реферат Исследование статистических зависимостей для контактных систем типа W UMa

СОДЕРЖАНИЕ



ВВЕДЕНИЕ....................................................................
..............................3

§1                 Классификация               тесных                двойных
систем.............................................

§2                                                                  Алгоритм
ZET.........................................................................
................

§3   Применение метода  ZET……………………………………………..



 ВЫВОДЫ.....................................................................
..................................

 ПРИЛОЖЕНИЕ.................................................................
............................

 ЛИТЕРАТУРА.................................................................
..............................



                                                        ВВЕДЕНИЕ.


Изучение фотометрических и абсолютных  элементов  тесных   двойных   систем,
находящихся  на  разных  стадиях  эволюции, представляет   большой   интерес
с точки   зрения   статистического   исследования   этих   систем,  изучения
строения  Галактики, а также теории  происхождения и эволюции  одиночных   и
двойных  звезд. Одной  из  важных   характеристик  тесных   двойных   систем
является  отношение масс мене    массивной   компоненты  к  более  массивной
q=m2/m1 .  Отношение  масс  позволяет  уточнить   эволюционный  тип  звезды,
определить форму внутренней критической поверхности (т.н. полости  Роша),  а
также положение первой точки Лагранжа. Для контактных систем, исследуемых  в
данной работе, у которых обе компоненты близки друг к  другу  и  практически
наполняют пределы полости Роша, отношение  масс   q,  кроме  всего  прочего,
определяет  конфигурацию всей  системы  (зависящую  от  большой  полуоси  A,
отношения масс  q, угла наклона  i).
Однако, отношение масс q известны  точно  для  очень  малого  числа  систем,
имеющих данные спектроскопических  наблюдений. Фотометрические  же   данные,
полученные, как  правило,  с   помощью  метода  синтеза  кривых  блеска,  не
являются надежными, так как этот метод  позволяет получить  точное   решение
 лишь для  симметричных кривых блеска. Так, например, у  контактных  систем,
исследуемых  в   данной   работе,  вследствие   близости  компонент  друг  к
другу,  кривые  блеска  сильно  искажены   газовыми  потоками,   пятнами   и
околозвездными газовыми оболочками.
  Для   статистических   исследований   представляет   значительный  интерес
хотя бы приближенная  оценка   относительных  и  абсолютных  параметров  тех
затменных систем, для которых элементы спектроскопической орбиты  неизвестны
и  прямое  вычисление  их   абсолютных   характеристик   не   представляется
возможным.
М.А. Свечников  и  Э.Ф.  Кузнецова  в  [2]  для  такой  приближенной  оценки
использовали статистические  соотношения (масса - радиус,  масса  -  спектр,
масса - светимость и др.)  для   компонент  различных  типов,  а  также  ряд
других  статистических зависимостей. Из-за  того,  что  использованные   для
определения  элементов  статистические    зависимости   носят   приближенный
характер,  следует  ожидать,  что  для  многих   систем   найденные  в   [2]
приближенные   элементы  окажутся   неточными   и   даже   ошибочными.   Это
обусловливает  необходимость  теоретических  подходов  к  оценке  параметров
затменных  переменных  звезд.  В  изученной  статье  [1]   отношение    масс
компонент q и спектральный класс главной  компоненты Sp1 для звезд  типа   W
UMa определяется с помощью статистического  метода   ZET,  разработанного  в
Международной  лаборатории   интеллектуальных   систем   (Новосибирск)  Н.Г.
Загоруйко.  Метод  ZET  применялся  для  восстановления  глубины   вторичных
минимумов звездных систем типа   РГП   (ошибка  прогноза   составила  5-8%),
спектров звезд этого типа, спектров  класса  главной  компоненты  контактных
систем типа  KW и  отношения масс. Точность восстановления доходила  до  10%
 и только для q этот результат  был  завышен.  Была  составлена  таблица,  в
которую включены q, полученные разными  авторами,  для  некоторых  отдельных
систем значения q имеют очень  большие  расхождения.   Поэтому  цель  данной
работы улучшить качества восстановления q методом ZET.



                            §1. Классификация тесных двойных систем.

      В   1967-69  гг.  М.А.Свечниковым   была   разработана   классификация
тесных    двойных    систем,     сочетающая     достоинства    классификации
Копала(1955),  учитывающей  геометрические  свойства  этих  систем  (размеры
компонент по отношению к  размерам  соответствующих  внутренних  критических
поверхностей (ВКП) Роша) и классификации Крата(1944, 1962  гг.),  основанной
на физических характеристиках компонентов, входящих в  данную  систему.  Эта
классификация удобна при статистических исследованиях тесных двойных  звезд,
и,  будучи   проведена  по  геометрическим  и  физическим    характеристикам
компонентов  затменных систем (отношению  размеров  компонентов  к  размерам
соответствующих   ВКП,   спектральным   классам   и    классам    светимости
компонентов), оказывается в то же время связанной с  эволюционными  стадиями
затменных   систем,   определяемыми   их   возрастом,   начальными   массами
компонентов и начальными параметрами орбиты системы.
      Как  было  показано  в  работе  М.А.Свечникова   (1969),   подавляющее
большинство изученных затменных переменных звезд  (т.е.  тех   систем,   для
которых   определены    фотометрические   и   спектроскопические   элементы)
принадлежит к одному из следующих основных типов:

1. Разделенные системы главной последовательности (РГП), где оба  компонента
 системы  являются  звездами  главной  последовательности,  не  заполняющими
соответствующие  ВКП, обычно  не приближающиеся к ним ближе по размерам  чем
ѕ

2. Полу разделенные  системы (ПР), где более  массивный  компонент  является
звездой  главной последовательности, обычно далекой от своего предела  Роша,
а  менее  массивный   спутник   является  субгигантом,  обладающим  избытком
светимости и радиуса и близким по размерам к соответствующей ВКП.

3. Разделенные системы с субгигантом   (РС),  у которых, в  отличии  от  ПР-
систем,  спутник-субгигант,  несмотря   на   большой  избыток  радиуса,   не
заполняет свою  ВКП, а имеет  размеры,  значительно меньшие, чем последняя.

4. "Контактные" системы, в которых компоненты близки  по  своим  размерам  к
соответствующим  ВКП  (хотя и не обязательно  в  точности   их   заполняют).
Эти системы  подразделяются на  два разных подтипа:
а) Контактные системы типа W  UMa  (KW),  имеющие,  в  большинстве  случаев,
спектры  главных  компонентов  более  поздние,  чем   F0.   Главные   (более
массивные)   компоненты  у  этих  систем  не   уклоняются   значительно   от
зависимостей   масса-светимость  и   масса-радиус    для    звезд    главной
последовательности в то время, как спутники обладают  значительным  избытком
светимости (подобно  субгигантам   в  ПР  и  РС-системах),  но  не  обладают
избытком радиуса (вследствие чего они  располагаются  на  диаграмме  спектр-
светимость левее главной начальной последовательности, примерно  параллельно
ей);
б)  Контактные  системы  ранних  спектральных  классов  (КР)  (F0  и   более
ранние), где  оба  компонента, близкие по размерам  к  своим   ВКП,  тем  не
менее, в большинстве  случаев  не  уклоняются  значительно  от  зависимостей
масса-светимость и масса-радиус для звезд главной последовательности.

5. Системы, имеющие хотя бы один  компонент, являющийся либо  сверхгигантом,
либо  гигантом  позднего   спектрального   класса   (С-Г).   Такие   системы
сравнительно   многочисленны   среди   изученных    затменных     переменных
вследствие их высокой светимости и необычных  физических  характеристик,  но
в действительности они, по-видимому, должны составлять лишь  небольшую  долю
от общего числа тесных двойных систем.

6. Системы, у которых, по крайней мере, один компонент  лежит  ниже  главной
последовательности и является горячим субкарликом  или  белым  карликом  (С-
К). Сюда же были отнесены и системы, один из компонентов, которых   является
 нейтронной  звездой или "черной дырой", а также системы с WR-компонентами.

     Подобная классификация была выполнена ранее М.А.Свечниковым (1969)  для
197 затменных  систем с известными абсолютными  элементами. Она могла   быть
 более или менее  уверенно  проведена  также  для  затменных   переменных  с
известными фотометрическими  элементами, у которых можно каким-либо  образом
оценить и отношение  масс  компонентов  q=m2/m1  и тем  самым     определить
относительные  размеры соответствующих ВКП. Так, из примерно  500  затменных
систем с известными  фотометрическими   элементами,  имеющихся  в  карточном
каталоге М.А.Свечникова, надежную  классификацию  можно  было  провести  для
367 систем. В остальных случаях при отнесении системы к тому или иному  типу
имеется некоторая   степень   неуверенности,  обычно  из-за  отсутствия  или
ненадежности имеющихся данных о величине q.



                                      §2 Алгоритм ZET.

      Алгоритм  ZET   предназначен  для  прогнозирования  и   редактирования
(проверки) значений в таблицах  "объект-свойство". В таких  таблицах  строки
соответствуют   рассматриваемым   объектам,   а   столбцы   есть    значения
характеристик,  описывающих  эти  объекты.  Таким  образом,  на  пересечение
строки с номером "i" и столбца с номером "j", будет находиться  значение  j-
ой  характеристики  для  i-го  объекта.  Клетку  таблицы,  расположенную  на
пересечение i-ой строки  и  j-го  столбца,  обозначим  символом  Aij.  Пусть
значения  Aij  неизвестно.  Можно  достаточно   уверенно   предсказать   это
значение, если использовать имеющиеся в таблице закономерности.  В  реальных
таблицах многие столбцы связаны  друг с другом. Есть в  таблицах  и  строки,
похожие  друг на друга по значениям своих характеристик.  В  алгоритме   ZET
выявляются такие связи, и на их основе выполняется   предсказание   искомого
значения.   Предсказание  осуществляется  на  основе   принципа    локальной
линейности. Это одна из основных  идей,  позволившая  построить  эффективный
метод  и  получать   хорошие   результаты.   Она  заключается  в  том,   что
предсказание выполняется не на  всей  информации,  имеющейся  в  таблице,  а
только  на  той  ее  части, которая наиболее  тесно  связана  со  строкой  и
столбцом, в которых  этот  пробел находится. Другими  словами,  в  алгоритме
ZET,  в  отличии   от  многих  других   алгоритмов   заполнение    пробелов,
реализуется  "локальный"  подход  к   предсказанию   каждого    пропущенного
значения. Для  вычисления  этого  значения  строится  своя  "предсказывающая
подматрица", содержащая  только  имеющую  отношение  к  делу  информацию.  В
подматрицу отбираются в порядке  убывания  сходства   строки,  т.е.  строки,
самые похожие на строку, содержащую  интересующий  нас  пробел, а затем  для
выбранных строк отбираются  также  в  порядке  убывания   сходства   столбцы
"самые похожие" на столбец, содержащий этот пробел.



|   |   |   |   |   |   |
|   |   |   |   |   |   |
|   |   |Фai|Aai|   |   |
|   |   |k  |j  |   |   |
|   |   |Aal|Aal|   |   |
|   |   |k  |j  |   |   |
|   |   |   |   |   |   |
|   |   |   |   |   |   |



     Предсказание  элемента   Aij  по  k-му   столбцу   Aij(k)  делается  на
основание гипотезы о  линейной   зависимости  между   столбцами,  при   этом
сначала  вычисляются   коэффициенты  линейной  регрессии  Вjk и  Сjk  ,и  по
ним находится  элемент Aij(k):
                                  Aij(k)=Bjk*Aik+Cjk.
После того, как будут сделаны  предсказания  Аij(k)  по  всем   р  столбцам,
не  имеющим     пропуска  в   i-ой  строке,   вычисляется   средневзвешенная
величина элемента:
                   Aij(стб)=([pic]Aij(k)*Qkj)/([pic]Qkj)
 Вклад каждого столбца (строки) в  результат   предсказания  зависит  от  их
"компетентности"   Q,  являющейся   функцией   двух  аргументов:  "близости"
между j-м и k-м столбцами (i-ой и l-ой строками) и "взаимной  заполненность"
 этих столбцов (строк).  "Близость"  представляет  собой  степенную  функцию
модуля коэффициента линейной корреляции   (Rkj)а   (или  (Ril)а).  "Взаимная
заполненность"   k-го  и  j-го  столбцов  (Lkj)  равна  числу  непустых  пар
элементов этих столбцов Alk и Alj для всех l от 1 до m. Отсюда:
                                      Qil=(Ril)a*Lil
                                      Qkj=(Rkj)a*Lkj .
  Выбор показателя степени а осуществляется следующим  образом,  при  каждом
из  последовательных  значений  а   (из   некоторого   заданного   диапазона
amin<a<amax)  выполняется  предсказание  всех  известных    элементов   k-го
столбца  матрицы  A(i,j).  При  каждом  a  вычисляется   расхождение   между
фактическими и предсказанными значениями. Для предсказания  Aij   выбирается
то из значений a, при котором была получена   лучшая   средняя  точность  dj
предсказания  этих  известных  значений.  Легко  увидеть,  что,  чем  больше
(Rkj)a, тем с большим весом будут учитываться  сведения от  самых  "похожих"
столбцов и тем сильнее будут подавляться подсказки от менее "похожих".
     Аналогичная процедура  построения формулы и оценки точности  вычисления
всех  элементов   i-ой   строки   выполняется   для   проверки   возможности
предсказания  Aij как элемента строки.
                           Aij(стр)=([pic]*Qil)/([pic])
Данные в матрице  A(i,j)  предварительно  нормированы  так,  чтобы  элементы
каждого столбца изменялись в пределах от 0  до  1.  После  получения  оценок
предсказания по строкам и столбцам сравнивается точность, с которой  удалось
предсказать  известные  элементы  i-ой  строки   di  и  j-го  столбца    dj.
Окончательно   для   предсказания    выбирается    либо    Aij(стб),    либо
Aij(стр), в зависимости от того,  где   точность   d   оказалась  выше.  Эта
точность  рассматривается  в  качестве  ожидаемой ошибки предсказания Aij.
     Итак, в алгоритме ZET можно выделить основные этапы:

1. Проводится нормировка столбцов таблицы исходных данных по дисперсиям.

2. Выбирается  пробел  Aij, находящийся на пересечение  i-ой  строки и  j-го
столбца.

3.  При  определение  сходства  столбцов  производится  их   предварительная
нормировка к интервалу [0,1], и для строк и для  столбцов  степень  сходства
определяется на основе евклидова  расстояния
  rев=[[pic]]1/2  ,
 где Xj, Yj  -  соответственно  значения  j-го  свойства  объектов  X  и  Y.
Использование такой меры сходства и обуславливает применимость  алгоритма  к
таблицам данных, представленных в сильных  шкалах,  для  которых   операции,
использованные   в   формуле,  являются  допустимыми   преобразованиями.  По
расстоянию  rев выбирается  заданное  число объектов-аналогов,  а  для  них-
свойств-аналогов.

4.  В  матрице,  состоящей  из  отобранных  строк,  столбцы   нормируются  к
интервалу  [0,1]  и  выбирается  заданное   количество   столбцов,  наиболее
сильно связанных с j-м.

5.   По   исходной   таблице   формируется   "предсказывающая"   подматрица,
составленная  из элементов, находящихся на пересечении  i-ой и  ближайшей  к
ней строк с j-м и ближайших к нему  столбцами.

6. Столбцы полученной  подматрицы  нормируются  к  интервалу  [0,1].
7. Из  уравнений  линейной  регрессии  для  k-го  элемента  Aij  вычисляются
"подсказки" Aij от строк и (или) столбцов "предсказывающей" подматрицы.

8. Находится коэффициент а, определяющий степень  учета  взаимного  сходства
столбцов    (строк)    подматрицы   при   вычислении    итогового   значения
прогнозируемого элемента Aij.

9. Процедура 2-8 повторяется для каждого пробела.

10. Значения, вычисленные в режимах  заполнения  в  зависимости  от  входных
условий, заносятся в таблицу сразу же после   вычисления каждого из них  или
только после окончания прогнозирования значений для всех пробелов таблицы.

11. Пункты 1-10 повторяются.  Количество  повторений   задается  во  входных
условиях.


 Когда  сформирована  группа  объектов-аналогов  и  найдены  в  этой  группе
наиболее   информативные  свойства  для  интересующего  нас  объекта,   т.е.
сформирована  "предсказывающая"  подматрица,  алгоритм  переходит  к   этапу
построения формулы для прогнозирования.
    Иначе говоря, алгоритм ZET можно разбить на две части:

1. Выбор из исходной таблицы наиболее связанной с интересующим нас  объектом
 Aij информации-построения "предсказывающей" подматрицы.

2.  Определения  параметров  формулы  для  возможно   лучшего   предсказания
значения рассматриваемого элемента Aij  с  одновременной  оценкой  ожидаемой
точности прогноза.

     В алгоритме  ZET, как было  отмечено выше, предусмотрен  "персональный"
 подход к прогнозированию каждого  интересующего нас элемента  таблицы.  Для
каждого  элемента  Aij  подбирается  своя  предсказывающая   подматрица,   в
которой  содержатся только строки, наиболее   похожие  на  i-ую  и  столбцы,
наиболее связанные с j-м и по  этой  "персональной"  информации  подбирается
персональная формула для прогнозирования элемента Aij. Для того,  чтобы  при
определении   сходства   объектов   (строк)  "вклад"   каждого    показателя
(свойства) не зависел от единиц  измерения  и  был   сопоставим  с  вкладами
других    показателей,   производится     нормировка     каждого     столбца
относительно   его   дисперсии.    Если     есть     необходимость    учесть
неравнозначность вкладов свойств в меру сходства, т.е.  если  из  каких-либо
соображений  известны  значимости,  "веса"  свойств,  то  их  можно  учесть,
умножив отнормированные данные на эти веса.
     Если пробелов  в  данных много, вряд ли можно  надеяться  заполнить  их
все  сразу  с  хорошей  точностью.  Поэтому   организуется  многоступенчатая
процедура заполнения. Она  состоит в том, чтобы на  первом  этапе  заполнить
при минимальном размере подматриц   наиболее  надежные  элементы,  т.е.  те,
которые удается  предсказать с  заданной   точностью.  Затем  поставить  эти
значения в  таблицу  и,  уже  считая  их  известными,  вновь   обратиться  к
программе с теми же условиями на  требуемую  точность  и  размер  подматриц.
Добавленная в таблицу  информация  может дать  возможность  предсказать  еще
ряд значений.
     Процесс  повторяется при одних и тех же условиях до тех  пор,  пока  не
прекратится  предсказание  новых  элементов.  Тогда  можно  повторять   цикл
заполнения.



         § 3    Применение  метода  ZET   для   восстановления    физических
         параметров контактных  систем.

      Для того,  чтобы  правильно   спрогнозировать   неизвестные  элементы,
 необходимо решить ряд существенных вопросов:

      1. Какие характеристики звезд могут  быть   наиболее   информативны  с
 точки зрения предсказания отношения масс q;

      2. Можно ли ожидать достаточно хороших результатов;

      3. Если да, то  как  организовать  решение,  чтобы   заполнить  больше
 пробелов с приемлемой точностью;

      4. Можно ли доподлинно  проверить "качество" вычисленных значений.

           Для решения  первой проблемы - отбора наиболее информативных  для
 предсказания q  характеристик  звезд  было  выполнено  редактирование  всех
 известных   значений  первого  столбца,  содержащего   отношение   масс   q
 контрольной таблицы  размерностью 15х14, куда вошли 15 систем типа  W UMa и
 14  их  параметров из [3] (известных абсолютно  точно), на  предсказывающих
 подматрицах 6х6, 5х5, 4х4.  Объектами  в  данной  таблице  были  контактные
 системы типа  W UMa, а в качестве свойств были взяты следующие   параметры:
 отношение масс компонент q, спектральный класс  главной   компоненты   Sp1,
 масса главной компоненты  m1,  абсолютная  болометрическая  величина  более
 массивной компоненты M1bol, большая полуось орбиты в долях  радиуса  Солнца
 A, угол наклона орбиты i,  период  затменной  системы   P,  средний  радиус
 главной компоненты в  долях  большой  полуоси  орбиты  r1,  средний  радиус
 второстепенной компоненты в долях большой полуоси орбиты r2,  относительный
 блеск более массивной   компоненты  L1,  отношение  поверхностных  яркостей
 более  массивной  компоненты  к  менее  массивной  J1/J2,  радиус   главной
 компоненты в долях радиуса  Солнца  R1, радиус второстепенной компоненты  в
 долях  радиуса  Солнца   R2,  абсолютная  болометрическая  величина   менее
 массивной  компоненты M2bol.
           По  результатам   редактирования  была  составлена  таблица,  где
 показано  участие  отдельных   параметров  в  предсказании  отношения  масс
 компонентов  q. Из таблицы видно, что параметры  P, r1,  L1,  J1/J2,  R1  и
 M2bol плохо (т.е. редко)  участвуют  в  предсказании  и вклад их достаточно
 мал, поэтому их можно  отбросить. Так как параметры  r2 и R2  связаны  с  q
 эмпирическими формулами:  r~rкрит(q)   и   lg(m)=-0.153+1.56*lg(R),  то  их
 также представляется  целесообразным  отбросить.  Таким  образом,  остается
 таблица 15х6, в которую входят 15 объектов и 6 параметров: q,  Sp1,  M1bol,
 m1, A, i. На этой таблице было выполнено  редактирование  первого  столбца,
 содержащего отношение масс  q и второго столбца,  содержащего  спектральные
 классы главных  компонент   Sp1.  Получены  средние  ошибки  редактирования
 соответственно   d=13.555%   и    d=6.6791%.   Поскольку   средние   ошибки
 редактирования малы, то  можно  сделать  вывод,  что  отобранные  параметры
 позволяют с достаточно высокой степенью точности  восстановить  неизвестные
 значения q.
           Далее, из [2]  были  взяты  295  систем  типа   KW,  для  которых
 выписаны указанные выше 6 параметров, и составлена рабочая таблица  295х6 ,
 где на месте  предсказываемых элементов стоят пробелы. В качестве известных
  значений  q были  взяты  значения  из  [3  -  16].  Всего  получилось   72
 известных  значения  q, опираясь на которые программа  будет  предсказывать
 остальные значения.
            Для  оценки  целесообразности   применения   метода    ZET   при
 прогнозировании  недостающих  значений  q на  рабочей  таблице  295х6  было
 выполнено  редактирование   1-го  столбца  при  предсказывающей  подматрице
 5х5. Средняя  ошибка  редактирования  d=11.837%.  Таким  образом,  осталось
 70 известных значений  q при 225  неизвестных.  Как  видно  из  результатов
 редактирования  значения q  могут быть восстановлены по имеющимся в таблице
  данным с достаточно высокой степенью точности.
           Для дополнительной  проверки  эффективности метода было проведено
 сравнение  72 известных значений отношений масс со значениями, вычисленными
 методом  ZET. В процессе вычисления  использовался  режим   редактирования,
 так как  предполагалось,  что  наблюденные  данные   72  звезд  получены  с
 достаточной степенью надежности. Было выполнено редактирование 72 известных
 элементов на предсказывающих  подматрицах  4х4,  5х5,  6х6    и  составлена
 промежуточная  таблица  полученных  ZET-методом q и соответствующих  ошибок
 редактирования.     Получив     данные     редактирования,    мы    перешли
 непосредственно к  предсказанию   неизвестных   значений   q.  Предсказание
 велось  при  границах изменения от 4 до 6 ближайших  строк и  столбцов  при
 формирования    предсказывающих    подматриц,    т.    е.    для    каждого
 предсказываемого    значения     программа    перебирает    все    варианты
 предсказывающих  подматриц от 4 до 6 (4х4, 4х5, и т.д. до 6х6)  и  выбирает
 значение   с    наименьшей    ожидаемой   ошибкой   прогнозирования.   Было
 установлено, что режим ZM1 занижает  ошибку  предсказания  примерно  в  два
 раза. Для этого мы сравнили прогнозируемую и фактическую ошибки (~8% и ~18%
 соответственно).   Аналогично   установили,   что  режим   ZM3    несколько
 завышает  ошибку  предсказания  (~20%  и  ~22%).  В  режиме  ZM3  ожидаемое
 отклонение   (min,   при   различных   a,   средняя   величина   отклонения
 предсказанного значения от  истинного  всех  элементов  строки   (столбца),
 связанных  с  прогнозируемым  элементом)   не   является  реальной  ошибкой
 предсказания,  исходя  из  этого  мы  предложили  свой  метод   определения
 ошибки,  разделив  ожидаемое   отклонение  на  предсказанное   значение   и
 умножив на  100%. Как показало редактирование, режим  ZM1  производит более
 точное предсказание, чем режим  ZM3 (хотя  значения  предсказаний  довольно
 близки: фактическая ошибка в  ZM1 ~17%, в  ZM3 ~20%), поэтому  предсказание
 велось  параллельно в режимах ZM1 и ZM3 для контроля над ошибкой.
       Получили следующие результаты прогнозирования: из 225 восстановленных
 систем      типа W UMa  218 получены с ошибкой (5%, 7(10%. По сравнению  с
 данными наблюдения реальная ошибка превышает полученную методом в 3  раза.
 Следовательно, метод занижает ошибку прогноза. Часть полученных значений q
 приблизительно совпадает, а для некоторых имеются  существенные   отличия.
 Это связано: 1) с недостатком наблюдательных данных;  2)  с  ненадежностью
 исходных данных; 3) с неполнотой выборки; 4) с  некорректностью   подсчета
 ошибки данным методом.



                                     ЛИТЕРАТУРА:



      1.  Svirskaya E.M.,  Shmelev  A.Yu.  “Astronomical  and  astrophysical
    transactions”

   2.   Свечников    М.А.,    Кузнецова    Э.Ф.    “Каталог     приближенных
      фотометрических    и   абсолютных   элементов  затменных    переменных
      звезд”, Свердловск,  Изд-во Уральского Университета, 1990.

   3.    Свечников   М.А.  ”Каталог    орбитальных     элементов,   масс   и
      светимостей
         тесных  двойных  звезд”, Иркутск,  Изд-во  Иркутского  Университета
      ,  1986
   .
   4. Загоруйко  Н.Г.  “Эмпирическое предсказание”,  Новосибирск  ,  Изд-во
      Наука,  1979.


       Загоруйко Н.Г.,  Елкина В.Н.,  Лбов Г.С.,   “Алгоритмы   обнаружения
           эмпирических  закономерностей”,   Новосибирск,   Изд-во   Наука,
      1985.



-----------------------
1       . . .       k         j       . . .       n

1

:

i

l

:

m