??fІ(x)dx
39 Приближ. вычисление интегралов
1 Формула Н-Лейб.
2 Метод прямоугольника
(B-A)/n=h: ?(A>B)f(x)dx~=h(f1+f2…+fn)
3 Формула трапеции ?f(x)dx~=h(1/2·f0+f1+f2+…fn)
4 Формула Симпсона
n-чётное
?f(x(dx=(B-A)/3n(f0+4f1+2f2+4f3+2f4+…+4fn-1+fn)
40 Несобственные ? бывают 2-х видов:
?-ы вида ?(a;+?)f(x)dx; ?(-?;b)f(x)dx; ?(-?;+?)f(x)dx
называются несобственными ?-и 1-го рода
Если сущ. предел (b>?) ?(a;b)f(x)dx=C (C??) то интеграл сходится и
наоборот.
Пусть есть числовой ряд SAx=A0+A1+…An+… и пусть есть ф-ия f(x)=Ax на
интервале [ a:b) Тогда ряд и несобственный ?(a;?)f(x)dx сходятся или
расходятся одновременно
Если lim (x>b)f(x)=? или lim(x>a)f(x)=? то ?f(x)dx наз. несобственным
интегралом 2-го рода, он сходится если сущ. конечный предел
lim ?(a; b-?)f(x)dx
?>0
41 Пусть имеется n переменных величин, и каждому набору их значений
(x1,x2,x3…xn) из некоторого мн-ва Х соответствует одно вполне определённое
значение переменной величины Z. Тогда говорят,что задана ф-ия нескольких
переменных Z=f(x1…xn)
Если сущ-ет lim(?x>0)f(x+?x,y)-f(x,y)/?x=fx`(x,y) то он называется частной
производной по переменной х.
Если сущ-ет lim(?y>0)f(x,y+?y)-f(x,y)/?y=fy`(x,y) то он называется частной
производной по переменной y
Величина dZ=f`x(x;y)dx+f`y(x;y)dy называется дифференциалом от ф-ии f(x;y)
Z=f(x1+x2+…xn)dZ=f`x1·dx1+f`x2·dx2+…+f`xn·dxn
Дифференциалом ф-ии называется сумма произведений частных производных на
приращение соответствующих независимых переменных.
42 Если Z=f(x;y) имеет в точке (х0;у0) экстремум (локальный) и ф-ия
дифференцируема (т.е. имеет частные произв-ые) то частные произв-ые в этой
т. равны 0.
43 Формулы служащие для аналитического представления опытных данных
получили название эмпирических формул
Этапы вывода ЭФ:
1 Установить вид зависимости (линейная, квадратичная, логарифмическая и
т.д.)
2 Определение известных параметров этой ф-ии
Для линейной зависимости сущ-ет метод наименьших
квадратов
44 ДУ называют ур-ие, связывающее искомую ф-ию одной или нескольких
переменных, эти переменные, и производные различных порядков данной ф-ии.
Решением ДУ называется такая ф-ия, котю при подстановке её в это ур-ие
обращает его в тождество.
ДУ первого порядка наз. ур-ие содержащее переменную х, неизвестную ф-ию
y=f(x) и её производную y`=f`(x)
ДУ первого порядка наз. ур-ем с разделяющимися переменными, если оно м/б
представленно в виде
dy/dx=f(x)g(y)
Для решения такого ур-ия его следует преобразовать к виду, в котором
дифференциал и ф-ии переменной х окажутся в одной части равенства, а
переменной у – в другой. Затем проинтегрировать обе части полученного рав-
ва:
dy/g(y)=f(x)·dx > ? dy/g(y)=? f(x)·dx
|f(x) |f`(x)|f(x) |f`(x)|
|c |0 |xЄ |axЄ?№|
|x |1 |xІ |2x |
|?x |2?x |arcco|-1/?1|
| | |s x |-xІ |
| | | ||x|<1|
|1/x |-1/xІ|arctg|1/1+x|
| | |x |І |
|e? |e? |arcct|-1/1+|
| | |g x |xІ |
|a? |a?ln |sh x |ch x |
| |a | | |
|ln x |1/x |ch x |sh x |
|LOGaX|1/x·l|th x |1/chІ|
| |n a | |x |
|sin x|cos x|cth x|-1/sh|
| | | |Іx |
|cos x|-sinx|ln(x+|1/?(1|
| | |?(xІ+|+xІ) |
| | |1)) | |
|tg x |1/cos|arcsi|1/?(1|
| |Іx |n x |-xІ) |
|ctg x|-1/si| | |
| |nІx | | |
| | | | |
| |
|f(x) |F(x)+C |
|0 |C |
|1 |x+C |
|x |xІ/2+C |
|xЄ |xЄ?№/a+1+C |
| |a?1 |
|1/x |ln| x |+C |
|1/xІ |-1/x+C |
|1/xі |1/2xІ+C |
|1/(1+xІ) |arctg x+C |
|1/aІ+xІ |1/a·arctg |
| |x/a+C a?0 |
|1/1-xІ |1/2·ln| |
| |(1+x)/(1-x) |
| ||+C |
|1/aІ-xІ |1/2a·ln| |
| |(a+x)/(a-x) |
| ||+C a?0 |
|x/xІ+a |1/2·ln| xІ+a|
| ||+C |
|1/?(1-xІ) |arcsin x+C |
|1/?(aІ-xІ) |arcsin x/a+C|
|e? |e? |
|a? |a?/ln a |
|ln x |x ln x –x +C|
|sin x |-cos x+C |
|cos x |sin x+C |
|tg x |-ln | cos x |
| ||+C |
|ctg x |ln | sin x |
| ||+C |
|1/cosІx |tg x+C |
|1/sinІx |-ctg x+C |
1. Понятие числа (от натур. до комплексного)
2. Сложение, вычитание, *, / для комплексного числа
3. Тригонометрическая форма комплексного числа
4. Возведение в степень комплексного числа
5. Извлечение Є( из комплексного числа
6. Последовательность и её предел
7. Св-во сходящихся последовательностей (док-во)
8. БМВ и ограниченная последовательность. Св-ва БМВ
9. Знакоположительный ряд и его сходимость (пример)
10. Признак сравнения двух знакоположительных рядов (примеры)
11. Признаки Даламбера и Коши
12. Знакопеременный ряд. Признак Лейбница (пример)
13. Прямая и обратная функция (примеры)
14. Предел ф-ии в точке
15. Непрерывность ф-ии в точке. Св-ва непрерывных ф-ий
16. Непрерывность линейной и степенной ф-ий
17. Непрерывность ф-ий ВЄ и LOGaX
18. Непрерывность тригонометрической ф-ии
19. 1-ый замечательный предел
20. 2-ой замечательный предел и его применение для
начисления непрерывных %
21. Понятие производной от ф-ии. Геометрический и механический
смысл призводной
22. Понятие пр-ой. Пр-ая от +, -, * двух ф-ий
23. Понятие пр-ой. Пр-ая от / двух ф-ий
24. Понятие пр-ой. Пр-ая от ХЄ
25. Понятие пр-ой. Пр-ая от обратных ф-ий (LNx, eЄ)
26. Пр-ая от тригонометрической ф-ии.
27. Пр-ая от сложной ф-ии (пример)
28. Понятие дифференциала ф-ии. Его геометр. смысл
29. Исследование ф-ий с помощью пр-ой и пределов.
30. Понятие асимптот и их нахождение
31. Степенной ряд и область его сходимости
32. Разложение ф-ий в степенные ряды
33. Неопределённый интеграл. Табл. Интегралов
34. Метод интегрир-ия с помощью замены переменных (примеры)
35. Интегрирование по частям
36. Интегрир-ие с помощью разложения на элементарнве дроби
37. Определённый интеграл и его св-ва. Формула Ньютона-Лейбница
38. Применение опр. интегралов
39. Приближённый метод вычисления опр. интегралов
40. Несобственные интегралы
41. Ф-ии нескольких переменных. Понятие частных пр-ых и дифференциала
42. Экстремум ф-ий нескольких переменных
43. Понятие об эмпирических формулах. Метод наименьших квадратов.
44 Понятие ДУ и методы его решения.