реферат Математические модели электромеханических систем в пространстве состояний
2. Математические модели электромеханических систем в пространстве
состояний
Способы получения уравнений состояния реальных физических объектов
ничем не отличаются от способов описания этих объектов с помощью
дифференциальных уравнений. Уравнения состояния записываются на основе
физических законов, положенных в основу работы объекта.
Рассмотрим электромеханическую систему, состоящую из двигателя
постоянного тока с независимым возбуждением, работающего на инерционную
нагрузку с вязким трением. Управляющим воздействием для двигателя считаем
напряжение на якоре U(t), выходной координатой, угол поворота вала
двигателя y(t)=((t). Уравнение электрической цепи имеет вид
[pic],
где [pic] - противо ЭДС, [pic] - угловая скорость вала двигателя, [pic] -
единый электромагнитный коэффициент.
Уравнение моментов будет иметь следующий вид
[pic],
где [pic], J - момент инерции нагрузки, приведенный к валу двигателя, f -
коэффициент вязкого трения.
Выберем следующие переменные состояния: х1=i, x2=(, x3=(.
Получим
[pic],
[pic].
Запишем эти уравнения относительно переменных [pic], [pic], [pic]
[pic],
[pic],
[pic],
[pic].
Запишем матричные уравнения
[pic],
[pic],
где
[pic], [pic], [pic].
Рассмотрим структурную схему электромеханической системы с двигателем
постоянного тока, работающего на инерционную нагрузку с вязким трением.
[pic]
Рис. 2.1. Структурная схема электромеханической системы с двигателем
постоянного тока
Запишем уравнение состояния для механической системы, представляющей
собой груз массой m, подвешенный на пружине и соединенный с гидравлическим
демпфером. К грузу приложена сила P(t), выходная переменная перемещения
x(t), управляющие воздействия U(t)=P(t). Уравнение движения груза получаем
из уравнения равновесия сил
[pic],
где [pic] - инерционная сила, f - коэффициент вязкого трения, [pic] - сила
сопротивления демпфера, [pic] - сила сопротивления пружины.
Выбираем в качестве переменных состояния x(t) и [pic] - перемещение и
скорость перемещения соответственно.
[pic]
Рис. 2.2. Механическая система, включающая в своем составе пружину,
массу и вязкий демпфер
Так как дифференциальное уравнение имеет второй порядок, то и
количество переменных состояния будет равно двум. Исходное уравнение
движения груза можно записать в виде двух уравнений
[pic]
где U(t)=P(t) - управляющее воздействие.
Добавим к этим уравнениям следующее уравнение выхода
[pic].
Эти уравнения представляют собой уравнения состояния приведенной
механической системы. Запишем эти уравнения состояния в матричном виде
[pic],
[pic].
Запишем это уравнение в другом виде
[pic],
[pic],
где [pic], [pic], [pic], [pic], [pic].
С данным уравнением состояния можно сопоставлять следующую структурную
схему, где двойными линиями показаны векторные переменные.
[pic]
Рис. 2.3. Структурная схема
Пример: Рассмотрим электрическую цепь и получим уравнение состояния
RLC цепи
[pic]
Рис. 2.4. RLC цепь
Динамическое поведение этой электрической системы полностью
определяется при t(t0, если известны начальные значения: i(t0), ec(t0) и
входное напряжение e(t) при t(t0, следовательно, эта система полностью
определяется переменными состояния i(t) и ec(t). При указанных переменных
состояния i(t) и ec(t) имеем следующие уравнения
[pic]
где [pic], [pic].
Введем следующие обозначения
[pic]
В соответствии с этими обозначениями получаем
[pic]
причем [pic].
Следовательно, для электрической цепи запишем эту систему в векторно-
матричном виде
[pic],
[pic].
Запишем матричные уравнения
[pic],
[pic],
где [pic], [pic], [pic], [pic].