реферат Первая краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области
Введение 3
1.Постановка задачи 3
2. Оценочный анализ решения задачи. 4
2.1. Оценка решения сверху. 4
2.2. Оценка решения в виде интеграла 5
2.3. Выбор интервала ([pic] ) и оценка погрешности 8
3. Формулировка результата в виде теоремы 10
4. Примеры 11
Заключение 12
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 13
Введение
В ряде случаев оказывается невозможным или неприемлемым получение
аналитического решения поставленной задачи. Использование основных теорем и
положений анализа позволяет получить качественную картину поведения
функции решения в заданной области, оценить скорость сходимости решения.
Такой подход широко реализуется в областях техники, где получение
результата необходимо с заданной точностью.
1.Постановка задачи
В дипломной работе рассматривается задача:
[pic](З)
0[pic][pic][pic].
t
[pic] x
Требуется привести пример оценки решения задачи (З) в области [pic]
, и исследовать полученную оценку при [pic]
2. Оценочный анализ решения задачи.
Оценка решения задачи (З) основывается на принципе максимума для
уравнения теплопроводности : «Всякое решение уравнения [pic] в
прямоугольнике [pic] , непрерывное вплоть до границы, принимает свои
наибольшее и наименьшее значения на нижних или на боковых его границах»
[2].
2.1. Оценка решения сверху.
В области t=t , x=[pic] рассмотрим решение задачи :
[pic], V(0,x) = [pic]( x ), x[pic] , (1)
это решение имеет вид [1]:
v (t, x) = [pic]. (2)
Зафиксируем некоторое [pic]и перейдем к исходной системе координат, тогда
(2) в системе t=t, x=[pic] будет выглядеть так:
V(t, x) = [pic] (2’)
Из принципа максимума [2] заключаем, что:
U( t, x ) [pic] V( t, x ). (3)
Таким образом задача сводится к оценке интеграла (2).
2.2. Оценка решения в виде интеграла
Разобьем интервал [pic]< x [pic] [pic] на две части [pic]и [pic],
тогда интеграл (2’) запишется в виде:
V( t, x ) = [pic]. (*)
Исследуем знак подинтегрального выражения, принимая во внимание, то
что [pic]:
[pic] ; (а)
[pic] ;
[pic] ;
где [pic] .
После проведенного исследования видно, что
[pic]
Использовав известное разложение [pic],
где Z [pic]0, [pic] , заменим экспоненты во втором интеграле рядами:
(а) [pic];
(б) [pic].
В результате получим :
[pic]
Здесь:
[pic], [pic] , (4.1)
[pic], [pic]. (4.2)
Запишем неравенство (3) в виде, принимая во внимание только одно слагаемое
суммы ряда:
m=1,
[pic]
U(t, x) [pic] . (5)
Выше приведенная оценка не отражает качественной картины и может быть
использована при дальнейших исследованиях задач подобного вида. ( т .к
.[pic]фиксированно)
Рассмотрим другую возможность оценки неравенства (3).
[pic]
пусть [pic]
(т.е. [pic]финитна), в соответствии с принципом максимума:
[pic] , (3’)
при [pic]
где W- решение краевой задачи (З) с начальными условиями:
[pic]
[pic]
Аналогично, как и выше
[pic]
здесь:
[pic]
Таким образом,
[pic]
(используем разложение в ряд Тейлора)
В итоге,
[pic] (5.1)
Рассмотрим два случая:
а) Пусть [pic]
[pic],
тогда в правой части неравенства (5.1) третье и четвертое (3,4) слагаемые
стремятся к нулю быстрее любой степени [pic],
поэтому (5.1) можно переписать как:
[pic] (5.2)
б) Пусть [pic]тогда:
[pic]
где [pic]
В результате получаем:
[pic] (5.3)
2.3. Выбор интервала ([pic] ) и оценка погрешности
Зададим произвольно некоторую константу [pic]>0, потребовав чтобы в
(5)
[pic]<[pic].
[pic] при [pic].
Неравенство (5) можно только усилить, если
[pic]< [pic] (6)
Рассмотрим общий вид [pic]:
[pic] ; (7)
[pic][pic] , (7.1)
b=x ( k=1 ) , b=2[pic](k=2) [pic] оценка (7.1) эквивалентна системе
неравенств:
[pic] ,
откуда:
[pic]. (8)
Т. к. в работе исследуется поведение неравенства (3) при [pic] то
принимаем что для некоторого [pic]:
[pic]. (9)
3. Формулировка результата в виде теоремы
Обобщая результаты всей работы в целом можно сформулировать следующие
теоремы:
1. Пусть для уравнения теплопроводности имеет место задача
[pic](З)
[pic]- гладкая, непрерывно - дифференцируемая функция на [pic],а функция
[pic]ограничена на R : [pic].
Тогда для любого сколь малого числа [pic] можно указать число
[pic],
такое что имеет место следующая оценка «сверху» решения задачи (З):
[pic]
Раскрыв квадратные скобки, получим:
[pic].
2. Пусть в имеет место задача (З), [pic]- монотонная, неограниченная,
возрастающая функция, [pic]тогда:
3) если [pic], то
[pic]
2) если [pic] то
[pic]
Замечанние:видно, что оценку полученную в теореме 2 можно получить и при
более слабых ограничениях [pic]
4. Примеры
Пусть [pic], [pic]
a) [pic]
b) [pic] .
Заключение
В дипломной работе произведена оценка решения «сверху» для уравнения
теплопроводности с движущей границей по заданному закону. Аналогично, можно
получить оценку решения «снизу». Для этого нужно рассмотреть ступенчатую
область, в которой для каждой ступеньки решение может быть получено
согласно 2.1 (2) . Число таких ступенчатых областей необходимо выбрать
таким образом, чтобы оценка полученная снизу была сравнима с полученной
выше оценкой.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, Уравнения математической физики. Изд.
«Наука», М. 1966 (с. 230 -233);
2. С. К. Годунов, Уравнения математической физики. Изд. «Наука», М. 1973 .
33-34);
3. Л. Д. Кудрявцев, Краткий курс математического анализа. Изд. «Наука», М.
1989.